綜合除法在求解矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣中的應(yīng)用

摘要：綜合除法是代數(shù)學(xué)中一種常用于解決多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，或多項(xiàng)式的因式分解等問題的簡便算法，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，本文將綜合除法應(yīng)用于除式為一次矩陣多項(xiàng)式和二次矩陣多項(xiàng)式情形下的求解其逆矩陣的實(shí)例中來，進(jìn)行了例題驗(yàn)證，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生多角度、多思路創(chuàng)新融合知識(shí)點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問題的能力和興趣。

關(guān)鍵詞：矩陣多項(xiàng)式;逆矩陣;綜合除法

1.引言

若 為 階方陣， 是關(guān)于方陣 的矩陣多項(xiàng)式，且滿足 ，同時(shí)給定矩陣多項(xiàng)式 ，且，其次數(shù)不高于 的次數(shù)，若存在多項(xiàng)式 ，使得 ，則稱 和 互為逆矩陣。

而綜合除法是代數(shù)學(xué)中一種常用于解決多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，或多項(xiàng)式的因式分解等問題的簡便算法[2]。所以在滿足 的條件下，求解給定矩陣多項(xiàng)式 的逆矩陣時(shí)，可引入綜合除法進(jìn)行求解，具體算法如下：

（1）將被除式 按 的降冪次序進(jìn)行排列（如有缺項(xiàng)以“0”補(bǔ)充），將各項(xiàng)的系數(shù)依次取出排列在綜合除法算式的第一行（如圖1所示）;

（2）（以除式 為一次矩陣多項(xiàng)式為例）將 改寫為 ，則 即為綜合除法算式左側(cè)的除數(shù);

由此可見， 是關(guān)于方陣 的三次多項(xiàng)式， 是關(guān)于方陣 的二次多項(xiàng)式，關(guān)于 的逆矩陣求解依然可通過綜合除法得以實(shí)現(xiàn)。

2.結(jié)論

本文主要是針對(duì)于整系數(shù)矩陣多項(xiàng)式，在多項(xiàng)式除法的理論基礎(chǔ)性上，采用綜合除法對(duì)一次矩陣多項(xiàng)式和二次矩陣多項(xiàng)式求解逆矩陣進(jìn)行了例題驗(yàn)證，說明了綜合除法在矩陣多項(xiàng)式求解逆矩陣方面的可行性。進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生多角度、多思路創(chuàng)新融合知識(shí)點(diǎn)去解決數(shù)學(xué)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。至于矩陣多項(xiàng)式的可逆性判別，尤其是高次矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣是否存在及存在條件，本文將不再進(jìn)行詳盡討論。

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作者簡介：高銘，男，河南濟(jì)源，漢族，1991.10，助教，碩士研究生，昆明城市學(xué)院，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。