透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì) 拓展思維提素養(yǎng)

楊勇

正交分解主要用來(lái)求解復(fù)雜的物理問(wèn)題，是高中階段求解物理問(wèn)題的好方法，對(duì)于矢量分解通常分為兩類(lèi)：一是根據(jù)作用效果分解，如力的作用效果、運(yùn)動(dòng)的分解等;二是根據(jù)應(yīng)用或者目的進(jìn)行分解，如正交分解，目的是為了化繁為簡(jiǎn)，斜分解，目的是為了讓過(guò)程更體現(xiàn)矢量的運(yùn)算本質(zhì).而效果分解在復(fù)雜問(wèn)題中會(huì)變得模糊不清，比如力的效果分解，當(dāng)物體受到多個(gè)力時(shí)，很難找到每一個(gè)力的實(shí)際效果，則往往正交分解在高中物理問(wèn)題的求解中變得尤為重要.從正交分解的應(yīng)用來(lái)看，似乎感覺(jué)正交分解在質(zhì)上沒(méi)有實(shí)際意義，只是一種處理問(wèn)題的方法，但是這種方法在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)顯得比較簡(jiǎn)單，同時(shí)會(huì)彰顯其處理問(wèn)題的簡(jiǎn)便性、有效性，所以掌握正交分解的應(yīng)用技巧和條件，在處理較為難的問(wèn)題時(shí)得到意想不到的效果，下面將結(jié)合高中階段運(yùn)動(dòng)的分解、力的分解、電場(chǎng)強(qiáng)度的分解、動(dòng)量的分解等重難點(diǎn)知識(shí)的問(wèn)題進(jìn)行分析，總結(jié)正交分解的應(yīng)用，以期能給各位讀者提供一定的幫助和參考.

一、正交分解求解運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

高中階段的運(yùn)動(dòng)分解是平拋（類(lèi)平拋）運(yùn)動(dòng)，把速度分解成x和y兩個(gè)相互垂直的方法，這樣分解的目的主要是根據(jù)力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系進(jìn)行分解，

例1如圖1所示一質(zhì)點(diǎn)以初速度為v0從斜面頂端水平拋出，斜面的傾斜角為θ，求質(zhì)點(diǎn)落在斜面上的時(shí)間？

評(píng)價(jià) 本題的求解方法是正交分解法，首先這樣分解的目的是：一從運(yùn)動(dòng)的角度來(lái)看，物體在發(fā)生實(shí)際運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中參與了水平方向和豎直方向的分運(yùn)動(dòng);從受力與運(yùn)動(dòng)變化的關(guān)系來(lái)看，水平方向不受力，則物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向物體只受重力且初速度為零，則做自由落體運(yùn)動(dòng).這兩種運(yùn)動(dòng)是學(xué)生很熟悉的直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此這樣分解的目的使復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，同時(shí)各分運(yùn)動(dòng)也是學(xué)生能夠理解的規(guī)律.

拓展分析一 在例1的條件下，求質(zhì)點(diǎn)離斜面最遠(yuǎn)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？

解析 建立直角坐標(biāo)系如圖2所示，把質(zhì)點(diǎn)的重力分別分解到x和y坐標(biāo)上，則在x上質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，y軸上質(zhì)點(diǎn)做先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)后做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由各方向的運(yùn)動(dòng)分析可知，當(dāng)y，方向的速度為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)離斜面最遠(yuǎn)，所以在y軸上，ma，=mgcosθ，則ay=gcosθ，由于vy=vo sinθ，所以vy，=a，t，所以當(dāng)質(zhì)點(diǎn)離斜面最大時(shí)時(shí)間為t=v0gtanθ.

評(píng)價(jià) 從上述的兩個(gè)例題的分析來(lái)看，運(yùn)動(dòng)分解和力的正交分解在運(yùn)動(dòng)學(xué)中主要為了能夠使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單的一種方法.一個(gè)運(yùn)動(dòng)模型，根據(jù)不同的物理問(wèn)題的需要可以分解成不同方向的兩個(gè)分量，但是分解的一個(gè)原則不變，必須圍繞力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系進(jìn)行分解，也就是說(shuō)正交分解后的各分力與分運(yùn)動(dòng)必須在同一直線上，要不然問(wèn)題會(huì)變得更加的復(fù)雜.按道理運(yùn)動(dòng)學(xué)的正交分解應(yīng)該可以是隨意性，但必須為解題服務(wù)、為教學(xué)服務(wù).

二、正交分解求解平面勻強(qiáng)電場(chǎng)問(wèn)題

1.正交分解處理平面勻強(qiáng)電場(chǎng)問(wèn)題的實(shí)例分析

例2如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為0，點(diǎn)A處的電勢(shì)為6V，點(diǎn)B處的電勢(shì)為3V，則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為（

）.

A.200V/m

B.200√3V/m

C.100V/m

D.100√3V/m

分析根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)差的關(guān)系E=U/d，所以只要不在同一等勢(shì)面上，電勢(shì)差與距離是均勻變化的，而電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量，可以進(jìn)行分解與合成，很多學(xué)生會(huì)根據(jù)類(lèi)似于力的合成與分解方式計(jì)算任意方向的電場(chǎng)強(qiáng)度，按照正交分解計(jì)算即可，同時(shí)有很多資料書(shū)也提到應(yīng)用正交分解求解電場(chǎng)強(qiáng)度，這樣很快就得到結(jié)果，但是方法是否妥當(dāng).

從以上的分析及幾個(gè)力的分解很多學(xué)生得到啟示，利用正交分解可以求解勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小，也就是知道任意兩個(gè)方向的電場(chǎng)強(qiáng)度的的大小及方向，按照力的正交分解方式求解，但是有時(shí)候得不到正確

從以上的分析來(lái)看，當(dāng)兩個(gè)分量不垂直時(shí)，把這兩個(gè)分量按照力的正交分解方式處理顯然是不恰當(dāng)?shù)?也就是說(shuō)只有兩分量相互垂直時(shí)利用正交分解計(jì)算才與找等勢(shì)面的計(jì)算方法得到相同的結(jié)果，所以按照上述分析來(lái)看，利用某個(gè)方向的電勢(shì)差與距離關(guān)系來(lái)計(jì)算這個(gè)方向的電場(chǎng)強(qiáng)度，在利用這些分量按照矢量合成來(lái)計(jì)算總電場(chǎng)強(qiáng)度，則兩個(gè)分量一定相互垂，如果不垂時(shí)按照力的正交分解方式來(lái)計(jì)算是不正確的.如圖7所示，電場(chǎng)強(qiáng)度為E可以分解為兩個(gè)相互垂直的Ex和Ey，若已知一個(gè)分量為E1，那要構(gòu)成正交分解的方式，則另外一個(gè)分量必為E2，且它們相互垂直.從圖7滿足的條件來(lái)看，如果已知某電場(chǎng)強(qiáng)度E，可以把該電場(chǎng)分解成為兩個(gè)相互垂直的Ex和Ey，若根據(jù)某個(gè)方向上的電勢(shì)差與距離關(guān)系計(jì)算出該方向的電場(chǎng)強(qiáng)度，比如E2，則E2與該平面內(nèi)電場(chǎng)的一個(gè)分量Ey的夾角為θ、與Ex的夾角為a如圖8所示，根據(jù)幾何關(guān)系可以求得E2=E，cosθ+Excosa.把E2轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)E的兩個(gè)分量在利用勾股定理計(jì)算即可.這樣可以充分利用正交分解的方式進(jìn)行求解平面勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小，使復(fù)雜問(wèn)題得到簡(jiǎn)單化處理，

例3如圖9所示，菱形ABCD平面與勻強(qiáng)電場(chǎng)平行，LA =60°，邊長(zhǎng)為1m，A、B、D三點(diǎn)的電勢(shì)分別為3V、OV、-1 V，求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大?。?/p>

評(píng)價(jià) 從以上的分析來(lái)看，平面電場(chǎng)強(qiáng)度的大小完全可以用正交分解方式進(jìn)行求解，只不過(guò)正交分解的方式與力的正交分解和運(yùn)動(dòng)的正交分解不一樣，如果根據(jù)電場(chǎng)中某個(gè)方向的電勢(shì)差和距離關(guān)系算出的兩個(gè)分量相互垂直，可以直接應(yīng)用正交分解即可，但是當(dāng)兩個(gè)分量不垂直時(shí)，直接應(yīng)用正交分解得到的結(jié)果是不對(duì)的，所以當(dāng)計(jì)算出兩個(gè)方向的電場(chǎng)強(qiáng)度不垂直時(shí)，假設(shè)某一個(gè)分量為該平面內(nèi)電場(chǎng)的分量，建立直角坐標(biāo)系，假設(shè)出另外一個(gè)分量，按照例3的解析方法即可計(jì)算出該平面內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小.

2.平面內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)分量的本質(zhì)分析

從力的正交分解和運(yùn)動(dòng)的正交分解來(lái)看，力和運(yùn)動(dòng)的正交分解具有任意性，只要結(jié)合力與運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，無(wú)論往哪個(gè)方向分解得到的結(jié)果都是一樣的，我們知道，對(duì)于合力與分力的關(guān)系為等效替代法，只要找到某兩個(gè)力產(chǎn)生的效果與一個(gè)力的作用效果相同，則這兩個(gè)力可以用一個(gè)力來(lái)代替，則把這一個(gè)力看成為其兩個(gè)力的合力.反之，從定義上來(lái)說(shuō)，當(dāng)明確知道一個(gè)力的作用效果時(shí)，可以確定這個(gè)力的兩個(gè)分力的方向，按照平行四邊形計(jì)算即可，然而力的正交分解是利用數(shù)學(xué)方法把復(fù)雜的力分解再求解合力的方法，知識(shí)借助數(shù)學(xué)來(lái)求解復(fù)雜物理問(wèn)題的一種方法，也就是說(shuō)力的正交分解時(shí)兩個(gè)分力是虛假，并沒(méi)有實(shí)際意義，所以力的分解怎么分解都可以，分力與合力同樣滿足平行四邊形關(guān)系.對(duì)于電場(chǎng)，如果在已知某電場(chǎng)強(qiáng)度E，如果不考慮其實(shí)際意義，也可以分解成無(wú)數(shù)組平行四邊形，但是如果先通過(guò)某個(gè)方向的電勢(shì)差與距離關(guān)系算出來(lái)，則對(duì)于平面內(nèi)一個(gè)方向只有一個(gè)確定的值，因此某一方向的電場(chǎng)具有實(shí)際的意義，并不是虛假的分量，則如果利用電勢(shì)差與距離算出的分量不能直接應(yīng)用力的正交分解一樣求解合電場(chǎng)，應(yīng)該利用例3分析的方式才能應(yīng)用正交分解求解.

三、正交分解在動(dòng)量定理的應(yīng)用

在高中階段動(dòng)量定理應(yīng)用常見(jiàn)的是恒力下直線運(yùn)動(dòng)，變力或曲線運(yùn)動(dòng)相對(duì)減少.力的沖量則是力與時(shí)間的積累，這個(gè)積累等于物體動(dòng)量的變化，則分析和理解這個(gè)累加的意義，對(duì)處理變力作用下的一些復(fù)雜問(wèn)題具有意想不到的效果，

如圖11所示，一質(zhì)點(diǎn)以速度為v半徑為R做勻速圓周勻速圓周運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度與水平方

從兩個(gè)方向的分析來(lái)看，對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)豎直方向的位移分量由水平方向的速度變化來(lái)貢獻(xiàn).

例4（2021年全國(guó)甲卷第25題）如圖12所示.長(zhǎng)度均為Z的兩塊擋板豎直相對(duì)放置，間距也為f.兩擋板上邊緣尸和M處于同一水平線上，在該水平線的上方區(qū)域有方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E;兩擋板間有垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的粒子自電場(chǎng)中某處以大小為v0的速度水平向右發(fā)射，恰好從P點(diǎn)處射入磁場(chǎng)，從兩擋板下邊緣Q和N之間射出磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中粒子未與擋板碰撞，已知粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與PQ的夾角為60°，不計(jì)重力.

（l）求粒子發(fā)射位置到P點(diǎn)的距離;

（2）求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的取值范圍;

（3）若粒子正好從QN的中點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與擋板MN的最近距離， 解析這里只討論正交分解法在勻速圓周運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用，第（1）問(wèn)的參考答案為

，帶電粒

總結(jié)根據(jù)對(duì)以上的問(wèn)題分析和正交分解的應(yīng)用，可以看到正交分解的應(yīng)用非常廣泛，同時(shí)也能看到正交分解法應(yīng)用的簡(jiǎn)捷性、解題的高效性.但是從上述的分析結(jié)果看，除了運(yùn)動(dòng)的分解和力的分解可以任意方向分解外，像電場(chǎng)等的正交分解法都有一定本質(zhì)上的意義.所以備考復(fù)習(xí)中，在抓住問(wèn)題本質(zhì)的前提下，充分利用正交分解求解相應(yīng)的物理題，不僅可以拓展學(xué)生分析和認(rèn)識(shí)問(wèn)題的視野，還可以提高解題的效率，提升學(xué)生的物理學(xué)科素養(yǎng).

（收稿日期：2022 - 02 - 10）4369D54D-E4F7-4C8C-9335-FCC8753EEB2A