巧用向量法處理幾何體外接球問題

趙澤民

簡單幾何體的外接球問題是立體幾何中的難點和重點，解題過程中需借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識問題，通過邏輯推理分析問題，此類問題對培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)有積極作用.筆者針對我校一道高三模擬考試題，從綜合法和向量法兩個角度分析問題并給出相應(yīng)的解題策略，然后通過對一些模擬試題的研究，側(cè)重拓展向量法解決與幾何體的外接球有關(guān)的弦長、表面積、體積問題，以期拋磚引玉.

例1 在三棱錐A -BCD中.AB⊥平面BCD，BC上CD.AB =BC=1，BD=√2，三棱錐A- BCD的所有頂點都在同一球O的表面上，若點M，N分別為△BCD與△ABD的重心，直線MN與球O的表面相交于Q、G兩點，則|QG|：|MN|=（? ? ）.

評析 把三棱錐補成正方體或長方體解決外接球問題是常用方法，本例借助幾何圖形中的幾何關(guān)系及數(shù)量關(guān)系證明線線平行、垂直，進而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，這也是解決與球的切、接有關(guān)問題的基本思路.運用公理化的方法處理此類問題對學(xué)生能力有一定要求，但有利于培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).垂直關(guān)系的幾何體作為載體的立體幾何問題，可以優(yōu)先考慮向量法，這種方法的優(yōu)點在于拋開了繁雜的推理論證，僅通過計算即可獲得一些平行、垂直的關(guān)系以及空間距離和角.尤其是本例中重心特征明顯，用坐標(biāo)更容易表達，且線段MN、ON的長度和垂直關(guān)系更容易得到，從而降低了思維要求，優(yōu)化了解題過程：同時也培養(yǎng)了學(xué)生依托空間向量建立幾何體的外接球問題中圖與形的想象能力.下面借石攻玉，觸類旁通，巧用向量法處理一些幾何體外接球問題.

例2 三棱錐p - ABC中，平面PAC上平面ABC，AB⊥AC，PA =PC =AC =2，AB =4.則三棱錐P -ABC的外接球的表面積為（? ）.

利用向量法解決與幾何體的外接球有關(guān)的弦長、表面積、體積問題能刺激學(xué)生對此類問題產(chǎn)生神秘感，引發(fā)學(xué)生探究問題的興趣，促使學(xué)生在主動鉆研問題的基礎(chǔ)上形成數(shù)學(xué)解題能力.教師不只是強化綜合法解決幾何體的外接球問題，而且提供向量法解決此類問題的思路，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，能促使學(xué)生形成系統(tǒng)、科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式.利用向量法解決幾何體的外接球問題既體現(xiàn)了知識和方法的創(chuàng)新，拓寬了對高考的認知，又提升了學(xué)生的解題能力，擴大了高考備考的視野.1DED2D5E-61F9-4C09-9C08-B4D7D867A388