多子群的共生非均勻高斯變異樽海鞘群算法

陳忠云 張達敏 辛梓蕓

近年,元啟發(fā)式算法作為一種有效的演化計算技術(shù),已受到眾多學者的重視.元啟發(fā)式算法是指受到生物行為和物理現(xiàn)象的啟發(fā)提出的一類算法,其核心思想是實現(xiàn)搜索過程中隨機性行為和局部搜索的平衡.常用的元啟發(fā)式算法包括粒子群算法(Particle swarm optimization,PSO)[1]、正弦余弦算法 (Sine cosine algorithm,SCA)[2]、蝴蝶優(yōu)化算法(Butterfly optimization algorithm,BOA)[3]、飛蛾撲火優(yōu)化算法 (Moth-flame optimization algorithm,MFO)[4]、大紅斑蝶優(yōu)化算法 (Monarch butterfly optimization,MBO)[5]、蚯蚓優(yōu)化算法[6]、大象放牧優(yōu)化 (Elephant herding optimization,EHO)[7]等.這些算法已成功應(yīng)用于各種科學領(lǐng)域,如過程控制、生物醫(yī)學信號處理、圖像處理以及許多其他工程設(shè)計問題.

樽海鞘群算法 (Salp swarm algorithm,SSA)[8]提出的一種新型啟發(fā)式智能算法.樽海鞘群算法相對于粒子群算法等其他算法,具有結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)少、容易實現(xiàn)等優(yōu)點.雖然樽海鞘群算法在求解大部分優(yōu)化問題具有優(yōu)越性,但與其他群智能算法一樣,仍然存在求解精度低和收斂速度慢等缺陷.文獻[9]提出固定慣性權(quán)重,可以加快搜索過程中的收斂速度,并應(yīng)用于特征選擇問題.文獻[10]把樽海鞘群算法和混沌理論結(jié)合提出混沌樽海鞘群算法,在解決特征提取問題時,能發(fā)現(xiàn)最優(yōu)特征子集,最大程度地提高分類精度,最小化所選特征的數(shù)目.文獻[11]提出采用子群規(guī)模調(diào)整,每個子種群的大小隨著進化的過程而逐漸增加,有利于提高算法在初始階段的探測能力和后期的開采能力.文獻[12]在算法中加入共享機制,改進原始算法的隨機追蹤的位置更新公式,降低搜索盲目性,提高收斂速度.文獻[13]提出非均勻變異演化算法,使個體能夠跳出局部最優(yōu),以克服早熟現(xiàn)象.文獻[14]通過高斯變異來增強蝙蝠算法種群的多樣性.

為解決標準樽海鞘群算法存在的求解精度不高和收斂速度慢等問題,本文提出了一種多子群的共生非均勻高斯變異樽海鞘群算法 (Multi-subpopulation based symbiosis and non-uniform Gaussian mutation salp swarm algorithm,MSNSSA).根據(jù)適應(yīng)度值大小,將種群分為領(lǐng)導(dǎo)者、追隨者和鏈尾者三個子群.首先對領(lǐng)導(dǎo)者位置更新公式中參數(shù)c1進行分析,以更好平衡探索和開發(fā)能力;然后對追隨者位置更新公式采用共生策略,增加與最優(yōu)個體的交流,增強局部開發(fā)能力;最后鏈尾者更新使用非均勻高斯變異,增強種群多樣性.通過求解14個典型測試函數(shù)和CEC 2014 測試函數(shù)的最優(yōu)解,驗證了改進算法MSNSSA 的有效性和魯棒性.

1 樽海鞘群算法

在樽海鞘群算法[8]中,樽海鞘鏈由領(lǐng)導(dǎo)者和追隨者兩種類型的樽海鞘組成.領(lǐng)導(dǎo)者是位于樽海鞘鏈的最前面,而其他個體則為追隨者的角色.隨機初始化種群:

其中,N為樽海鞘群的規(guī)模,d為空間維數(shù).

在SSA 中,食物源的位置是所有樽海鞘個體的目標位置,即探索過程中全局最優(yōu)解,影響著領(lǐng)導(dǎo)者位置更新.領(lǐng)導(dǎo)者的位置更新公式如下所示:

由式(2)可知,領(lǐng)導(dǎo)者位置更新主要受到食物源位置影響.其中參數(shù)c1定義如下:

式中,t為當前迭代次數(shù),Tmax為最大迭代次數(shù),冪系數(shù)m=2[8].參數(shù)c1在迭代過程中自適應(yīng)降低,當值較大時,有助于提升探索能力.而當值較小時,則有助于具體開發(fā)能力.系數(shù)c1可以使SSA 的探索能力和開發(fā)能力處于較好狀態(tài).因而系數(shù)c1是樽海鞘群算法中最重要的參數(shù).

為更新追隨者的位置,使用以下公式:

其中,由式(2)和式(5)可以模擬樽海鞘鏈的行為機制.

2 多子群的共生非均勻高斯變異樽海鞘算法

智能算法的核心是為了尋求探索能力和開發(fā)能力的平衡,為了實現(xiàn)這一點.本文在標準樽海鞘群算法基礎(chǔ)上,以最小化問題為例,保持原種群個體數(shù)目不變的條件下,按照適應(yīng)度值從小到大,均勻地把原有種群分為領(lǐng)導(dǎo)者、追隨者和鏈尾者三個子群體.這三種子群體執(zhí)行不同的更新策略,分別側(cè)重于平衡搜索、局部搜索和全局搜索.并結(jié)合相應(yīng)的進化策略,改善算法的優(yōu)化性能.具體描述如下.

2.1 SSA 算法參數(shù)分析

領(lǐng)導(dǎo)者位置更新式(2)中,參數(shù)c1可以使SSA的探索能力和開發(fā)能力處于較好狀態(tài).因而系數(shù)c1是樽海鞘群算法中最重要的參數(shù).式中的冪系數(shù)m的取值大小對算法探索能力和開發(fā)能力起到至關(guān)重要的作用.本文選取m從1.0 到3.5 之間分析對算法性能的影響.圖1 為m取不同數(shù)值時,隨迭代次數(shù)增加參數(shù)c1從2 遞減到0 的變化曲線.

圖1 c1 變化曲線Fig.1 c1 change curve

選取Schaffer 測試函數(shù)對參數(shù)進行分析,該函數(shù)在距全局最優(yōu)點大約3.14 范圍內(nèi)存在無窮多個局部極小將其包圍,并且函數(shù)強烈振蕩.實驗時,設(shè)定最大迭代次數(shù)為1 000,改變冪系數(shù)m后對Schaffer測試函數(shù)進行100 次尋優(yōu)計算,則m對算法性能的影響如表1 所示.

表1 參數(shù)m 對SSA 的影響Table 1 Influence of parameter m on SSA

如表1 所示,隨著冪系數(shù)的增加,SSA 算法尋優(yōu)的結(jié)果先增加后降低,當m=2.5 是尋優(yōu)最優(yōu)值達到0.無論是平均值和標準差,m=2.5 時都為最佳.隨著m增加,平均收斂代數(shù)在降低.雖然此時m=2.5 的平均收斂代數(shù)沒有m=3.0 和3.5 時的效果好,但是m=2.5 的尋優(yōu)結(jié)果要比其余都要好.結(jié)合圖1 分析可知,當m=2.5 時,迭代前期參數(shù)c1變化較快,能較好維持算法的全局搜索能力,迭代后期c1變化較慢,能有效提高算法的局部尋優(yōu)能力,從而取得良好的尋優(yōu)效果.綜上可知,當m=2.5 時,參數(shù)c1能使SSA 算法的探索能力和開發(fā)能力處于更好的平衡狀態(tài).

2.2 共生策略

由式(5)追隨者位置更新公式產(chǎn)生的新個體直接替換原個體,此更新方式存在以下缺點:1)更新后的追隨者個體不管適應(yīng)度值好與壞都直接替換原有個體,具有一定盲目性,會導(dǎo)致收斂速度降低;2)第i只樽海鞘位置會根據(jù)第i和i– 1 只樽海鞘位置進行更新,對先前個體依懶性較強,缺乏與其他個體學習的部分.若追隨者的位置是局部最優(yōu)解,則會容易陷入局部最優(yōu),出現(xiàn)停滯.為增強樽海鞘群算法的開發(fā)能力.本文提出一種共生策略對追隨者位置進行更新,公式如下:

式中,rand(0,1)是(0,1)之間的隨機數(shù);Fj為食物源在第j維空間的位置;稱為共生量,代表樽海鞘鏈中第i和i– 1 只樽海鞘的關(guān)系特征;R的作用解釋如下:在自然界中,某些互惠關(guān)系可能給一個生物帶來比另一個生物更大的有益優(yōu)勢.換句話說,樽海鞘i與樽海鞘i ?1 相互作用時可能會獲得巨大的利益.同時,樽海鞘i ?1 與樽海鞘i相互作用時可能只會獲得足夠的利益或沒有那么顯著的利益.式中受益因子R是隨機確定的1或2.這些因素代表樽海鞘個體是部分或全部受益于相互作用.經(jīng)式(6)新產(chǎn)生的追隨者需判斷適應(yīng)度值是否優(yōu)劣后再替換原有個體.

在式(6)追隨者位置更新策略中,增加了社會部分rand(0,1) × (Fj?C×R),使種群中的最優(yōu)個體參與追隨者的進化.與原來追隨者更新式(5)只使用第i和i– 1 只樽海鞘位置進行信息交流的方式相比,社會部分引入更多組合模式,使其不再單一圍繞前一個追隨者附近搜索,即將追隨者從原個體位置指引到食物源位置所在附近.從而提高算法的開發(fā)能力.

2.3 非均勻高斯變異

處于樽海鞘鏈尾端個體的適應(yīng)度值較差,被分類為鏈尾者子群.對于這類樽海鞘個體可以很好地保留自身信息,而不是一味地朝著領(lǐng)導(dǎo)者移動.為增強種群多樣性,本文為適應(yīng)度值較差的鏈尾者提出一種非均勻高斯變異策略,其更新如下:

非均勻高斯變異策略有如下特色:1)其更新對象為種群中適應(yīng)度最差的樽海鞘個體,而不是當前種群中的全部個體,降低變異計算復(fù)雜度.2)由式(7)可知,對鏈尾者更新公式以個體自身為基準,選擇食物源位置與當前個體進行高斯分布后自適應(yīng)調(diào)整變異步長的學習策略.該更新方式有利于保持種群多樣性,進一步增強算法全局搜索能力.

綜上所述,通過把原有算法種群分類為領(lǐng)導(dǎo)者、追隨者和鏈尾者三個子群,分別對其執(zhí)行不同的搜索任務(wù).領(lǐng)導(dǎo)者子群負責平衡算法探索能力和開發(fā)能力.追隨者子群負責增強算法開發(fā)能力.鏈尾者子群負責增強算法探索能力.進化過程中每一個子群有針對性地進行搜索,更適合自身的進化需求,增強算法求解性能.

3 仿真實驗與結(jié)果分析

為驗證本文提出的MSNSSA 在求解優(yōu)化問題上的有效性和魯棒性,將MSNSA 算法與加入共生策略的樽海鞘群算法 (記為SSSA)、加入非均勻高斯變異的樽海鞘算法 (記為NSSA)、SSA、PSO[1]、SCA[2]、BOA[3]和MFO[4]在14個典型的標準測試函數(shù)[15]最優(yōu)值求解上獨立進行50 次對比實驗.

實驗1.采用如表2 所示14個復(fù)雜函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù).選取的測試函數(shù)中包含單峰、多峰、可分和不可分等不同特征的測試函數(shù).表2中測試函數(shù)維度從2 維到200 維,可以更加全面地驗證算法性能.

表2 基準函數(shù)Table 2 Benchmark function

實驗最大迭代次數(shù)為1 000,種群個數(shù)為30,各算法其余的參數(shù)設(shè)置如表3 所示:

表3 參數(shù)設(shè)置Table 3 Parameter settings

通過50 次獨立試驗后從每種算法獲得結(jié)果的最佳值、平均值和標準偏差以及求解成功率SR%和平均耗時T等多個實驗對比數(shù)據(jù)如表4 所示.其中求解成功率為計算成功次數(shù)除以本次實驗的求解次數(shù).判斷一次求解是否成功按照下式:

式中,FA為每次實際求解最佳值,FT為測試函數(shù)理論最佳值.

首先,對于表4 中的最優(yōu)值、平均值都可以反應(yīng)算法的收斂精度和尋優(yōu)能力.對于6個單峰函數(shù)f1～f6,MSNSSA 在求解f5和f6函數(shù)時,尋優(yōu)精度達到理論最優(yōu)值0.同時,隨著搜索空間維度的增加,尋優(yōu)收斂精度f1至f4函數(shù)有所下降,因為伴隨求解維度的增加,對于算法求解難度也呈指數(shù)級別遞增,所以算法的收斂精度有所降低.隨著維度增加SSA、SCA、MFO 算法求解精度較差,其中SCA 算法求解100 維的Rosenbrock 時與理論最優(yōu)值存在1.0 × 107級的誤差.對于只引入共生策略的SSSA 和引入非均勻高斯變異的NSSA 兩種算法的尋優(yōu)精度較和標準差都比原始SSA 要好,這說明引入不同策略可增強算法性能.而MSNSSA 相對與其他幾種算法尋優(yōu)精度和標準差都要好,且求解部分單峰函數(shù)達到理論最優(yōu)值.對于8個多峰函數(shù)f7～f14,算法求解精度相對于單峰函數(shù)要低一些.同樣,隨著維度增加算法求解精度也有所降低.當維度增加到200 維時,SSA 算法與理論最優(yōu)值存在1.0 × 102級的誤差.MSNSSA 算法在求解8個多峰函數(shù)中,有5個都達到了理論最優(yōu)值.在求解函數(shù)f7和f10時,包括MSNSSA 在內(nèi)的其余4 種算法都達到了理論最優(yōu)值,但MSNSSA 的平均值比其他幾種算法都要好.在求解函數(shù)f8時,8 種算法都達到了理論最優(yōu)值,但MSNSSA、SSSA 和NSSA三種算法的平均值比其他算法好.求解其他函數(shù)時,MSNSSA算法比其他算法的精度都較高.另外SSSA 和NSSA 比標準SSA 尋優(yōu)結(jié)果基本較好,進一步說明加入不同策略對算法性能有所提升.可見MSNSSA算法在求解單峰、多峰、可分、不可分以及高維的基準函數(shù)時都有明顯的優(yōu)勢.

其次,表4 中標準差和成功率可以反映算法的穩(wěn)定性和跳出局部最優(yōu)的能力.MSNSSA 算法獨立50 次計算的都很接近理論最優(yōu)值、標準差也較小.說明MSNSSA 的尋優(yōu)求解有著一定的穩(wěn)定性.另外,MSNSSA 算法標準差始終都要比另外幾種算法要優(yōu)秀,進一步驗證了MSNSSA 的有效性.14個基準函數(shù)中有單峰、多峰、低維和高維,除了f4和f9函數(shù),MSNSSA 在成功率基本上為100%,而標準SSA 在f1函數(shù)的成功率為100%以外,其余基準函數(shù)成功率幾乎為0.隨著搜索維度的增加,標準SSA 在尋優(yōu)求解能力上表現(xiàn)出很大不足.特別是在求解多維函數(shù)時,最優(yōu)值和成功率都很差,說明標準SSA 在跳出局部最優(yōu)的能力較弱.而在MSNSSA和SSSA 中都引入共生策略,這對算法跳出局部搜索具有很大作用.

表4 基準函數(shù)結(jié)果對比Table 4 Comparison of benchmark function results

表4 基準函數(shù)結(jié)果對比 (續(xù)表)Table 4 Comparison of benchmark function results (continued table)

表4 基準函數(shù)結(jié)果對比 (續(xù)表)Table 4 Comparison of benchmark function results (continued table)

從平均耗時來看.由表4 可知,SCA 和PSO 平均耗時最短,改進的MSNSSA、SSSA、NSSA 這3種算法相對于標準SSA 的平均耗時都要大,此種情況也在合理范圍內(nèi).因為算法中引入更多的算子,使得算法能夠搜索到更多解,導(dǎo)致運行時間變長.總體來看,MSNSSA 平均耗時比另外兩種算法增加的并不是很大,在允許范圍內(nèi).

圖2 給出6個基準函數(shù)的平均收斂曲線圖,各函數(shù)分圖圖例同圖2(f)一致.由于MSNSSA 收斂精度較高,為了便于觀察收斂情況,本文對尋優(yōu)適應(yīng)度值(縱坐標)取以10 為底的對數(shù).由圖2可以看出,在迭代前期,MSNSSA 和SSSA 兩個算法收斂曲線下降很快,這說明引入共生策略,增加種群局部探索能力,使得算法一開始收斂速度就較快.隨著更迭次數(shù)的增加MSNSSA 算法持續(xù)尋優(yōu),在迭代后期也未出現(xiàn)停止狀況,收斂速度比其他算法都要快,且尋優(yōu)精度較高.另外,在迭代后期MSNSSA比只加入非均勻高斯變異的NSSA 收斂速度要快,說明非均勻高斯變異增強了種群多樣,驗證了改進算法的有效性.MSNSSA 在函數(shù)f7和f10上尋優(yōu)精度達到理論最優(yōu)值0.而標準SSA 算法收斂速度慢,前期和后期都出現(xiàn)不同程度的停滯.從圖2 可知,其他算法在前期和后期都出現(xiàn)停滯現(xiàn)象.

無論單峰、多峰,還是低維和高維,對于每個函數(shù)MSNSSA 比另外7 種算法的收斂速度和尋優(yōu)精度都要好.由表4 可知,對于函數(shù)f7和f10,MSNSSA的最佳值為0.所以在圖2(d)和圖2(e)中,MSNSSA曲線后面部分沒有顯示.

圖2 基準函數(shù)平均收斂曲線Fig.2 Function average convergence curves

基于50 次獨立運行算法的平均值和標準差二者之間不相互對比每次運行結(jié)果.文獻[16]提出對于改進進化算法性能的評估,應(yīng)該進行統(tǒng)計檢驗.換而言之,僅基于平均值和標準偏差值來比較算法還不夠.需要進行統(tǒng)計檢驗以驗證所提出的改進算法比其他現(xiàn)有算法具有顯著的改進優(yōu)勢.為了判斷MSNSSA 的每次結(jié)果是否統(tǒng)計上顯著的與其他算法的最佳結(jié)果不同,采用Wilcoxon 秩和檢驗在5%的顯著性水平下進行.表5 給出所有基準函數(shù)的MSNSSA 和其他算法的Wilcoxon 秩和檢驗中計算的p值.例如如果最佳算法是MSNSSA,則在MSNSSA 與SSSA,MSNSSA 與SSA 等之間進行成對比較.由于最佳算法無法與自身進行比較,因此,針對每個函數(shù)中的最佳算法標記為N/A,表示不適用.這意味著相應(yīng)的算法可以在秩和檢驗中沒有統(tǒng)計數(shù)據(jù)與自身進行比較.符號 “+”、“－”和“=”分別表示MSNSSA 的性能要優(yōu)于、劣于和相當于對比算法.根據(jù)文獻[16],當p<0.05 時,可以被認為是拒絕零假設(shè)的有力驗證.

由表5 可知,MSNSSA 的p值基本小于0.05.只有在f7的MSNSSA 與SSA 時,p值大于0.05.這表明該算法的優(yōu)越性在統(tǒng)計上是顯著的.即MSNSSA 算法比其他算法具有更高的收斂精度.

表5 基準函數(shù)Wilcoxon 秩和檢驗的p 值Table 5 p-value for Wilcoxon＇s rank-sum test on benchmark function

所有算法的定量分析是基于14個基準函數(shù)的平均絕對誤差 (Mean absolute error,MAE).文獻[17]提出對優(yōu)化算法進行排序,MAE是一種有效且可行的性能指標.表6 給出了這些基準函數(shù)的MAE排序,計算公式如下:

式中,mi為算法產(chǎn)生的最優(yōu)結(jié)果的平均值,oi為相應(yīng)基準函數(shù)的理論最優(yōu)值,Nf為基準函數(shù)個數(shù).計算值見表6.

由表6 可知,MSNSSA 算法排名為1.與另外7 種算法相比,MSNSSA 算法提供最小的MAE,進一步說明MSNSSA 算法的有效性.NSSA 和SSSA分別排第2 名和第3 名.

表6 MAE 算法排名Table 6 MAE algorithm ranking

實驗2.為更好評估MSNSSA 的有效性和穩(wěn)定性.本文還在CEC 2014 基準函數(shù)中選取部分單峰、多峰、混合和復(fù)合類型的函數(shù)進行優(yōu)化求解,如表7所示.實驗種群規(guī)模為30,最大迭代次數(shù)為1 000,維度為30.

表7 CEC 2014 基準函數(shù)Table 7 CEC 2014 benchmark function

表8 記錄了CEC 2014 中部分函數(shù)獨立運行30 次后每種算法的平均值和標準差的結(jié)果.CEC 2014 函數(shù)具有復(fù)雜的特征,因此所有算法都較難找到函數(shù)最優(yōu)值.根據(jù)表8 中結(jié)果顯示,MSNSSA 在6個基準函數(shù)上都求得比其他5個算法更優(yōu)的結(jié)果.驗證MSNSSA 具有較好的有效性和魯棒性.

表8 CEC 2014 優(yōu)化結(jié)果對比Table 8 Comparison of optimization results of CEC 2014

為比較本文的多子群MSNSSA 算法與其他多子群算法和改進樽海鞘群算法的優(yōu)劣.其中,MFOASQP (Multiple subgroups fruit fly optimization algorithm based on sequential quadratic programming local search)[18]是基于局部搜索的多子群果蠅優(yōu)化算法,雞群算法 (Chicken swarm optimization,CSO)[19]是一種新型的天然多種群優(yōu)化算法,HCPSO (Improved particle swarm optimization based on hierarchical autonomous learning)[20]是基于分層自主學習的改進粒子群優(yōu)化算法,DMSPSO (Dynamic multi-Swarm PSO)[21]是動態(tài)多子群粒子群優(yōu)化算法,PSO-SMS (Self-adaptive multi-swarm PSO)[11]是自適應(yīng)多子群粒子群優(yōu)化算法,CASSA (Crazy and adaptive salp swarm algorithm)[22]是瘋狂自適應(yīng)的樽海鞘群算法,CESSA (Chaotic and elite centroid stretching mechanism salp swarm algorithm)[23]是混沌精英質(zhì)心拉伸機制樽海鞘群算法,ICMOABC (Interval cooperative multi-objective artificial bee colony algorithm)[24]是區(qū)間合作多目標人工蜂群算法,HCMOIWO (Hybrid cooperative multi-objective optimization invasive weed optimization)[25]是混合合作多目標優(yōu)化入侵雜草優(yōu)化,MPEA(Multi-population evolutionary algorithm)[26]多子群進化算法.各算法在種群數(shù)量為50,搜索維度為30 維,迭代次數(shù)為2 000 的情況下,將本文改進算法獨立運行50 次后與其他參考文獻的幾種多子群算法和改進樽海鞘群算法進行對比,引用文獻[18]和文獻[20]的數(shù)據(jù)見表9 和表10.

由表9 和表10 可知,在求解f1和f2函數(shù)時,MSNSSA 未達到最優(yōu),而求解其余幾個函數(shù)在平均值和標準差較其余幾種算法都能達到最優(yōu).因此,更進一步說明本文提出的MSNSSA 算法比其他多子群算法具有更大優(yōu)越性.

表9 與參考文獻中算法均值的對比Table 9 Comparison of the mean with algorithm in references

表10 與參考文獻中算法標準差的對比Table 10 Comparison of the standard deviation with algorithms in reference

綜上可知,多子群的共生非均勻高斯變異樽海鞘群算法對于本文多種基準函數(shù)都有很好的尋優(yōu)結(jié)果.特別是對于高維、多峰的函數(shù),具有較好的穩(wěn)定性和尋優(yōu)能力.

4 結(jié)束語

本文在標準樽海鞘群算法的基礎(chǔ)上,分析領(lǐng)導(dǎo)者位置更新公式中的冪系數(shù)以平衡探索能力和開發(fā)能力,共生策略增強局部探索能力,非均勻高斯變異增加種群多樣性,提出一種改進的多子群的共生非均勻高斯變異樽海鞘群算法.并將樽海鞘群算法應(yīng)用于經(jīng)典和CEC 2014 基準函數(shù)的尋優(yōu)問題中.不僅使用最優(yōu)值、標準差等指標對算法進行檢驗,本文還提出使用Wilcoxon 秩和檢驗對算法顯著性水平進行驗證.研究表明:多子群的共生非均勻高斯變異樽海鞘群算法可以獲得更好的全局搜索和局部搜索能力,且收斂到質(zhì)量更好的最優(yōu)解,算法的有效性和魯棒性也得到驗證.在后續(xù)的研究中,考慮將改進的樽海鞘群算法應(yīng)用到工程實踐問題中,以進一步驗證算法的性能.