一類線性差分方程的最優(yōu)Ulam常數(shù)

侯牧林， 徐 冰

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 成都 610064)

1 引 言

1940年，Ulam最早提出了函數(shù)方程的穩(wěn)定性問題，即在方程近似解的附近是否存在真解. 1941年, Hyers關(guān)于Cauchy方程

f(x+y)=f(x)+f(y)

的穩(wěn)定性研究給出了肯定回答[1]. 正因如此，后來的研究者們多將函數(shù)方程的此類穩(wěn)定性稱為Hyers-Ulam穩(wěn)定性或Ulam穩(wěn)定性. 當(dāng)前，關(guān)于各類函數(shù)方程的Ulam穩(wěn)定性，已有不少研究成果[1-7].

在函數(shù)方程的Ulam穩(wěn)定性基礎(chǔ)上，人們希望進一步刻畫近似解與真解的接近程度，進而產(chǎn)生了最優(yōu)Ulam常數(shù)的概念[6]. 例如，對于一類重要的函數(shù)方程

xn+p=a1xn+p-1+…+apxn

(1)

人們對其Ulam穩(wěn)定性和最優(yōu)Ulam常數(shù)展開了深入研究.我們有如下的定義：

定義1.1[5]若對于任意給定的ε>0和滿足

‖yn+p-a1yn+p-1-…-apyn‖≤ε,n∈N

的序列{yn}n∈N，都存在常數(shù)K>0和滿足方程(1)的序列{xn}n∈N，使得 ‖xn-yn‖≤Kε, 則稱方程(1)為Ulam穩(wěn)定的，并稱常數(shù)K為方程的Ulam常數(shù).

顯然，若K0>K，則K0也是方程(1)的Ulam常數(shù).記K為方程(1)的所有Ulam常數(shù)構(gòu)成的集合.我們有如下的定義：

定義1.2[2]設(shè)K*=infK.若K*是方程(1)的Ulam常數(shù)，則稱K*為方程(1)的最優(yōu)Ulam常數(shù).

Brzdek等證明：當(dāng)且僅當(dāng)方程(1)的所有特征根的模不等于1時，方程(1)具有Ulam穩(wěn)定性[4]. 隨后，針對所有特征根的模大于1的情形, Baias等首先給出了當(dāng)p≤3時方程(1)的最優(yōu)Ulam常數(shù)[3]，之后又對一般的p給出了當(dāng)所有特征根均為單根時方程(1)的最優(yōu)Ulam常數(shù)[2].

本文對一般的p繼續(xù)研究方程(1)的最優(yōu)Ulam常數(shù)問題. 在方程(1)有且只有一個特征根r的條件下，我們首先使用常數(shù)變易法給出該方程的通解，進而在|r|>1的條件下構(gòu)造了該方程的一個特別有界近似解，最終給出方程的最優(yōu)Ulam常數(shù).

2 預(yù)備知識

設(shè)N為非負整數(shù)集,K為數(shù)域R或C. (X,‖·‖)為數(shù)域上的Banach空間.本文考慮Banach空間X上的p階線性差分方程

xn+p=a1xn+p-1+…+apxn

(2)

其中a1,…,ap∈,x0,…,xp-1∈X.下面的定理給出了方程(2)具有Ulam穩(wěn)定性的充分條件.

定理2.1[4]設(shè)λk為方程(2)的特征方程

λp=a1λp-1+a2λp-2+…+ap

的特征根,k=1,2,...,p.若|λk|≠1，則對任意給定的ε>0及X中滿足條件

‖yn+p-a1yn+p-1-…-apyn‖≤ε

的序列{yn}n∈N，均存在X中滿足方程(2)的序列{xn}n∈N，使得

3 主要結(jié)果

為簡便起見，本文補充定義

引理3.1設(shè)p≥2.定義

Wk(n+1)為行列式W(n+1)中第p行第k列的代數(shù)余子式,k=1,...,p.則有以下結(jié)論：

(iii)Wk(n+1)=

其中k=1,...,p.

證明 (i) 顯然有W(n+1)為p階范德蒙行列式，從而

由W1(n+1)的定義可知，

從而

故結(jié)論(i)成立.

(ii) 考慮輔助函數(shù)

(3)

式(3)右端的行列式也是范德蒙行列式，從而有

由Wk(n+1)定義可知,Wk(n+1)也為式(3)右端行列式中第p行第k列的代數(shù)余子式.因此，按式(3)右端行列式的最后一行展開得

(4)

(iii) 由式(4)可知,Wk(n+1)為多項式函數(shù)gn(x)中x的第k-1次項的系數(shù).由多項式乘法原理易推知結(jié)論(iii)成立. 證畢.

引理3.2設(shè)p≥1,n∈N.若r為方程(2)的特征方程

λp=a1λp-1+a2λp-2+…+ap

的p重根，則方程

yn+p=a1yn+p-1+…+apyn+bn

(5)

的通解為

其中{bn}n∈N為X中的序列,C1,…,Cp為X中的任意常數(shù).

證明 當(dāng)K=C時,X為復(fù)Banach空間.此時我們有r∈K.當(dāng)K=R時,X為實Banach空間.由實系數(shù)多項式方程的性質(zhì)可知，此時一定有r∈R,從而有r∈K.

(6)

其中

(7)

(8)

其中C1(n),C2(n),...,Cp(n)為待定系數(shù).令

ΔCk(n)=Ck(n+1)-Ck(n),k=1,...,p.

rn+1C1(n+1)=rn+1C1(n)+bn,

從而有

此時方程(5)的通解為

(9)

當(dāng)p≥2,n∈N時，由于rn,nrn,…,np-1rn是齊次方程(2)的一個基本解組, 因此一定可以選出一組C1(n),C2(n),…,Cp(n)，使得

1≤j≤p-1

(10)

由式(8)和(10)可得

依此類推，易知

1≤j≤p-1

(11)

事實上，不妨假設(shè)當(dāng)j=q時有

成立.則當(dāng)j=q+1時, 有

由歸納法知式(11)成立.

特別地，在式(11)中,當(dāng)j=p-1時有

因此

整理得

由于rn,nrn,…,np-1rn是齊次方程(2)的一個基本解組, 故對每個k=1,...,p都有

(12)

因此, 將式(12)代入上述等式化簡可得

(13)

由式(10)和(13)可知, 待定系數(shù)C1(n),…,Cp(n)滿足Casorati矩陣方程[7]，即對每個n∈N都有

(14)

由克拉默法則可知, 對每個k=1,...,p,n∈N, 方程(14)存在唯一解

因此, 方程(5)的一個特解為

由引理3.1中的結(jié)論(i)和(ii)可得

(15)

由式(6)和(15)可知, 此時方程(5)的通解為

(16)

證畢.

定理3.3設(shè)p≥1,n∈N,r為方程(2)的特征方程

λp=a1λp-1+a2λp-2+…+ap

(17)

可知bn∈X,‖bn‖=ε.

當(dāng)p=1時，由于|r|>1且‖bn‖=ε，可以定義X中的序列

其中

(18)

(p-1)k-1|W1(j+1)|.

k=1,...,p.

定義X中的序列

(19)

為方程(5)的一個特解. 記s=j-n.則有

(20)

在(20)式兩端同時關(guān)于x求p-1次導(dǎo)得

|x|<1.

由|r|>1有

(21)

再由式(20)和(21)得

使得

(22)

從而有