活用長方體，構(gòu)建立體幾何解題思維金鑰匙

楊亮 劉春換 丁玉軍 蕭蘭茁

【摘要】本文基于數(shù)學(xué)教學(xué)中如何解決“教師教得很辛苦，學(xué)生學(xué)得很痛苦，有的學(xué)生課前想自學(xué)，但基礎(chǔ)和自學(xué)能力差學(xué)不了.有的學(xué)生課上沒聽懂，課后沒人輔導(dǎo)想做題做不了.”這一難題展開討論，在設(shè)計數(shù)學(xué)學(xué)案時融入了深度學(xué)習的單元設(shè)計理念及教師微課講解、動態(tài)演示課件完善學(xué)生自主學(xué)習這一環(huán)節(jié)，旨在給學(xué)生創(chuàng)建一個自主學(xué)習的平臺.

【關(guān)鍵詞】深度學(xué)習;單元設(shè)計;微課講解;自主學(xué)案

【基金項目】本文是海南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“深度學(xué)習理念下現(xiàn)代教育技術(shù)與學(xué)生自主學(xué)案整合探索”（項目編號：QJH202010127）的階段性成果.

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教案或?qū)W案設(shè)計只是文字、圖形、符號語言的整合，有兩個弊端：一是不能照顧學(xué)生們基礎(chǔ)參差不齊的水平，有的學(xué)生想自學(xué)但看不懂學(xué)案無從下手.久而久之學(xué)生會失去信心，不利于學(xué)生在課前自主學(xué)習新知.二是數(shù)學(xué)是一個長期積累的、不斷鞏固提升的過程.學(xué)生當時沒聽懂或在教師引導(dǎo)下聽會了，但沒真正理解，過后還是不會應(yīng)用解題，這樣不利于學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習、形成知識體系，缺少一個引導(dǎo)學(xué)生自主復(fù)習的永久平臺.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》提出：數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生獲得四基“基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想、基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”的同時，提高四能“能夠發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題能力”，逐步學(xué)會三會“學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界”.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要載體是數(shù)學(xué)教學(xué)活動，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師利用信息技術(shù)可以創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，可以幫助學(xué)生自主探究和解決問題，將一些抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容通過直觀演示變得直觀可視化，通過網(wǎng)絡(luò)進一步拓展教學(xué)空間，引導(dǎo)學(xué)生進行自主探索活動.

基于以上兩點，我們數(shù)學(xué)名師工作室展開了數(shù)學(xué)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)融合自主學(xué)習學(xué)案設(shè)計的研究.設(shè)計學(xué)案時融入了教師微課講解與動態(tài)演示課件的學(xué)生自主學(xué)習環(huán)節(jié).學(xué)生復(fù)習相關(guān)知識、學(xué)習新知、課后復(fù)習或單元回顧時可隨時回放教師講解與演示動畫.這樣就有效地解決了“教師教得很辛苦，學(xué)生學(xué)得很痛苦，有的學(xué)生課前想自學(xué)，但基礎(chǔ)和自學(xué)能力差學(xué)不了.有的學(xué)生課上沒聽懂，課后沒人輔導(dǎo)想做題做不了.”這一難題.下面以高中新課程數(shù)學(xué)選擇性必修一教材中空間向量與立體幾何中長方體模型在解題與復(fù)習中應(yīng)用的基礎(chǔ)，并以其中一節(jié)的單元設(shè)計為例系統(tǒng)說明我們學(xué)案的每一個設(shè)計環(huán)節(jié)與意圖.

一、教材與學(xué)情分析

高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修一第一章空間向量與立體幾何，是數(shù)學(xué)必修“平面向量”在空間的推廣，又是必修“立體幾何初步”的延續(xù)、本章要使學(xué)生體會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進一步發(fā)展學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力.學(xué)生雖已學(xué)習了向量的基本運算和立體幾何初步知識，但學(xué)生空間觀念的形成和類比轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理的嚴謹性仍有待提高，不能用具體的立體幾何模型來展示及運用來解題.“空間向量”這一工具，能避免較為復(fù)雜的空間想象，為立體幾何代數(shù)化帶來很大的方便.合理建立空間直角坐標系，使“空間向量”坐標化，這是解題的關(guān)鍵，也是完成從幾何問題向代數(shù)問題轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ).

二、教學(xué)目標與方法

知識與技能（三類問題）：

1.讓學(xué)生借助長方體，理解“平行與垂直”相關(guān)核心定理.

2.讓學(xué)生借助長方體，內(nèi)化空間向量應(yīng)用立體幾何的核心解題方法.

3.讓學(xué)生會借助長方體模型靈活建立空間直角坐標系.

過程與方法：讓學(xué)生學(xué)會利用長方體模型構(gòu)建高中數(shù)學(xué)立體幾何知識體系，直觀形象地解決學(xué)生空間觀念差的問題.

核心素養(yǎng)及情感態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生學(xué)會利用深度學(xué)習理念經(jīng)歷知識再發(fā)生、再創(chuàng)造的整合過程，構(gòu)建知識體系，學(xué)會把前人留下的知識內(nèi)化為自己的經(jīng)驗，從而培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

教學(xué)方法與手段：本節(jié)課嘗試使用目標教學(xué)法和學(xué)生網(wǎng)絡(luò)線上（手機）自主學(xué)習法進行教學(xué).通過“微課視頻講解—動態(tài)課件演示—自主學(xué)案輔學(xué)”三者有機整合，利用信息技術(shù)和移動互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)照顧學(xué)生學(xué)習基礎(chǔ)的差異.學(xué)生在家利用手機或電腦結(jié)合學(xué)案能學(xué)會自主學(xué)習，從而獲得舉一反三的學(xué)習效果.

三、重難點

重點：活用長方體解決高中數(shù)學(xué)立體幾何問題.

難點：學(xué)生如何靈活利用長方體建系理念把具體問題轉(zhuǎn)化為向量坐標運算.

四、教學(xué)過程

（一）在新教材必修二的立體幾何初步中我們重點學(xué)習了平行與垂直兩種轉(zhuǎn)化，這也是高中數(shù)學(xué)立體幾何的核心思維.即

你能結(jié)合長方體中的線與面關(guān)系來說明一下這10個判定定理、性質(zhì)定理的內(nèi)容嗎？

設(shè)計意圖：學(xué)生先自己用文字語言、圖形語言、符號語言分別寫出這10個定理.然后試著用長方體中現(xiàn)有的線面關(guān)系寫出這10個定理，體會長方體模型的巨大作用.最后學(xué)生可以自主上網(wǎng)，觀看教師發(fā)布的微課查漏補缺，加深對平行與垂直這兩個核心難點的理解.

（二）新教材選修一的第一章空間向量與立體幾何核心內(nèi)容是利用空間向量解決立體幾何問題.實質(zhì)上就是建立空間直角坐標系，利用直線方向向量與面的法向量把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運算來解決.那么你能否用空間直角坐標系下長方體模型中線面來說明一下如何用空間向量來求解下面幾個基本問題：

1.直線方向向量、平面法向量的求法？

2.如何用空間向量來證明線線平行、線面平行、面面平行？

3.如何用空間向量來證明三種垂直問題？

4.如何用空間向量來求線與線、線與面、面與面的成角問題？

5.如何用空間向量來求空間兩點、點與線、點與面的距離問題？

設(shè)計意圖：空間向量解決立體幾何問題的前提是讓學(xué)生掌握基本問題的轉(zhuǎn)化方法，借助長方體模型，讓學(xué)生熟記這些方法，這是這一章的關(guān)鍵.學(xué)生先自行研討，然后教師播放或?qū)W生上網(wǎng)聽教師的微課講解，從而獲得事半功倍的效果.

（三）空間向量解決立體幾何問題難點是如何建立適當?shù)目臻g直角坐標系求相應(yīng)點的坐標，長方體是最簡單實用的建系模型.教材上36～49頁有些題不是長方體模型，我們?nèi)绾无D(zhuǎn)化構(gòu)造放在長方體內(nèi)進行建系解題呢？分下面三類分別討論一下：

1.有3條垂直棱的錐或柱（墻角錐、柱）型：

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材41頁3題：

如圖，在三棱錐O-ABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OC=3，OB=2，求直線OB與平面ABC所成角的正弦值

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材47頁3題：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，CB=1，CA=2，AA1=6，M是CC1的中點.求證：AM⊥BA1

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材38頁4題：

如圖，△ABC和△DBC所在的平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求：

（1）直線AD與直線BC所成角的大小.

（2）直線AD與平面BCD所成角的大小.

（3）平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材48頁4題：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為2a.

（1）試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，并寫出點A，B，A1，C1的坐標.

（2）求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材38頁3題：

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，求平面AA1B與平面A1BC1夾角的余弦值

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材48頁7題：

正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2，底邊長為1，M是BC的中點.在直線CC1上求一點N，使MN⊥AB1

[]高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材44頁18題：

在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a，（0<a<2）.

（1）求MN的長.

（2）a為何值時，MN的長最小.

（3）當MN的長最小時，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值

[]

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材49頁13題：

如圖，把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，O是原正方形ABCD的中心，求折紙后∠EOF的大小

有2個面垂直的幾何體：

https：//url.cn/6sJ54I0R？sf=uri

2.正四面體或?qū)庀嗟鹊乃拿骟w：

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材38頁2題：

PA，PB，PC是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值為多少

[]

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材41頁2題：

如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M，N分別是AD，BC的中點.求異面直線AN，CM所成角的余弦值

[]

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材36頁例7：

如圖，在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值

[]

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材42頁7題：

如圖，四面體OABC的所有棱長都是1，D，E分別是OA，BC的中點，E為BC的中點，連接DE.

（1）計算DE的長.

（2）求點O到平面ABC的距離

[]

高中數(shù)學(xué)人教版選擇性必修一教材43頁8題：

如圖，四面體ABCD的每條棱長都等于a，M，N分別是AB，CD的中點.求證：MN⊥AB，MN⊥CD

正四面體及對棱相等的四面體如何長方體建系

https：//v.youku.com/v_show/id_XNDg2ODkzMTY4OA==.html

設(shè)計意圖：學(xué)生先聽微課視頻，然后從教材中找出類似的習題.這一過程明確了讓學(xué)生如何利用長方體模型的建系理念來靈活解決問題，對培養(yǎng)學(xué)生建模思想、類比與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合一與抽象概括能力有重要意義.

（四）變式提升：如何利用長方體建系理念來解決下面問題.（說說你的建系方案）

[]

1.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側(cè)棱CC1上，且不與點C重合.

（1）當CF=1時，求證：EF⊥A1C.

（2）設(shè)二面角C-AF-E的大小為θ，求tan θ的最小值

[]

2.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）證明：PA⊥BD;

（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值

（五）歸納總結(jié)：

1.本節(jié)你有哪些學(xué)習收獲？

2.本節(jié)你認為我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法？

（六）課后延伸：

[]

1.（重慶）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=π[]3，F(xiàn)為PC的中點，AF⊥PB.

（1）求PA的長.

（2）求二面角B-AF-D的正弦值

課后每位學(xué)生在課外輔導(dǎo)書中選一道用本節(jié)思想方法解題的題目，小組成員合作共同完成.

五、學(xué)案設(shè)計優(yōu)點反思

學(xué)案設(shè)計得真正做到面向所有學(xué)生，不使每一個學(xué)生掉隊，這對后進生的轉(zhuǎn)化和整體教學(xué)水平的提高具有重要意義.精心設(shè)計的課前預(yù)習掃碼微課會讓所有學(xué)生特別是基礎(chǔ)較差學(xué)生樂于在課前及時復(fù)習和預(yù)習新知，激發(fā)他們的學(xué)習興趣.課堂講解的微課，能夠讓對課堂知識沒消化好的學(xué)生課后可以隨時重溫課堂重難點，給他們提供了隨時解惑的平臺，為培養(yǎng)優(yōu)生的數(shù)學(xué)思維和能力提供了空間和時間.微課的設(shè)計使基礎(chǔ)較差的學(xué)生課前、課后縮小了與優(yōu)生的差距.同時課堂也有了充分時間給優(yōu)生展示自己思維和研討的機會，加大了課堂的容量和效率.

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