師范教育中組合數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索

喬智

【摘要】組合數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的交叉學(xué)科，其內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛.本文先從教學(xué)內(nèi)容不明確、教學(xué)目標(biāo)不清晰、教學(xué)方法陳舊三方面分析了組合數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀.隨后從緊扣培養(yǎng)目標(biāo)、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維、介紹數(shù)學(xué)軟件、注重實(shí)際應(yīng)用等四方面對(duì)組合數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革進(jìn)行了探討.

【關(guān)鍵詞】組合數(shù)學(xué);師范教育;交叉學(xué)科

【基金項(xiàng)目】本文系四川師范大學(xué)校級(jí)教改項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2018JWC093、JWC202082050、JWC202082088）.

師范專業(yè)的目標(biāo)是培養(yǎng)優(yōu)秀的教師，保證我國教育事業(yè)的順利發(fā)展.組合數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的交叉學(xué)科，其內(nèi)容十分豐富，包括計(jì)數(shù)組合學(xué)、圖論、區(qū)組設(shè)計(jì)、極值組合、代數(shù)組合等.組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用也十分廣泛，它在計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用.

一般的組合數(shù)學(xué)課程主要講授計(jì)數(shù)組合學(xué)，講解基本的計(jì)數(shù)原理及其應(yīng)用.以成為優(yōu)秀教師為目標(biāo)，通過組合數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握組合數(shù)學(xué)的基本思想，明白組合數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)各個(gè)分支的聯(lián)系，了解組合數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用.在組合數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革中，我們要發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，從而更好地進(jìn)行組合數(shù)學(xué)的課程教學(xué).

一、組合數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀的分析

在過去的幾十年中，隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展，組合數(shù)學(xué)本身產(chǎn)生了巨大的變化，其自身的廣度與深度都與過去不可同日而語.與此同時(shí)，隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，組合數(shù)學(xué)與算法、編程、建模等相關(guān)內(nèi)容都產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系.師范專業(yè)的目標(biāo)是培養(yǎng)優(yōu)秀的教師，教學(xué)內(nèi)容與方法更需要與時(shí)俱進(jìn)，不能默守成規(guī)、一味地堅(jiān)持傳統(tǒng)教學(xué)的內(nèi)容與方式.

（一）課程內(nèi)容不明確

組合數(shù)學(xué)的內(nèi)容主要分為三類：純粹的數(shù)學(xué)，例如，容斥原理、Mbius反演公式;現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中的問題，例如，關(guān)于地圖染色的四色問題、關(guān)于網(wǎng)絡(luò)流量的最大流最小割定理;科研與工程中產(chǎn)生的問題，例如，電路中基本的基爾霍夫定理、網(wǎng)絡(luò)的可靠性問題.

傳統(tǒng)的組合數(shù)學(xué)課程主要講授計(jì)數(shù)組合學(xué).國內(nèi)組合數(shù)學(xué)教材，主要包含鴿巢原理、生成函數(shù)、遞推關(guān)系、容斥原理、Mbius反演公式、Pólya計(jì)數(shù)定理等內(nèi)容.其教學(xué)重點(diǎn)主要在于講解組合數(shù)學(xué)本身的各種理論，教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生熟悉與掌握經(jīng)典的組合數(shù)學(xué)工具，具備解決組合數(shù)學(xué)問題的基本能力，對(duì)理論的講解與例題的選擇，更側(cè)重于其內(nèi)在的組合意義，而非與其他學(xué)科的聯(lián)系.

隨著數(shù)學(xué)研究的不斷發(fā)展，組合數(shù)學(xué)中各種新的內(nèi)容與方法不斷產(chǎn)生.目前組合數(shù)學(xué)的研究出現(xiàn)在許多不同領(lǐng)域.而在具體的教學(xué)過程中，教師也經(jīng)常會(huì)講授組合數(shù)學(xué)在抽象代數(shù)、初等數(shù)論等其他數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用.隨著組合數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)等其他學(xué)科中的應(yīng)用越來越頻繁，圖論在組合數(shù)學(xué)中的意義也日益重要.一般的組合數(shù)學(xué)課程教學(xué)通常不涉及圖論的內(nèi)容，因而學(xué)生所能了解的組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用只局限于數(shù)學(xué)本身.

在具體課程內(nèi)容的選材時(shí)教師會(huì)很困擾，一方面，由于組合數(shù)學(xué)內(nèi)容十分廣泛，一門課程無法覆蓋組合數(shù)學(xué)的所有課題;另一方面，組合數(shù)學(xué)的經(jīng)典理論與組合數(shù)學(xué)的各種應(yīng)用也讓教師難以取舍.因此，組合數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容并不明確.

（二）課程定位不清晰

組合數(shù)學(xué)是一門交叉學(xué)科，學(xué)生學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)的意義主要有以下幾個(gè)方面：從普及數(shù)學(xué)教育的角度看，組合數(shù)學(xué)是一門常識(shí)性課程，每個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都應(yīng)該當(dāng)對(duì)其有基本的了解;從傳授知識(shí)的角度看，組合數(shù)學(xué)可以讓學(xué)生理解組合思想、掌握組合技巧;作為與數(shù)學(xué)不同分支聯(lián)系緊密的學(xué)科，組合數(shù)學(xué)可以讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是一個(gè)整體;作為在科學(xué)領(lǐng)域和工程領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用的學(xué)科，組合數(shù)學(xué)可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用.

在師范教育中，數(shù)學(xué)專業(yè)的目標(biāo)是培養(yǎng)未來的數(shù)學(xué)教師.那么具體到組合數(shù)學(xué)的課程教學(xué)中，本課程的教學(xué)目標(biāo)必須明確.因?yàn)獒槍?duì)不同的培養(yǎng)目標(biāo)，教師需要選取不同的教學(xué)內(nèi)容，采用不同的教學(xué)方式.

在傳統(tǒng)的組合數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，許多課時(shí)被用來向?qū)W生講授各種組合數(shù)學(xué)的技巧，例如，講解各種特殊計(jì)數(shù)序列.從數(shù)學(xué)科普的角度講，特殊計(jì)數(shù)序列這類內(nèi)容屬于組合數(shù)學(xué)的經(jīng)典結(jié)論，作為常識(shí)每個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都應(yīng)當(dāng)有所了解.與此同時(shí)，也有很多課時(shí)被用來將組合數(shù)學(xué)的各類定理推廣到一般形式，例如，偏序集上的Mbius反演公式、帶權(quán)形式的Pólya計(jì)數(shù)定理.從數(shù)學(xué)藝術(shù)的角度講，偏序集上的Mbius反演公式、帶權(quán)形式的Pólya計(jì)數(shù)定理作為對(duì)應(yīng)定理在一般形式上的推廣，其結(jié)論本身充滿美感.教師采用這種講解方式的優(yōu)勢(shì)在于使得學(xué)生對(duì)某些經(jīng)典的組合專題有較為系統(tǒng)、深入的了解.但這種教學(xué)方式對(duì)結(jié)構(gòu)圖論、代數(shù)圖論、概率模式等內(nèi)容完全不涉及，理論與實(shí)際脫軌，使得學(xué)生很難使用組合數(shù)學(xué)的工具與思想去解決具體的問題.

在組合數(shù)學(xué)這樣內(nèi)容豐富的課程教學(xué)中，教師需要對(duì)經(jīng)典專題與前沿專題進(jìn)行取舍，對(duì)專題涵蓋的深度與廣度也需要仔細(xì)斟酌.在師范教育的過程中，組合數(shù)學(xué)課程應(yīng)該有著更加重要的角色.

（三）教學(xué)方法陳舊

隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)的結(jié)合越來越緊密.不論是在工程中對(duì)數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用，還是在數(shù)學(xué)研究與科學(xué)研究的具體操作中，都離不開與計(jì)算機(jī)專業(yè)相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件.但在組合數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)中，幾乎不包含對(duì)組合數(shù)學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件的講解.通常在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模等專業(yè)課程中教師才會(huì)對(duì)具體的數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行介紹.在組合數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師一般采用經(jīng)典的數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法，先介紹定義，隨后證明定理、命題，課堂的大部分時(shí)間都用在講解定義與證明定理.這種課程安排方法，把理論課程與應(yīng)用課程分割開了.

事實(shí)上，理論與應(yīng)用是數(shù)學(xué)的兩面，理論是應(yīng)用的支撐，應(yīng)用是理論的實(shí)踐.對(duì)于數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)這類入門課程或?qū)嵶兒瘮?shù)、泛函分析這類理論課程而言，教師進(jìn)行這樣的講解當(dāng)然是沒有問題的.但是對(duì)于組合數(shù)學(xué)這樣一門應(yīng)用如此廣泛，與計(jì)算機(jī)結(jié)合得如此緊密的學(xué)科，教師依然采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法，只講解理論與證明，無法讓學(xué)生明白組合數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的具體應(yīng)用，也無法讓學(xué)生了解組合數(shù)學(xué)的全貌，更無法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)的動(dòng)力.因此，教師在組合數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，可以嘗試引入新的教學(xué)方法，將理論與應(yīng)用結(jié)合起來講授.

二、組合數(shù)學(xué)教學(xué)改革的思考

教師進(jìn)行組合數(shù)學(xué)的課程教學(xué)，一方面應(yīng)當(dāng)盡量讓學(xué)生了解組合數(shù)學(xué)本身的各個(gè)專題;另一方面，也應(yīng)當(dāng)發(fā)揮組合數(shù)學(xué)的橋梁作用，讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)內(nèi)部各個(gè)分支的聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)在不同學(xué)科中的應(yīng)用，掌握基本的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力.

（一）緊扣培養(yǎng)目標(biāo)

組合數(shù)學(xué)課程的培養(yǎng)目標(biāo)應(yīng)該是讓學(xué)生明確組合數(shù)學(xué)作為交叉學(xué)科的優(yōu)勢(shì)，教師通過講解組合數(shù)學(xué)在不同數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用和組合數(shù)學(xué)在不同學(xué)科中的應(yīng)用，讓師范專業(yè)的學(xué)生了解數(shù)學(xué)的全貌以及組合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，從而讓他們未來成為更好的數(shù)學(xué)教師.在具體的教學(xué)中，教師不應(yīng)在講解組合數(shù)學(xué)的某些專題時(shí)太過深入，而應(yīng)當(dāng)多介紹組合數(shù)學(xué)的不同專題，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)其與不同領(lǐng)域的聯(lián)系.

在過去的五十年中，數(shù)學(xué)的研究成果呈指數(shù)級(jí)增長，其后果之一就是人們無法對(duì)所有的新成果都有所了解.然而數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的教科書的數(shù)量也大大增加，例如，Springer出版社著名的UTM與GTM系列.在實(shí)際的教學(xué)中，教師要考慮到學(xué)生已掌握的有限知識(shí)，選擇講解課程所在領(lǐng)域的一小部分內(nèi)容，盡量避免與其他課程產(chǎn)生聯(lián)系，以免增加學(xué)生的學(xué)習(xí)難度.與此同時(shí)，為了充實(shí)課程內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)內(nèi)容的理解，教師一般會(huì)選擇對(duì)具體的定理、命題進(jìn)行深入講解，如一般化推廣、講解大量的例子.

在許多數(shù)學(xué)課程中，教師采用這種方法是沒有問題的.但組合數(shù)學(xué)有其自身的特點(diǎn)，一方面，組合數(shù)學(xué)因其易接受性而廣為人知.換句話說，許多組合數(shù)學(xué)的問題，其講解過程中主要涉及精妙的組合技巧，而不需要大量的數(shù)學(xué)背景知識(shí).另一方面，組合數(shù)學(xué)在許多不同領(lǐng)域中都有較為直接的應(yīng)用，即教師在講解過程中只需要對(duì)相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用背景有基本的了解.因此，教師在組合數(shù)學(xué)的教學(xué)中，講解大量精妙的組合技巧和相對(duì)初等的例子意義并不大.對(duì)于組合數(shù)學(xué)這樣的學(xué)科，我們應(yīng)重點(diǎn)講授方法與應(yīng)用.例如，最基本的二項(xiàng)式定理，一方面，它可以推廣到交換環(huán)上，也可以推廣為關(guān)于函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式;另一方面，它也可以根據(jù)其得到多項(xiàng)式定理和多元函數(shù)的萊布尼茲公式.因?yàn)榻M合數(shù)學(xué)揭示的是數(shù)學(xué)中的基本技巧與原理，將組合數(shù)學(xué)作為線索，把數(shù)學(xué)的各個(gè)分支聯(lián)系起來.

因而在具體教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)在適當(dāng)?shù)牡胤綇?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)不同分支之間的聯(lián)系，這樣可以使學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)的全貌，也可多講解組合數(shù)學(xué)在不同學(xué)科中的應(yīng)用，使學(xué)生更好地了解數(shù)學(xué)在工程和科學(xué)領(lǐng)域的作用.

（二）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維

一方面，組合數(shù)學(xué)的問題來源十分廣泛，每個(gè)問題都有自己獨(dú)特的精妙解法.另一方面，許多組合數(shù)學(xué)的基本結(jié)論，都可以進(jìn)行一般性的推廣.在具體的教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)弱化數(shù)學(xué)技巧，減少組合數(shù)學(xué)結(jié)論的一般性推廣，而重點(diǎn)向?qū)W生講授數(shù)學(xué)思維.

組合數(shù)學(xué)中的許多內(nèi)容，大都有大量初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用，例如，特殊計(jì)數(shù)序列、鴿巢原理、容斥原理等.對(duì)于這部分相對(duì)基礎(chǔ)的組合原理，講解大量初等應(yīng)用的好處在于向?qū)W生展示不同問題的精妙解法.許多組合數(shù)學(xué)的基本結(jié)論，都可以進(jìn)行一般性的推廣，例如，偏序集上的Mbius函數(shù)、帶權(quán)形式的Pólya計(jì)數(shù)定理.通常，這種一般性的推廣都會(huì)得到比原本定理更為廣泛的應(yīng)用，其推廣過程通常篇幅較長，但方法上的創(chuàng)新較少，其應(yīng)用的推廣也通常是在同一類問題上進(jìn)行的.組合數(shù)學(xué)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛，例如，數(shù)論、圖論、編碼、區(qū)組設(shè)計(jì)、算法.在授課過程中，教師有必要選擇其中有代表性的內(nèi)容進(jìn)行講解，多介紹組合數(shù)學(xué)的各種典型方法，而不應(yīng)在某一部分具體內(nèi)容上，追求一般性與理論體系的完美融合.因此，在組合數(shù)學(xué)的課程講解中，教師應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)講授數(shù)學(xué)思維，選擇一些典型的方法進(jìn)行講解，對(duì)相同的數(shù)學(xué)技巧、一般性推廣的講解可以適當(dāng)減少.

教師在課堂中應(yīng)重點(diǎn)講授數(shù)學(xué)思維，對(duì)于組合數(shù)學(xué)中那些精妙的應(yīng)用和定理的一般性推廣，可以將其中的一些作為課后作業(yè)與課外閱讀.這種方式顯然不同于傳統(tǒng)的教師講授、學(xué)生接受的教學(xué)模式.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最終還是為了解決問題，教師在課堂上把握住課程的核心脈絡(luò)，學(xué)生在課下閱讀一些額外的內(nèi)容，嘗試解決一些經(jīng)典的題目，不僅可以讓學(xué)生把握住課程的主題脈絡(luò)，還可以培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)與獨(dú)立思考的能力.

（三）介紹數(shù)學(xué)軟件

傳統(tǒng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)在于講解數(shù)學(xué)理論.而組合數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的聯(lián)系十分緊密.因而在課程中，教師除了介紹組合數(shù)學(xué)理論之外，也可以適當(dāng)補(bǔ)充相關(guān)數(shù)學(xué)軟件的介紹.

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論越來越復(fù)雜，數(shù)學(xué)論文動(dòng)輒上百頁，完全靠人工計(jì)算是低效的且沒有必要的.十七、十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們，喜歡手算各種數(shù)值計(jì)算，以此來展示他們對(duì)理論的實(shí)際應(yīng)用.對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育來說，教師讓學(xué)生了解與掌握基本的計(jì)算方法與計(jì)算原理是有必要的，但不必執(zhí)著于讓學(xué)生進(jìn)行手算.

組合數(shù)學(xué)的具體問題一般計(jì)算量都較大.學(xué)生掌握數(shù)學(xué)軟件基本的使用方法，就可以避免大量重復(fù)的勞動(dòng)，把更多精力用在理解數(shù)學(xué)思想上.而與此同時(shí)，在現(xiàn)代的工程和科研領(lǐng)域中，編程是一項(xiàng)必備技能，因而本課程中對(duì)數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)也并沒有額外增加學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)，反而可以將計(jì)算機(jī)課程中的編程知識(shí)與數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)和具體數(shù)學(xué)問題的解決聯(lián)系起來.例如，Mathematica軟件中的求序列函數(shù)FindSequenceFunction，只需輸入數(shù)列的前幾項(xiàng)，該函數(shù)就會(huì)找到滿足條件的通項(xiàng)公式;而StirlingS1、StirlingS2、CatalanNumber函數(shù)則可以生成對(duì)應(yīng)的Stirling數(shù)與卡特蘭數(shù).

教師在組合數(shù)學(xué)課程中介紹數(shù)學(xué)軟件一些基本的組合函數(shù)的用法，在解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生可以通過理論分析得到具體的算法，根據(jù)算法只需要調(diào)用數(shù)學(xué)軟件對(duì)應(yīng)的內(nèi)部函數(shù)即可，省了大量的工作量.而算法的復(fù)雜度也是組合數(shù)學(xué)關(guān)注的內(nèi)容，同學(xué)們自主設(shè)計(jì)算法解決實(shí)際問題，更好地體現(xiàn)了學(xué)以致用的思想.因此，教師在組合數(shù)學(xué)課程中介紹數(shù)學(xué)軟件的使用，是很有益處的.

（四）注重實(shí)際應(yīng)用

在一般數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中，我們主要關(guān)注的是數(shù)學(xué)理論的構(gòu)建與解決對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.組合數(shù)學(xué)課程與具體的應(yīng)用聯(lián)系十分緊密.因此，在組合數(shù)學(xué)課程中，教師應(yīng)當(dāng)多介紹組合數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)等其他領(lǐng)域的應(yīng)用，這樣更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

在傳統(tǒng)的組合數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師主要關(guān)注的是各類計(jì)數(shù)問題，涉及的學(xué)科基本都是數(shù)學(xué)的不同分支，例如，數(shù)學(xué)分析、近世代數(shù)、初等數(shù)論等.數(shù)學(xué)的優(yōu)美理論自然有其內(nèi)在的價(jià)值，但數(shù)學(xué)的各種應(yīng)用更充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的紐帶.例如，組合數(shù)學(xué)中的最大流最小割定理，就是用來研究兩地之間公路運(yùn)量的基本工具;基爾霍夫定律是電路中電流和電壓所遵循的基本定律，它也可以用組合數(shù)學(xué)理論給出直接的證明;計(jì)算機(jī)科學(xué)中的網(wǎng)絡(luò)可靠性也經(jīng)常用圖論中的連通度進(jìn)行描述.

而在具體問題的分析中，我們可以選擇與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系緊密的問題.例如，組合數(shù)學(xué)在密碼學(xué)中的相關(guān)問題;交通網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)量分配問題;工廠生產(chǎn)中的最優(yōu)化問題等.教師選擇這些實(shí)際問題進(jìn)行舉例，可以讓學(xué)生了解組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)的動(dòng)力.

教師講解數(shù)學(xué)理論，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)理論的優(yōu)美;而講解數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的具體用處與用法.對(duì)數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)應(yīng)用兩方面進(jìn)行了解，學(xué)生會(huì)更清楚學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義.

三、總結(jié)

組合數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的交叉學(xué)科，其內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛.在師范教育的組合數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)緊扣培養(yǎng)目標(biāo)、強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維、介紹數(shù)學(xué)軟件、注重實(shí)際應(yīng)用，從而得到更好的教學(xué)效果.

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