基于均勻化理論的混凝土等效彈性模量預(yù)測

陳思翰，呂方濤，黃 威，王玲玲，孔德文

(貴州大學(xué)土木工程學(xué)院，貴陽 550025)

0 引 言

混凝土作為一種典型的非均質(zhì)復(fù)合材料，其宏觀力學(xué)性能由其細觀乃至微觀結(jié)構(gòu)決定。因此，只有從細觀尺度出發(fā)，深入研究混凝土材料在細觀層次的組成和排列結(jié)構(gòu)的作用與內(nèi)在聯(lián)系，從局部到整體，從細觀到宏觀，才能更清楚地把握混凝土材料的力學(xué)性能[1]。Roelfstra等[2]在混凝土材料力學(xué)性能的研究中引入“細觀”這一概念，將混凝土視為由骨料、水泥砂漿及二者間界面構(gòu)成的三相復(fù)合材料。借鑒細觀尺度的研究思想，國內(nèi)外學(xué)者開展了諸多研究，逐漸發(fā)展形成了混凝土細觀力學(xué)，并建立了細觀力學(xué)及多尺度模擬的數(shù)值實現(xiàn)方法，利用數(shù)值結(jié)果揭示混凝土材料細觀成分對其宏觀力學(xué)特性的影響規(guī)律及作用機理。

彈性模量是反映混凝土材料力學(xué)性能的重要指標，用于研究混凝土材料變形、裂紋開裂和擴展及損傷等。因此，彈性模量的確定是研究混凝土力學(xué)性能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在細觀模型應(yīng)用方面，劉光廷等[3]提出了隨機骨料模型，用于表征混凝土中骨料的空間隨機分布情況，為后續(xù)研究提供了基礎(chǔ)。Christensen等[4]建立兩相模型，用于預(yù)測復(fù)合材料的等效彈性模量，但未考慮界面過渡區(qū)的影響。Nilsen等[5]研究表明，骨料-水泥砂漿間界面過渡區(qū)對混凝土的等效彈性模量存在一定影響。為更準確預(yù)測混凝土的彈性模量，Neubauer等[6]提出了考慮界面層影響的混凝土細觀模型。在理論研究方面，復(fù)合材料彈性性能的預(yù)測分析方法主要包括代表體元法、工程經(jīng)驗公式法、自洽法及均勻化理論等。其中，代表體元法與工程經(jīng)驗公式法簡單易行，但代表體元法的誤差難以預(yù)測且不具備嚴格的數(shù)學(xué)理論，工程經(jīng)驗公式法則缺乏普適性，預(yù)測效率較低[7]。自洽法的應(yīng)用對象為結(jié)構(gòu)簡單的復(fù)合材料，研究對象為結(jié)構(gòu)復(fù)雜的復(fù)合材料時，表現(xiàn)出計算量較大的缺點。而均勻化理論是一種量化復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)與其宏觀性能之間聯(lián)系及相互作用的多尺度分析方法，應(yīng)用嚴格的理論基礎(chǔ)研究復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)與宏觀性能的關(guān)系[8]。唐欣薇等[9]從細觀尺度出發(fā)，基于均勻化理論研究了混凝土的宏觀力學(xué)性能，宏細觀結(jié)果具有較好的一致性。鄧方茜等[10]采用均勻化理論，預(yù)測纖維混凝土的彈性模量，預(yù)測值與試驗值吻合較好。Ouyang等[11]基于細觀模型，運用均勻化理論研究了混凝土細觀組分與彈性模量的關(guān)系。綜上所述，基于混凝土真實結(jié)構(gòu)，建立與其對應(yīng)的細觀模型，采用多尺度分析方法可較好預(yù)測混凝土的宏觀力學(xué)特性，是量化細觀組分對混凝土宏觀結(jié)構(gòu)力學(xué)性能影響程度的可靠研究方法。

本文將混凝土視為由骨料、水泥砂漿及兩者間界面過渡區(qū)組成的三相復(fù)合材料，采用瓦拉文公式實現(xiàn)骨料級配選取，運用蒙特卡羅方法完成骨料的隨機生成與投放，建立具有周期性的混凝土單胞模型，利用Python自動施加周期性邊界條件，結(jié)合均勻化理論，提出混凝土等效彈性模量的預(yù)測方法；基于混凝土單胞模型，通過控制變量法研究單胞尺寸、骨料體積率、骨料最大粒徑和界面層厚度對混凝土等效彈性模量的影響規(guī)律。

1 單胞模型的建立

1.1 骨料級配

為使混凝土產(chǎn)生最優(yōu)的結(jié)構(gòu)密度和強度，通常采用富勒曲線表示混凝土的骨料粒徑分布。富勒曲線是針對三維空間中的骨料而言的，然而三維模擬較為復(fù)雜，計算量巨大。Walraven等[12]基于概率統(tǒng)計提出了富勒曲線的二維轉(zhuǎn)化公式，將其轉(zhuǎn)化為混凝土內(nèi)截面上任一點具有骨料直徑D

(1)

式中：D0為篩孔直徑；Pk為混凝土中骨料的占比；Dmax為混凝土中骨料的最大粒徑。

1.2 骨料生成與投放

混凝土細觀建模的原則是盡可能準確地反映混凝土的真實結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)骨料形狀的不規(guī)則性及骨料位置分布的隨機性。本文基于蒙特卡羅方法，利用Python的random模塊，實現(xiàn)隨機多邊形骨料的生成與投放，如圖1所示。骨料的生成到投放分為三個步驟：

(1)確定中心坐標。在邊長為x0、y0的矩形區(qū)域內(nèi)隨機生成一點(xi,yi)，作為骨料衍生的中心坐標。

(2)建立隨機多邊形骨料。根據(jù)粒徑范圍控制骨料頂點與中心坐標之間的距離Pi，以隨機角度Qi生成n(5≤n≤9)個頂點k，連接各頂點構(gòu)成多邊形骨料。

(3)判斷骨料與模型邊界的相對關(guān)系。若骨料位于模型內(nèi)部，則不做處理；若骨料超出模型邊界，則刪除該骨料；若骨料與模型邊界相交，則對骨料進行切割，并將超出邊界的部分置于邊界的中心對稱處，實現(xiàn)骨料的周期性分布。

圖1 骨料的生成與投放Fig.1 Generation and delivery of aggregate

1.3 單胞模型

建立由骨料、水泥砂漿及兩者間界面過渡區(qū)構(gòu)成的混凝土單胞模型，如圖2所示。運用瓦拉文公式確定混凝土的粒徑分布，采用蒙特卡羅方法實現(xiàn)隨機多邊形骨料的生成與投放，建立具有周期可重復(fù)性的單胞模型，即可由許多個微觀單胞模型重復(fù)堆疊構(gòu)成宏觀層次的模型。因此，混凝土單胞模型的有效性質(zhì)可用于表征混凝土的有效性能。

圖2 單胞模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of unite-cell model

2 理論分析方法

2.1 均勻化理論

均勻化理論是研究周期性細觀結(jié)構(gòu)的一套嚴格的數(shù)學(xué)理論。它以構(gòu)成材料細觀結(jié)構(gòu)的單胞為研究對象，將宏觀結(jié)構(gòu)中一點的位移、應(yīng)力等物理量采用攝動解的形式，展開為與細觀結(jié)構(gòu)相關(guān)攝動量的漸進級數(shù)，利用虛功原理得到單胞的平衡方程，再引入單位荷載和邊界條件，通過相關(guān)數(shù)學(xué)變換得到單胞的等效彈性模量。

設(shè)在空間R3中占據(jù)體積Ω的混凝土材料結(jié)構(gòu)如圖3所示，結(jié)構(gòu)體受體力f，在邊界Γt上受表面力t，Γu上給定位移u。對于非均質(zhì)復(fù)合材料，其宏觀結(jié)構(gòu)受外力作用時，應(yīng)力和位移等場變量隨宏觀位置的改變而改變，而細觀結(jié)構(gòu)的高度非均勻性導(dǎo)致這些場變量在宏觀位置的微小領(lǐng)域內(nèi)產(chǎn)生劇烈變化。對于此類雙尺度問題，可引入小參數(shù)ε(0<ε?1)，令y=x/ε，其中y為細觀坐標，x為宏觀坐標，1/ε為放大因子。

假設(shè)所有變量均建立于宏、細觀雙尺度基礎(chǔ)上：

Φε(x)=Φ(x,y)

(2)

式中：ε表示該函數(shù)具有雙尺度的特征。

假設(shè)單胞模型滿足下列邊界條件及三大基本方程：

力邊界條件：

(3)

位移邊界條件：

(4)

平衡方程：

(5)

幾何方程：

(6)

本構(gòu)方程：

(7)

圖3 周期性單胞示意圖Fig.3 Schematic diagram of periodic unite-cell

采用漸進開展方法，將任一點位移uε(x)展開為：

uε(x)=u0(x,y)+εu1(x,y)+ε2u2(x,y)+…

(8)

由虛功原理可得：

(9)

式中：u為單胞的位移；v為邊界條件下的虛位移。

將式(8)代入式(9)可得到關(guān)于u0、u1的攝動方程，根據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，通過相關(guān)的數(shù)學(xué)變換，可得出單胞的等效彈性模量：

(10)

2.2 周期性邊界條件

對單胞等效彈性模量的求解，現(xiàn)已有多種方法可以選擇，考慮到計算成本，本文選擇引入周期性邊界條件，在周期性邊界條件下對單胞施加不同的初應(yīng)變進行求解。單胞的周期性邊界條件可表述為：

(11)

對此，可通過建立單胞節(jié)點、對邊的線性約束方程來施加周期性邊界條件。為提高混凝土彈性模量預(yù)測模型的計算效率，采用Python編寫周期性邊界條件自動施加程序，加快單胞等效彈性模量的計算速度。由于在單胞模型分析中，應(yīng)力邊界條件屬于自然條件，所以對于周期性邊界條件的施加僅需考慮位移邊界條件。在圖4模型四個角點和兩條對邊建立位移約束條件，約束方程具體如下：

角點位移約束方程：

(12)

(13)

(14)

(15)

邊位移約束方程：

(16)

(17)

根據(jù)位移約束方程，可將周期性邊界轉(zhuǎn)化為：

(18)

式中：+、-表示對稱邊界。

圖4 單胞幾何圖Fig.4 GeometricFigure of unite-cell

3 模型驗證

為驗證本文建立的混凝土單胞模型的有效性與方法的準確性，采用已有文獻組分材料屬性數(shù)據(jù)(見表1)預(yù)測混凝土等效彈性模量。

表1 各組分材料屬性Table 1 Material properties of each component

圖5 等效彈性模量結(jié)果對比[13-16]Fig.5 Comparison of equivalent elastic modulus results[13-16]

建立3種骨料隨機分布的單胞模型，施加周期性邊界條件，預(yù)測混凝土材料的等效彈性模量，取3個等效彈性模量預(yù)測值的平均值與對應(yīng)文獻結(jié)果進行比較，對比結(jié)果如圖5所示。預(yù)測值與文獻值吻合度較高，兩者最大誤差為4.97%，最小誤差為1.87%。對誤差最大的一組數(shù)據(jù)進行分析可知，Sun等[14]建立的細觀模型，骨料為圓形，采用的分析方法為Mori-Tanaka法，不同的分析方法與骨料形狀是產(chǎn)生相對較大誤差的主要原因。經(jīng)已有文獻驗證，本文建立的混凝土單胞模型可用于混凝土材料等效彈性模量的預(yù)測。

4 等效彈性模量影響因素

采用細觀模型預(yù)測混凝土等效彈性模量時，可以定量地研究各組分因素對等效彈性模量的影響規(guī)律。引用文獻[17]中的材料參數(shù)：骨料彈性模量EA=55.4 GPa，泊松比μ=0.16；水泥砂漿彈性模量EM=25.7 GPa，泊松比μ=0.22；界面過渡區(qū)彈性模量EI=23.6 GPa，泊松比μ=0.16。利用本文建立的混凝土單胞模型，討論單胞尺寸、骨料體積率、界面層厚度及骨料最大粒徑對混凝土等效彈性模量的影響規(guī)律。

4.1 單胞尺寸

單胞模型存在某個周期可用于表征混凝土的宏觀性能:周期過小時擾動較大，不能充分表征混凝土的宏觀性能；周期過大時趨于穩(wěn)定，但計算量巨大。因此，需要確定能準確反映混凝土宏觀性能且計算成本低的單胞尺寸?；诒疚慕⒌念A(yù)測模型，生成9組不同單胞尺寸的、級配合理的、骨料體積率為40%的混凝土細觀模型，其中每組包括3種骨料分布。

圖6為單胞尺寸對等效彈性模量的影響。從圖6中可以看出，單胞尺寸小于150 mm時，混凝土等效彈性模量隨單胞尺寸的增加而增大，單胞尺寸超過150 mm后，等效彈性模量圍繞某一值上下波動，并隨著單胞尺寸的持續(xù)增大，振蕩反應(yīng)逐漸變小，最終趨于某個穩(wěn)定值。因此，能充分反映混凝土宏觀性能且計算成本低的單胞尺寸為150 mm。后續(xù)研究以邊長150 mm建立單胞模型，分析骨料體積率、界面層厚度與骨料最大粒徑對混凝土等效彈性模量的影響。

圖6 單胞尺寸對等效彈性模量的影響Fig.6 Effect of unite-cell size on equivalent elastic modulus

圖7 骨料體積率對等效彈性模量的影響Fig.7 Effect of aggregate volume rate on equivalent elastic modulus

4.2 骨料體積率

為探究骨料體積率對混凝土等效彈性模量的影響規(guī)律，分別建立骨料體積率為20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%的單胞模型，結(jié)果如圖7所示，骨料體積率小于40%時，等效彈性模量隨骨料體積率的增加快速增大，超過40%后，增長幅度變緩，等效彈性模量在35 GPa左右波動。骨料體積率從20%提高至80%時，混凝土等效彈性模量提高約15%。

4.3 界面層厚度

混凝土中骨料-水泥砂漿間界面過渡區(qū)(interfacial transition zone， ITZ)對其等效彈性模量存在一定影響，因此，有必要研究界面層對混凝土等效彈性模量的影響規(guī)律。本文以界面層厚度為研究對象，參考已有研究[18]成果，界面層厚度分別取0.01 mm、0.02 mm、0.03 mm、0.04 mm和0.05 mm，骨料體積率取40%，建立相應(yīng)的混凝土單胞模型，等效彈性模量預(yù)測結(jié)果如圖8所示。

圖8表明界面層厚度對混凝土等效彈性模量的影響呈單調(diào)遞減的趨勢。界面層厚度由0.01 mm增加至0.05 mm時，等效彈性模量由35.27 GPa減小到34.97 GPa，降幅約為0.85%，可見，界面層厚度對混凝土等效彈性模量的影響較小。

4.4 骨料最大粒徑

取骨料體積率為40%，骨料最小粒徑為5 mm，骨料最大粒徑為25 mm至40 mm，建立單胞預(yù)測模型，研究骨料最大粒徑對等效彈性模量的影響規(guī)律，結(jié)果如圖9所示。結(jié)果顯示混凝土等效彈性模量隨骨料最大粒徑的增加而增大，呈單調(diào)遞增的變化趨勢。骨料最大粒徑小于30 mm時，對等效彈性模量的影響較小，超過30 mm后，對等效彈性模量的影響相對較大。骨料最大粒徑從25 mm增大至40 mm時，混凝土等效彈性模量提高約1.86%，影響不顯著。

圖8 界面層厚度對等效彈性模量的影響Fig.8 Effect of ITZ thickness on equivalent elastic modulus

5 結(jié) 論

(1)本文建立的混凝土單胞模型考慮了骨料-水泥砂漿間界面層的影響，能比較真實準確地預(yù)測混凝土的等效彈性模量。

(2)單胞尺寸對混凝土等效彈性模量的影響結(jié)果表明，可充分表征混凝土等效彈性模量且計算成本低的單胞尺寸為150 mm。

(3)骨料體積率位于20%～40%內(nèi)時，對混凝土等效彈性模量的影響顯著，隨著骨料體積率增大，彈性模量逐漸增加。當(dāng)骨料體積率從20%提高至80%時，混凝土等效彈性模量提高約15%。

(4)界面層厚度與骨料最大粒徑對混凝土等效彈性模量的影響均不明顯。界面層厚度對等效彈性模量的影響規(guī)律呈單調(diào)遞減的變化趨勢，界面層厚度從0.01 mm增大到0.05 mm時，等效彈性模量降幅約為0.85%。隨著骨料最大粒徑的增加，等效彈性模量逐漸增大，骨料最大粒徑從25 mm增大到40 mm時，混凝土等效彈性模量提高約1.86%。