無顯性投入不確定DEA模型及應(yīng)用

紀(jì)愛兵，龐佳宏

(1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北 保定 071002;2.河北大學(xué) 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院,河北 保定 071000)

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(data envelopment analysis,DEA)由Charnes等[1]創(chuàng)立，廣泛應(yīng)用于對(duì)多投入、多產(chǎn)出系統(tǒng)績(jī)效評(píng)價(jià)的一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法.它是以優(yōu)化為工具,對(duì)多投入、多產(chǎn)出的“部門”或“單位”(稱作決策單元,decision making unit,簡(jiǎn)稱 DMU)間的相對(duì)有效性進(jìn)行評(píng)價(jià)的一種新的分析方法,是數(shù)學(xué)、管理學(xué)和數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)新的交叉領(lǐng)域[2-3]，其基本思想是把每一個(gè)被評(píng)價(jià)單位作為一個(gè)DMU,由眾多DMU組成被評(píng)價(jià)集合,通過對(duì)多個(gè)投入與產(chǎn)出指標(biāo)的綜合分析,以DMU的各個(gè)投入與產(chǎn)出指標(biāo)的加權(quán)和作為變量進(jìn)行運(yùn)算,以可觀察到的投入與產(chǎn)出建立一個(gè)包絡(luò)所有DMU的相對(duì)最有效率的有效生產(chǎn)前沿面,并根據(jù)各DMU與有效生產(chǎn)前沿面的距離狀況確定各DMU是否DEA有效,同時(shí)還可用投影方法指出非DEA有效或弱 DEA有效的原因及應(yīng)改進(jìn)的方向和程度.迄今DEA進(jìn)行了多方面擴(kuò)展,如可變規(guī)模報(bào)酬DEA模型[2]、動(dòng)態(tài)DEA模型[4]等；另外結(jié)合系統(tǒng)投入和產(chǎn)出的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，Toloo等[5]研究了含不期望投入或不期望產(chǎn)出的DEA模型.針對(duì)評(píng)價(jià)系統(tǒng)數(shù)據(jù)的不確定性，許多學(xué)者研究了隨機(jī)DEA模型[6-7]和模糊DEA模型[8-11].

在實(shí)際績(jī)效評(píng)價(jià)中，有一類情況，系統(tǒng)投入指標(biāo)對(duì)績(jī)效評(píng)價(jià)影響較小，績(jī)效評(píng)價(jià)結(jié)果主要取決于系統(tǒng)的產(chǎn)出，或者投入指標(biāo)很復(fù)雜，不容易獲得，僅有產(chǎn)出指標(biāo).對(duì)這種情況的績(jī)效評(píng)價(jià)問題，許多學(xué)者[12-14]研究了無顯性投入的數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型(DEA-WEI).在文獻(xiàn)[12-14]的DEA-WEI模型中，產(chǎn)出數(shù)據(jù)都是精確的實(shí)數(shù)，但在世界一流學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)中，有的產(chǎn)出指標(biāo)如“科學(xué)研究”、“學(xué)科聲譽(yù)”和“社會(huì)服務(wù)”等指標(biāo)難以精確量化，往往是不確定的，如區(qū)間值產(chǎn)出和模糊值產(chǎn)出.因此，研究無顯性投入的不確定數(shù)據(jù)的DEA(FDEA-WEI)具有非常大的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

首先給出無顯性投入的不確定DEA模型，主要包括：無顯性投入的區(qū)間值DEA模型(IDEA-WEI)和無顯性投入的模糊值DEA-WEI模型(FDEA-WEI)，經(jīng)典DEA-WEI模型是無顯性投入的不確定DEA模型的特殊情況；然后，將IDEA-WEI模型應(yīng)用于一流學(xué)科建設(shè)績(jī)效的評(píng)價(jià),將FDEA-WEI模型應(yīng)用于一流學(xué)科周期建設(shè)績(jī)效的評(píng)價(jià)，實(shí)驗(yàn)證明了提出的無顯性投入不確定DEA模型的有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 DEA模型

假設(shè)有n個(gè)具有可比性部門或單位(稱為決策單元，簡(jiǎn)稱DMU)，每個(gè)決策單元都有m種投入，s種產(chǎn)出，第j個(gè)決策單元的第i種投入為xij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，第r種產(chǎn)出為yrj(r=1,2,…,s;j=1,2,…，n)；用ωi和μr分別表示投入、產(chǎn)出權(quán)重.將被評(píng)價(jià)的決策單元表示為DMU-j0，所以，產(chǎn)出DEA模型[1]如下：

(1)

定義1若優(yōu)化問題(1)存在最優(yōu)解ωi,μr，使得效率指數(shù)hj0=ωixi0=1，則稱DMU-j0弱DEA有效.

定義2若優(yōu)化問題(1)存在最優(yōu)解ωi,μr，滿足hj0=ωixi0=1,并且ωi>0,μr>0，則稱DMU-j0為DEA有效.

1.2 模糊DEA模型

模糊DEA模型可以通過將原始DEA模型中的精確投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)更改為模糊投入、產(chǎn)出數(shù)據(jù)而得到,其中模糊投入CCR模型如下:

(2)

求解模糊CCR模型的方法主要有以下幾種：基于模糊數(shù)比較規(guī)則而建立的模型[11],基于截集方法[8]和可能性方法[9]等.

1.3 DEA-WEI模型

假設(shè)有n個(gè)決策單元，每個(gè)決策單元有s個(gè)產(chǎn)出(沒有明顯的投入)，第j個(gè)決策單元的第r種產(chǎn)出為yrj(r=1,2,…,s;j=1,2,…，n)，記ψ={yrj|r=1,2,…，s;j=1,2,…,n}；用μr表示產(chǎn)出權(quán)重.設(shè)被評(píng)價(jià)的決策單元為DMU-j0，則DEA-WEI模型如下：

(3)

定義3若優(yōu)化問題(3)存在最優(yōu)解μr，使得E0(ψ)=1,則稱DMU-j0為DEA有效.若E0(ψ)<1,則稱DMU-j0為DEA無效.

1.4 模糊數(shù)及模糊數(shù)排序

記I(R)={[a,b]|a≤b,a∈R,b∈R}為區(qū)間數(shù)的全體，F(xiàn)(R)為模糊數(shù)全體.

在不確定決策中，經(jīng)常要用到排序，在I(R)上定義全序[15](滿足自反性，對(duì)稱性和傳遞性)“”：[a,b][c,d]?a+b≤c+d或者a+b=c+d，b-a≤d-c.

2 無顯性投入不確定DEA模型

假設(shè)有n個(gè)決策單元，每個(gè)決策單元有s個(gè)產(chǎn)出(沒有明顯的投入)，第j個(gè)決策單元的第r種產(chǎn)出為yrj(r=1,2,…，s;j=1,2,…,n)，記ψ={yrj|r=1,2,…,s;j=1，2,…，n}.在很多情況下，產(chǎn)出指標(biāo)yrj為不確定性數(shù)據(jù)，如區(qū)間數(shù)或模糊數(shù)，本節(jié)將無顯性投入的實(shí)值DEA模型拓展到無顯性投入的不確定DEA模型，利用區(qū)間值或模糊值的產(chǎn)出yrj(r=1,2,…,s;j=1,2,…,n),給出對(duì)n個(gè)決策單元的績(jī)效評(píng)價(jià)和績(jī)效的排序方法.

2.1 IDEA-WEI模型

(4)

(5)

(6)

顯然,式(5)(6)分別等價(jià)于下面線性規(guī)劃:

(7)

(8)

2.2 FDEA-WEI模型

上面研究了產(chǎn)出數(shù)據(jù)是區(qū)間數(shù)的DEA-WEI模型，其不確定性體現(xiàn)在數(shù)據(jù)有一定的變化幅度，在實(shí)際應(yīng)用中由于人們認(rèn)識(shí)的主觀性，還有另一種不確定數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的邊界是模糊的，對(duì)這種不確定性數(shù)據(jù),最好的表示方法是模糊數(shù).

(9)

(10)

(11)

顯然，式(10) 和式 (11) 等價(jià)于以下優(yōu)化問題：

(12)

(13)

3 FDEA-WEI模型的應(yīng)用

3.1 問題描述

學(xué)科評(píng)價(jià)是高等教育評(píng)價(jià)中的范疇，其評(píng)價(jià)指標(biāo)體系也是不斷發(fā)展變化的，早期的重視教學(xué)、師資、辦學(xué)條件等，逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槿诤先瞬排囵B(yǎng)、科學(xué)研究、社會(huì)服務(wù)等體現(xiàn)大學(xué)職能的綜合性評(píng)價(jià).學(xué)科評(píng)價(jià)是一個(gè)復(fù)雜的評(píng)價(jià)體系，因?yàn)閷W(xué)科眾多，各個(gè)學(xué)科又有其特殊性，許多學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)指標(biāo)具有不確定性，甚至模糊性.利用無顯性投入的不確定DEA對(duì)一流學(xué)科建設(shè)績(jī)效更符合學(xué)科評(píng)價(jià)的特點(diǎn).

通過對(duì)教育部等3部門頒布的《“雙一流”建設(shè)成效評(píng)價(jià)辦法》等國(guó)家政策文件的解讀、國(guó)內(nèi)外學(xué)科評(píng)估體系的調(diào)研及相關(guān)文獻(xiàn)的梳理，確定無顯性投入的不確定DEA方法對(duì)一流學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)的產(chǎn)出指標(biāo)，收集相關(guān)學(xué)校學(xué)科產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)，利用構(gòu)建的無顯性投入的不確定DEA對(duì)這些學(xué)校學(xué)科建設(shè)績(jī)效進(jìn)行評(píng)價(jià)并排名.

3.2 應(yīng)用實(shí)例1

在國(guó)家“雙一流”建設(shè)大背景下，各省均啟動(dòng)了“雙一流”建設(shè)，某省欲在各學(xué)科選拔1～2個(gè)學(xué)科作為省“雙一流”建設(shè)學(xué)科，但考慮到各個(gè)學(xué)校管理體制和投資渠道的復(fù)雜性，僅考慮產(chǎn)出的績(jī)效評(píng)價(jià)，本文以管理學(xué)一級(jí)學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)作為實(shí)例.

近4年產(chǎn)出指標(biāo)[19-20]包括：

1)人才培養(yǎng)(Y1)：在高校中人才培養(yǎng)主要反映的是為社會(huì)培養(yǎng)合格的人才，這主要體現(xiàn)在學(xué)生的質(zhì)量和數(shù)量上，因?yàn)楦鲗W(xué)校學(xué)生層次不同，主要包括本科生數(shù)量、碩士生數(shù)量以及博士生數(shù)量.許多研究是以本科生作為標(biāo)準(zhǔn)“1”統(tǒng)一折合，用區(qū)間數(shù)表示更為精確，把各類畢業(yè)生人數(shù)作為區(qū)間的左端點(diǎn)，以折合后的數(shù)(碩士生為1.5，博士生為2)為右端點(diǎn).

2)科學(xué)研究：科研成果可以從2個(gè)方面來考查，包括科研質(zhì)量、科研數(shù)量.各高校所獲得的科研數(shù)量主要有以下幾個(gè)方面：科研項(xiàng)目數(shù)、專著出版數(shù)、論文發(fā)表數(shù)、專利數(shù)；科研質(zhì)量主要是通過國(guó)家級(jí)項(xiàng)目、省級(jí)項(xiàng)目、校級(jí)項(xiàng)目等項(xiàng)目的級(jí)別來評(píng)估的.

①論文和論著數(shù)(Y2):因種類和層次(一般刊物，核心期刊，三大檢索和高被引論文等)不同可折合，用區(qū)間數(shù)表示；

②項(xiàng)目數(shù)(Y3):包括國(guó)家級(jí)項(xiàng)目、省級(jí)項(xiàng)目、校級(jí)項(xiàng)目等，考慮到級(jí)別不同須折合為一個(gè)數(shù)，用區(qū)間數(shù)表示；

③專利數(shù)(Y4).

3)社會(huì)服務(wù)(Y5)：包括繼續(xù)教育或成人教育、委托培養(yǎng)、科研攻關(guān)、技術(shù)轉(zhuǎn)讓、政策咨詢等，是一個(gè)復(fù)雜的指標(biāo)，統(tǒng)一折合為區(qū)間數(shù).

某省2013—2017年管理學(xué)產(chǎn)生數(shù)據(jù)見表1，利用IDEA-WEI模型對(duì)該省管理學(xué)學(xué)科建設(shè)進(jìn)行評(píng)價(jià)，績(jī)效評(píng)價(jià)結(jié)果見表2.

表1 某省2013—2017年管理學(xué)科產(chǎn)出數(shù)據(jù)Tab.1 Output data of managenent discipline fom 2013 to 2017

表2 管理學(xué)科建設(shè)區(qū)間值績(jī)效Tab.2 Interval-valued efficiency of management discipline

從表2可知，DMU5是學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)強(qiáng)有效單位，DMU1和DMU2為學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)有效單位，DMU3、DMU4、DMU6、DMU7、DMU8和DMU9為學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)無效單位.利用區(qū)間數(shù)的排序方法[15]，這9所高校管理學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)排名情況如下：

DMU5?DMU2?DMU1?DMU3?DMU4?DMU6?DMU7?DMU8?DMU9.

3.3 應(yīng)用實(shí)例2

數(shù)學(xué)學(xué)科建設(shè)績(jī)效評(píng)價(jià)的產(chǎn)出指標(biāo)Y1,Y2,Y3,Y4與應(yīng)用1相同，考慮到數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和4年周期績(jī)效評(píng)價(jià)的需要，本應(yīng)用中再增加評(píng)價(jià)指標(biāo)Y5:學(xué)科聲譽(yù).考慮到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的誤差和數(shù)據(jù)的復(fù)雜性，有的產(chǎn)出數(shù)據(jù)是一個(gè)估算值，有的數(shù)據(jù)是定性評(píng)價(jià)，這種情況用模糊數(shù)表示更為客觀、準(zhǔn)確.數(shù)據(jù)見表3.

表3 某省2013—2017年數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)出數(shù)據(jù)Tab.3 Output data of mathematics in a province from 2013 to 2017

表4 10所高校數(shù)學(xué)學(xué)科模糊績(jī)效的αi-截集Tab.4 αi-cut of fuzzy efficiency of mathematics discipline of 10 univeristies

4 結(jié)語

以上討論了不確定環(huán)境下無顯性投入的生產(chǎn)系統(tǒng)的績(jī)效評(píng)價(jià)問題，首先給出了IDEA-WEI模型，并將該績(jī)效評(píng)價(jià)模型應(yīng)用于某省管理學(xué)一級(jí)學(xué)科建設(shè)的績(jī)效評(píng)價(jià)和績(jī)效排名；然后給出FDEA-WEI模型，討論該模型的一些性質(zhì)，并將FDEA-WEI應(yīng)用于一流學(xué)科1周期建設(shè)績(jī)效的評(píng)價(jià)與排名.以上研究將DEA-WEI模型推廣到產(chǎn)出數(shù)據(jù)為區(qū)間值和模糊值的情況，經(jīng)典DEA-WEI模型是本研究的一種特殊情況.