概率統(tǒng)計教學中思維品質培養(yǎng)例談

李立明

（吉林大學數(shù)學學院公共數(shù)學教學與研究中心，吉林長春 130012）

概率統(tǒng)計是大學數(shù)學教育的一門重要課程，與其他研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學學科不同，概率統(tǒng)計研究的是隨機現(xiàn)象的內(nèi)在統(tǒng)計規(guī)律性，是解決隨機性問題的強有力工具[1]。在概率統(tǒng)計的教學中一定要重視培養(yǎng)學生的思維品質，以及培養(yǎng)學生用概率統(tǒng)計的思維方式解決各種隨機問題的能力。通過養(yǎng)成良好的思維習慣，來提升內(nèi)在的數(shù)學素養(yǎng)，實現(xiàn)大學數(shù)學教育的價值。概率統(tǒng)計教學中應培養(yǎng)學生的哪些思維品質呢?下面從四個方面結合教學實例進行探討。

1 “比較與聯(lián)想”的思維品質

概率統(tǒng)計教學中的很多內(nèi)容，表面上看似毫無關聯(lián)，實際卻是可以溝通互化的。在講授比較抽象晦澀的概念時，教師應遵循學生的認知規(guī)律，從學生比較熟悉、易于理解的舊的概念出發(fā)，挖掘新舊知識之間的聯(lián)系，找到二者之間的契合點，然后啟發(fā)和引導學生深入思考，通過區(qū)分比較和廣泛聯(lián)想，由舊概念順其自然地延伸和推廣出新的概念。學生親歷了概念的形成過程，不僅加深了對新概念的理解，而且主動思考的過程，會激發(fā)學生探究的興趣和探索的精神，既鍛煉了思維品質，也實現(xiàn)了思維的延伸和推廣。

1.1 在“數(shù)學期望”的概念教學中，培養(yǎng)學生“比較與聯(lián)想”的思維品質

“離散型”和“連續(xù)型”隨機變量是概率論中最重要的隨機變量類型[2]。“離散型”隨機變量的數(shù)學期望，直觀、易懂，而“連續(xù)型”隨機變量的數(shù)學期望，則較為抽象，不易被接受。在教學實施過程中，教師要啟發(fā)和引導學生將這兩種隨機變量的特征加以比較，分析它們的不同點和相同點，找到聯(lián)系二者的橋梁，將這兩種隨機變量溝通互化，先將連續(xù)取值的隨機變量X“離散化”，求出它的數(shù)學期望，再將離散取值的隨機變量X“連續(xù)化”，就可以輕松地把數(shù)學期望的概念由“離散型”隨機變量延伸和推廣到“連續(xù)型”隨機變量[3]。

設X 為密度函數(shù)為f(x)的連續(xù)型隨機變量，取很密集的分點x0＜x1＜…＜xn，則X 在區(qū)間△xi=(xi, xi+1)內(nèi)取值的概率為當△xi充分小時，就有P(X∈△xi)≈f(xi)△xi。此時連續(xù)型隨機變量X 就被“離散化”，它可以近似地看成是具有概率分布的離散型隨機變量，從而數(shù)學期望為

最后只需將離散取值的隨機變量X“連續(xù)化”就行了。事實上，讓分點無限變密就可以實現(xiàn)X“連續(xù)化”，同時對和式取極限便得到，這就是連續(xù)型隨機變量X 的數(shù)學期望的定義表達式。

1.2 在“幾何概型”的概念教學中，培養(yǎng)學生“比較與聯(lián)想”的思維品質

“古典概型”與“幾何概型”是概率統(tǒng)計教學中的兩種重要的概率模型?！肮诺涓判汀钡亩x，具體、直觀，其中n(A)表示隨機事件A 中的樣本點個數(shù)，n(Ω)表示樣本空間Ω中的樣本點個數(shù)。在講授“幾何概型”的定義時，教師啟發(fā)學生將“幾何概型”與“古典概型”進行類比，牢牢抓住“樣本點等可能出現(xiàn)”這個本質屬性，把樣本點的個數(shù)由有限推廣到無限，就可以順其自然地得到“幾何概型”的定義，其中L(A)表示隨機事件A 對應的區(qū)域的測度，L(Ω)表示樣本空間Ω對應的區(qū)域的測度。

在概率統(tǒng)計的課堂教學中類似的實例還有很多，比如，兩個隨機事件的獨立性通過比較可以聯(lián)想到2個隨機變量的獨立性；一維隨機變量的均勻分布通過類比可以推測二維隨機變量的均勻分布；連續(xù)型隨機變量X 的數(shù)學期望通過類比可以得到它的函數(shù)g(X)的數(shù)學期望，等等。

2 隨機性思維品質

人類生活在一個充斥著隨機現(xiàn)象的世界，各種不確定因素隨處可見。然而隨機現(xiàn)象并非雜亂無章，當同類隨機現(xiàn)象大量涌現(xiàn)時，就會呈現(xiàn)出一定的數(shù)量變化規(guī)律。在概率統(tǒng)計的教學中，教師應緊密聯(lián)系生活中的隨機事件，引導學生改變傳統(tǒng)的確定性思維方式，學會運用隨機性思維來分析和處理問題，激發(fā)學生的隨機性數(shù)學意識，培養(yǎng)他們的隨機性思維品質。

2.1 運用案例教學，培養(yǎng)學生的隨機性思維品質

例題1：假設每位學生的生日在一年365 天中的任何一天是等可能的，即都等于1/365，求64 位學生中至少有2 人生日相同的概率。

解：試驗的樣本點總數(shù)為36564，事件“64 位學生生日各不相同”包含的樣本點數(shù)為365 364…(365-64+1)，于是64 位學生生日各不相同的概率為，故64 位學生中至少有2人生日相同的概率為

例題1 完成后，讓全班64 個學生依次有序地寫出自己的生日，然后教師略做統(tǒng)計，很快發(fā)現(xiàn)確實有兩個學生生日完全相同。隨著結果的公布，許多學生都感到很驚奇，不由得感慨概率統(tǒng)計的奇妙。通過這個有趣的隨機性問題，既激發(fā)了學生運用隨機性思維的興趣，也增強了學生用隨機性思維解決實際問題的能力。

2.2 利用MATLAB 數(shù)學軟件進行實驗教學，培養(yǎng)學生的隨機性思維品質

“列維—林德伯格（Levy-Lindberg）定理”，也稱“獨立同分布的中心極限定理”，是概率統(tǒng)計教學內(nèi)容中的一個重要定理[4]。該定理表明，相互獨立同分布、具有數(shù)學期望和方差的隨機變量序列之和，其標準化變量以標準正態(tài)分布為極限分布。

例題2：利用MATLAB 數(shù)學軟件實現(xiàn)中心極限定理的直觀演示。

（1）產(chǎn)生n 個服從均勻分布U(0,1)的隨機數(shù)，取n=50，計算n 個隨機數(shù)的和y 以及。（2）將步驟（1）重復m=1000 次，用m 組的數(shù)據(jù)作頻率直方圖[5]。

解編程如下：

輸出結果，如圖1所示。由圖形可以直觀看出，當n 比較大時，n 個獨立且都服從U(0,1)分布的隨機變量之和近似服從正態(tài)分布。

圖1 輸出結果

利用MATLAB 數(shù)學軟件進行實驗教學，讓概率統(tǒng)計的知識具體化、形象化，使學生對概率統(tǒng)計的思想內(nèi)涵有了更直觀、明晰的領悟，在實際操作過程中，既提高了學生的應用能力，也鍛煉了他們的思維品質。

3 多向的發(fā)散思維品質

聚合思維和發(fā)散思維是兩種不同的思維模式。聚合思維是單一方向的思維模式；發(fā)散思維則是無規(guī)律、無定式的多方向的思維模式。聚合思維是發(fā)散思維的基礎，發(fā)散思維是聚合思維的升華與發(fā)展。在概率統(tǒng)計的教學中，教師引導學生突破思維定式，從聚合思維方式上升到發(fā)散思維方式，就可以通過拓寬學生思維的廣度、深度，增加學生思維的靈活性，達到提升思維品質、提高數(shù)學素養(yǎng)的目的。

概率統(tǒng)計教學內(nèi)容中包含著各種各樣的隨機問題，其求解方法靈活多樣，尤其是關于古典概率的計算問題，往往一題多解，一題多變，從不同的思考角度和途徑出發(fā)，有著不同的解題方法。發(fā)散性思維就是要打破常規(guī)，從與眾不同、別出心裁的角度出發(fā)來解決問題，往往會獲得很好的效果，同時也提高了創(chuàng)新能力。

例題3：有5 張簽，其中2 張簽寫著“有”字，3 張簽不寫字，5 人依次抽取，求第k（1≤k≤5）個人抽到寫著“有”字的簽的概率。

解法1：用全概率公式求解。設Ak表示求第k(1≤k≤5)個人抽到寫著“有”字的簽的概率。則

解法2：用排列的方法求解。把5 張簽編號，將它們看作是彼此不同的簽。把抽出的5 張簽依次排列在5 個位置上，則排列法總數(shù)為5!。又因為第k 個人抽到寫著“有”字的簽有2 種取法，而其余的4 張簽排列法為4!，因此所求概率為：

解法3：用組合的方法求解。把2 張寫著“有”字的簽看作是沒有差別的，把3 張無字簽也看作是沒有差別的。把抽出的5 張簽依次排列在5 個位置上，寫著“有”字的簽的位置有C25種放法，而其余位置必然放的是無字簽，放法總數(shù)為C25。又因為第k 個人抽到了“有”字簽，所以第k 個位置必須放“有”字簽，另一個“有”字簽在其余4 個位置上任取一個位置，因此所求概率為：

解法4：只考慮第k 次抽簽。5 張簽中的任何一張都有可能在第k 次被抽到，所以樣本點總數(shù)為5，而抽到“有”字簽只有兩種可能，因此所求概率為：

由例題3 可見，解法1 化整為零計算量較大。解法2、3、4 雖然都使用古典概率的計算方法，但隨著樣本空間選取的不同，解題的繁雜程度也不同。如果樣本空間選取得好，那么解題會更加簡便。事實上，解法4 的樣本空間是最小的，它抓住了隨機事件的本質特點，不考慮無關因素，化繁為簡，標新立異，解法很奇妙，運算量最小。

4 逆向思維品質

逆向思維是多向的發(fā)散思維中比較重要的一個方面，在概率統(tǒng)計的教學中，培養(yǎng)學生的逆向思維品質，通過正反兩方面思考問題，能夠使學生的思維方式更加靈活多變，分析和解決問題的方法更加新穎和獨特，有利于學生透過現(xiàn)象看到事物的本質，對所學的知識更好地融會貫通，而不是僅僅停留在表面上。

4.1 在典型例題的講解過程中，培養(yǎng)學生的逆向思維品質

例題4：設A、B、C是同一個試驗E的三個隨機事件，化簡（A∪B）（B∪C）[6]。

解法1：根據(jù)事件運算的分配律，有：

(A∪B)(B∪C)=[(A∪B)B][(A∪B)C]

=[(AB)∪B][(AC)∪(BC)]

=B∪(AC)∪(BC)

=B∪(AC)。

解法2：反用事件運算的分配律，直接有：

(A∪B)(B∪C)=B∪(AC) 。

由例題4 可見，正向思維的解法1 按部就班、循序漸進；逆向思維的解法2 簡潔明了，一步到位，事半功倍。通過正向、逆向兩種不同的思維方式，讓學生對事件運算的分配律運用得更加熟練，對事件的關系理解得更加透徹。

例題5：在1，2，3，…，9 這9 個數(shù)中可重復地任取n（≥2）個數(shù)，設A 表示事件“取出的n 個數(shù)的乘積能被10 整除”，求A 的概率P(A)。

分析：直接去求事件A 的概率，要考慮的情形非常復雜，會相當麻煩。如果另辟蹊徑，利用逆向思維求出A 的逆事件的概率P()，再利用概率的性質P(A)=1-P()，計算P(A)就會簡單得多（注：例題1 也是用同樣的思路求解的）。

4.2 在重要的統(tǒng)計方法教學中，培養(yǎng)學生的逆向思維品質

概率統(tǒng)計教學內(nèi)容中的假設檢驗，是一種基本的統(tǒng)計推斷方法。假設檢驗的思想方法別具一格，是基于“實際推斷原理”的反證法的思想。

假設檢驗的過程如下：首先提出原假設H0及它的對立假設H1，在假定H0正確的條件下，構造小概率事件，接下來依據(jù)樣本觀測值看小概率事件發(fā)生與否，來做出決策。若小概率事件發(fā)生了，意味著不合乎情理的情況出現(xiàn)了，就拒絕原假設H0，接受它的對立假設H1；若小概率事件沒有發(fā)生，意味著沒有不合乎情理的情況出現(xiàn)，就接受原假設H0。

假設檢驗的思想方法，不僅是一種概率性質下的反證法，同時也是一種非常重要的逆向思維。

5 結語

總之，在概率統(tǒng)計的課堂教學中，注重培養(yǎng)學生“比較與聯(lián)想”的思維品質、隨機性思維品質、多向的發(fā)散思維品質、逆向思維品質，讓學生的思維真正“活”起來，既提高了學生分析和處理隨機問題的能力，提高了創(chuàng)新能力，也使學生獲得“受用終身”的東西，最終實現(xiàn)學生的全面發(fā)展。