模型構(gòu)建直觀突破，解讀反思思維提升
——以一道中考幾何題為例

曾偉強

（深圳市海灣中學 廣東·深圳 518000）

0 引言

《數(shù)學課程標準》強調(diào)，要求學生結(jié)合實際情況尋找數(shù)學問題，再根據(jù)數(shù)學問題建立數(shù)學模型，讓學生產(chǎn)生模型思想意識，利用系統(tǒng)性的教學提高學生的應用和解決問題的水平。筆者以一道中考幾何試題的課堂教學，讓學生體驗“問題情境—數(shù)學模型—驗證、使用、延伸”整體學習環(huán)節(jié)，引導學生加入到解決問題的行列當中，體驗解決數(shù)學模型的發(fā)展過程，形成模型思維，并運用模型提高解決問題的能力，同時體驗考試的價值和意義。數(shù)學教師應善于分析和研究歷屆中考試題，對典型問題進行分析尋找富有代表性的模型，適當?shù)倪M行相應的擴展和演化，引導學生充分探索，研究問題根因，鼓勵學生借助自身能力收集和組織信息，進行全面、深入、多角度地思考“如何解決問題，如何學會解決問題”的各個過程，從而提高學生解決問題的能力。在下文中，筆者以一道2020年廣東省深圳市中考數(shù)學試題為例，主要針對如何建立模型，如何快速提高學生的問題解決能力進行簡單的探索。

1 考題呈現(xiàn)

考題（2014威海）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過 A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三點。

圖1

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）E為拋物線上一動點，是否存在點E使以A、B、E為頂點的三角形與△COB相似？若存在，試求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若將直線BC平移，使其經(jīng)過點A，且與拋物線相交于點D，連接BD，試求出∠BDA的度數(shù)。

2 構(gòu)建基本模型，感悟解題方法

第一步：仔細審題，了解問題。

了解問題需要理解問題，包括理解已知的數(shù)是什么？未知的數(shù)是什么？已知的條件是什么？未知的條件是什么？教師在講解問題的應用性時，應提倡學生多次閱讀問題，盡可能把條件的各個部分分別寫下來，并能用自己的語言描述題目。比如上面的問題，在組織學生仔細審題之后，學生應該能夠完全準確地找到每個問題所對應的內(nèi)容，經(jīng)過認真分析后，學生需要初步完成從實際問題到純數(shù)學問題的轉(zhuǎn)變。

考點：二次函數(shù)綜合題，這一題著重考查學生利用待定系數(shù)法對一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式的應用情況，相似三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，矩形的判定及性質(zhì)的運用等，在解決問題時能夠最終得出函數(shù)解析式的答案才是重點。

第二步：問題總體分析，制定計劃方案。

從認識問題到構(gòu)思方案再到解決問題，對于大部分學生來說是一個漫長而曲折的過程，因為即使學生理解和認識到了問題，仍然會出現(xiàn)無法找到問題解決突破口的現(xiàn)象。大多數(shù)好的想法來自過去的經(jīng)驗和以前的知識，因此引導學生思考：你知道一個與它相關(guān)的問題嗎？這種相關(guān)性不一定是一個問題或題目，還可以是相關(guān)的知識，曾經(jīng)求解過的與當前題目顯然相關(guān)的內(nèi)容。當學生回憶起類似的內(nèi)容，確定大致方向后，回歸本題擬定解題計劃。

（1）首先，運用待定系數(shù)法對解析式進行求解，解決第一問較容易。本題需先根據(jù)已知條件，過C點，設出該拋物線的解析式為y=ax2+bx+2，再根據(jù)過A，B兩點，即可得出結(jié)果；

（2）由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形，由相似關(guān)系求出點E的坐標；

（3）如圖2，連結(jié)AC，作DE⊥x軸于點E，作BF⊥AD于點F，由BC∥AD設BC的解析式為y=kx+b，設AD的解析式為y=kx+n，由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，就可以求出D坐標，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行線的性質(zhì)就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四邊形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出結(jié)論。

第三步：實行計劃，完成解答。

第四步：總結(jié)和反思。

本文是通過精心挑選的一個中考數(shù)學題展開的，一系列問題得到解決有利于指引學生創(chuàng)建數(shù)學模型，掌握模型的特點，或者讓學生在解決問題以后形成相關(guān)的模型意識，并反思解決問題的方法。學習最重要的渠道就是自己去發(fā)現(xiàn)。解決數(shù)學問題需要學生做出一種創(chuàng)造性行為，教師無法把所有的問題全都告知學生，但他們可以引導學生通過學習有限的問題來形成解決無限問題的數(shù)學思維。課堂上的任何問題都是可以在數(shù)學解題過程中被完全解決的，在解題過程中，教師要引導學生回顧自己的解題活動并進行討論，并且進行深入的分析和探討，這點非常關(guān)鍵，這是數(shù)學問題解決過程的最后一個階段，也是增強學生分析和解決問題能力最重要的一個環(huán)節(jié)。

3 形成模型思想，提升解題能力

運用以上試題可以讓學生把常量模型放在不斷變化的題目中，引導學生利用遷移類比的方式，形成模型思想，學會舉一反三，利用模型的本質(zhì)特點，找到規(guī)律，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)之苦。在教學中，教師需要培養(yǎng)學生靈活解題的能力，深入理解問題的解決方式，靈活的對問題進行解決，增強處理問題的能力。假如學生擁有這種模型意識，他們就可以從一個例子中得出結(jié)論，實現(xiàn)思維的升華。因此，教師一定要結(jié)合典型模型，對解決問題的方式進行創(chuàng)新，對學生的思維進行啟發(fā)，努力引導學生形成創(chuàng)新意識，進一步增強學生的數(shù)學能力。

4 數(shù)學思考

近年來在中考中有很多新定義問題，包含代數(shù)概念、變換規(guī)律等，新定義的出現(xiàn)也明確了中考今后的命題方向，讓中考教學擁有了明確的參照，結(jié)合問題分析，引導學生思維，是考試問題的價值所在，以下是教學思考：

4.1 強化閱讀理解

數(shù)學的新定義是這類考試題型最突出的特點。一般定義涵蓋了很多書面信息和重要的數(shù)學符號，利用描述的方法對數(shù)學下定義。在尋求解題方法時不應急于思考怎么寫解題過程，而應對題目進行文字提煉，并轉(zhuǎn)化為自己可以理解的簡單的數(shù)學語言，之后創(chuàng)建研究需要用到的數(shù)學模型，通過詳細分析題目內(nèi)容尋找其有價值的信息。在這個過程中，會涉及語言的轉(zhuǎn)換、內(nèi)容的深度挖掘以及模型的構(gòu)建這三個步驟。因此，在數(shù)學教學中，要加強學生的概念理解能力和語言轉(zhuǎn)換能力，引導學生將數(shù)學建模與數(shù)學形態(tài)和組合思維相結(jié)合，促進學生數(shù)學閱讀能力的提高。

4.2 形成分析策略

本文分析的中考題是典型的新幾何定義試題，解決過程采用分類討論的思想將不確定的問題具體化，然后采用構(gòu)造思想來建立問題研究模型，并采用數(shù)形結(jié)合來分析和解決問題。尤其是第三個問題的求解分別采用了不同的構(gòu)造方法，獲得了求解問題的關(guān)鍵條件。正是由于圖形的模型構(gòu)造使問題的思維過程更加簡單，而這種解題方法是研究幾何問題的基本對策。在教學的過程中既需要讓學生了解最基礎(chǔ)的數(shù)學知識，又需要教授學生解題思路，引導學生對問題進行深入分析，在今后遇到相似問題時有能力進行解決，形成自我解決意識，獲得問題解決思維。

5 結(jié)語

所有解決問題都有相應的規(guī)律，每種問題的解題思路存在很多共同之處，想要集中展現(xiàn)出這一思想就需要創(chuàng)建模型。模型有形式、神似和融合的區(qū)別，難度由淺入深，它可以通過多次總結(jié)、多次應用和深入思考，掌握不同模型的解題思路和方式，之后結(jié)合模型特征參照圖形特征尋找具體的解題思路和方法。因此，在教學中，教師要通過一題多解、讓學生了解不同模型的關(guān)系，這樣可以增強學生對同類模型的理解，提高幾何學習和應用的效率。