基于客流多式出行選擇的城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)組合優(yōu)化

李恒鑫

（中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司 線路站場(chǎng)設(shè)計(jì)研究院，湖北 武漢 430063)

0 引言

城軌列車運(yùn)行計(jì)劃決定了各線路在各運(yùn)營(yíng)時(shí)段內(nèi)開行列車交路及其開行頻率等，是城軌企業(yè)組織列車運(yùn)行的基礎(chǔ)。同時(shí)，城軌列車運(yùn)行計(jì)劃不僅決定列車運(yùn)行成本，還直接影響著旅客出行服務(wù)水平，其與列車票價(jià)的結(jié)合很大程度上影響著旅客出行選擇，從而也決定選擇城軌出行客流量。

目前關(guān)于城市軌道交通列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)制定等方面已開展許多相關(guān)研究。Jamili等[1]研究城市軌道交通跨站停運(yùn)營(yíng)模式下列車運(yùn)行計(jì)劃的魯棒優(yōu)化。陳維亞等[2]提出了城市軌道交通快慢車與多站限流協(xié)同優(yōu)化方法，Canca等[3]提出基于多交路運(yùn)營(yíng)模式的列車運(yùn)行計(jì)劃優(yōu)化方法。Gkritza等[4]考慮多種交通方式的博弈構(gòu)建不同的公共交通定價(jià)方法。鄧連波等[5]基于彈性需求、票價(jià)率偏差最小化等構(gòu)建城軌線路票價(jià)優(yōu)化方法。劉清琰[6]實(shí)現(xiàn)了城軌網(wǎng)絡(luò)快慢車開行優(yōu)化方法。Larrain、王琳等[7-8]以乘客總出行時(shí)間最短和軌道交通運(yùn)營(yíng)企業(yè)運(yùn)營(yíng)成本最低為目標(biāo)，建立非站站停列車開行方案的多目標(biāo)優(yōu)化方法。Vuchic[9]根據(jù)區(qū)域停、跨站停等快慢車停站特征，分析快慢車組合運(yùn)行的適用性及運(yùn)營(yíng)效果。Mignone等[10]提出設(shè)計(jì)運(yùn)營(yíng)周期內(nèi)各時(shí)段快慢車運(yùn)行計(jì)劃的優(yōu)化模型。Lee等[11]將乘客根據(jù)出行起終點(diǎn)、換乘選擇等分類，進(jìn)而構(gòu)建快慢車停站方案的優(yōu)化方法。孫元廣等[12]分別研究了城軌快慢車與Y型交路列車開行方案優(yōu)化問題。周曉昭等[13]構(gòu)建了考慮停運(yùn)策略的城際列車運(yùn)行計(jì)劃調(diào)整雙層規(guī)劃優(yōu)化方法。

雖然目前關(guān)于城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)優(yōu)化方面的研究較多，但是這些研究普遍將城軌系統(tǒng)作為一個(gè)封閉系統(tǒng)進(jìn)行研究，即假定各OD出行需求不受城市內(nèi)其他交通出行方式出行服務(wù)水平的影響，會(huì)一直采用城軌列車出行。顯然，這種假設(shè)與實(shí)際存在一定差距，實(shí)際上OD出行需求交通方式選擇會(huì)受到各種交通方式服務(wù)水平變化而發(fā)生改變，故需考慮城市常規(guī)公交線路及其服務(wù)水平對(duì)整個(gè)城市居民出行方式選擇與出行路線選擇的影響，優(yōu)化軌道交通網(wǎng)絡(luò)列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)。為此，結(jié)合客流多方式出行選擇研究城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)組合優(yōu)化問題，在分析各交通方式出行費(fèi)用的基礎(chǔ)上，構(gòu)建兩者優(yōu)化的雙層規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)模擬退火-遺傳算法進(jìn)行求解。

1 各交通方式出行費(fèi)用分析

通常擁有私家車客流可選私家車、常規(guī)公交和軌道交通出行，而非擁有私家車客流僅選常規(guī)公交、軌道交通出行。記c，b，r分別代表私家車、常規(guī)公交和軌道交通出行方式，3種出行方式費(fèi)用構(gòu)成如下。

（1）私家車出行費(fèi)用。選擇私家車出行時(shí)不僅需要承擔(dān)產(chǎn)生的各類時(shí)間費(fèi)用，還需承擔(dān)燃油費(fèi)、折舊費(fèi)、以及在起點(diǎn)與終點(diǎn)可能存在的停車費(fèi)等，但無在出發(fā)點(diǎn)的步行與等待產(chǎn)生的費(fèi)用。記為從出發(fā)點(diǎn)r駕車以路徑p到達(dá)目的點(diǎn)s的成本，其計(jì)算公式為

式中：tα()為路段α的行駛時(shí)間，min，其采用美國(guó)道路局函數(shù)(Bureau of Public Roads，BPR)公式計(jì)算；b0為擁有私家車客流出行時(shí)間價(jià)值，min；b1，b2分別為私家車單位里程燃油費(fèi)與折舊費(fèi)，元；dα為路段α里程，km；為路段-路徑0-1關(guān)聯(lián)變量，若路段α在路徑p上，則= 1，否則為0；cp為使用路徑p私家車出行的平均停車費(fèi)用，元。

（2）常規(guī)公交出行費(fèi)用。常規(guī)公交出行費(fèi)用包括步行時(shí)間、站點(diǎn)等待時(shí)間、在車時(shí)間、換乘費(fèi)用以及票價(jià)。定義，分別為擁有與非擁有私家車客流從出發(fā)點(diǎn)r以常規(guī)公交路徑p到達(dá)目的點(diǎn)s的總出行費(fèi)用，計(jì)算公式為

式中：，分別為公交路徑p上的乘客步行總時(shí)間與公交站點(diǎn)平均等車時(shí)間，min；為公交路徑p上的乘客換乘總時(shí)間，min；Pp為公交路徑p上總票價(jià)，元。

計(jì)算公式為

式中：為非擁有私家車客流出行時(shí)間價(jià)值，元/min。

（3）軌道公交出行費(fèi)用。軌道交通出行費(fèi)用包括步行時(shí)間、站點(diǎn)等待時(shí)間、在車時(shí)間、舒適性懲罰以及票價(jià)。和分別表示擁有與非擁有私家車客流在區(qū)間e出行成本，其計(jì)算公式分別為

式中：we為區(qū)間e票價(jià)率，元/人公里，若e屬于快車運(yùn)行區(qū)間，則為快車票價(jià)率，否則為慢車票價(jià)率；te(de)為區(qū)間旅行時(shí)間，min；Fe(ve)為舒適性懲罰成本，元，其可視為軌道交通車輛內(nèi)部擁擠造成的額外費(fèi)用，隨區(qū)間客流量增加而大幅增加，其計(jì)算公式為

式中：λ為懲罰水平調(diào)整系數(shù)；Le與ve分別為列車區(qū)間e的最大載客能力與實(shí)際客流量，人。

類似地，定義，分別為擁有和非擁有私家車客流的從出發(fā)點(diǎn)r乘坐軌道交通以路徑p到達(dá)目的點(diǎn)s的出行成本，其計(jì)算公式分別為

式中：，，為以城軌路徑p出行需要的步行時(shí)間、等車時(shí)間以及在線路間換乘時(shí)間，min；為路段-路徑0-1關(guān)聯(lián)變量；為車站-路徑0-1關(guān)聯(lián)變量。

2 模型構(gòu)建

考慮由城市軌道交通線網(wǎng)、道路路網(wǎng)、公交線網(wǎng)三者構(gòu)成的城市綜合出行網(wǎng)絡(luò)，每條軌道交通線路均可組織開行快車、慢車2類列車，且慢車為必開行列車。城軌快慢車組合運(yùn)行計(jì)劃及其票價(jià)在很大程度上決定了城軌出行服務(wù)水平與服務(wù)能力，進(jìn)而影響客流出行方式與出行路徑的選擇；反過來，客流出行方案選擇又直接影響城軌列車運(yùn)營(yíng)效益等。以上決策過程可描述為一種“一主多從”主從博弈關(guān)系，基于該主從博弈關(guān)系，便可構(gòu)建雙層規(guī)劃模型，其中將城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)優(yōu)化模型作為上層模型，將多類客流多方式混合交通均衡變分模型作為下層模型。

2.1 城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)優(yōu)化

模型在各城軌線路方向均開行長(zhǎng)交路、站站停列車(以下簡(jiǎn)稱“慢車”)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化確定研究運(yùn)營(yíng)時(shí)段內(nèi)各城軌線路方向是否開行快車、開行快車停站以及開行快慢車數(shù)量；同時(shí)，在規(guī)定慢車票價(jià)率固定不變的基礎(chǔ)上，優(yōu)化確定各線路方向開行快車的票價(jià)率。記0-1決策變量xl表示城軌線路方向l是否開行快車，若開行，則xl= 1，否則xl= 0；記0-1決策變量yli表示城軌線路方向l開行快車在經(jīng)由站i是否停車，若停車，則yli= 1，否則yli= 0；記非負(fù)整數(shù)決策變量αl，βl分別表示城軌線路方向l開行快、慢車數(shù)量；非負(fù)決策變量ωl表示城軌線路方向l開行快車的票價(jià)率。

模型選擇以最大化城軌列車總票價(jià)收益為目標(biāo)來優(yōu)化城軌快慢車組合運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)方案，其目標(biāo)函數(shù)為

式中：，分別表示OD對(duì)(r，s)間軌道路徑p上擁有私家車客流和非擁有私家車客流的出行量，其取值需通過求解以下下層模型獲得。Lp為路徑p里程，km；ωp為路徑p票價(jià)率，元/人公里；，分別表示在城軌線路l上組織開行1列快車與慢車的成本，元。

模型相關(guān)決策變量必須同時(shí)滿足以下5組約束條件。

（1）快車開行數(shù)量約束，即線路方向l在不組織開行快車時(shí)，其開行快車數(shù)量必為0；否則，開行快車數(shù)量不高于線路在研究運(yùn)營(yíng)時(shí)段最大通行能力Cαpl，該約束表示為

（2）快車停站設(shè)置約束，即線路方向l在組織開行快車時(shí)，也就是xl= 1時(shí)，停站數(shù)量應(yīng)不小于2，但少于線路車站數(shù)nl；否則該線路方向快車不在任何車站停車，該約束表示為

（3）快車票價(jià)率約束，即線路方向l若開行快車，其票價(jià)率應(yīng)不低于慢車的票價(jià)率，同時(shí)也不能高于政府設(shè)置的最高指導(dǎo)價(jià)，該約束表示為

式中：與分別為線路l開行慢車的票價(jià)率及其上限值，元/人公里。

（4）區(qū)間通過能力約束，即在研究運(yùn)營(yíng)時(shí)段內(nèi)，線路任意區(qū)間方向運(yùn)行列車數(shù)不得高于該區(qū)間最大通行能力，該約束表示為

式中：為線路方向l所開行快車是否經(jīng)由區(qū)間e。

（5）車站發(fā)車服務(wù)頻率約束，即在研究運(yùn)營(yíng)時(shí)段內(nèi)，線路任意區(qū)間方向運(yùn)行列車數(shù)不得高于該區(qū)間最大通行能力；另一方面，也不得低于保證最低服務(wù)頻率所需要運(yùn)行的列車數(shù)，記ζmin為保證最低車站服務(wù)頻率所需最小列車數(shù)，該約束表示為

2.2 多類客流多方式混合交通均衡變分模型

基于上層模型所確定的城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)，結(jié)合城市道路與公交網(wǎng)絡(luò)便可構(gòu)建乘客綜合出行網(wǎng)絡(luò)，在該網(wǎng)絡(luò)上實(shí)現(xiàn)客流的多方式出行選擇均衡分配，來評(píng)估當(dāng)前城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)方案實(shí)施的收益，即上層目標(biāo)值。假設(shè)客流按Logit分離模型選擇各交通方式與路徑出行，則可將擁有與非擁有私家車2類客流在綜合出行網(wǎng)絡(luò)上的出行選擇描述為一個(gè)多類客流多方式混合交通均衡分配問題，其等價(jià)于以下變分不等式。

模型以最小化各類出行旅客總出行費(fèi)用為優(yōu)化目標(biāo)，即

模型還需考慮以下3類約束。

（1）需求守恒約束，即對(duì)于任意OD，擁有與非擁有私家車客流選擇各種交通出行方式的客流量總和應(yīng)分別等于該OD相應(yīng)的出行需求量，該約束可分別表示為

（2）流量守恒約束，即對(duì)于選擇任意出行方式的擁有私家車客流而言，其在該出行方式不同出行路徑上的客流量之和應(yīng)該為其總量，同理選擇任意出行方式的非擁有私家車客流量也應(yīng)該等于其在該出行方式不同出行路徑上的流量之和，該約束可分別表示為

（3）變量非負(fù)約束，即選擇各交通出行方式的OD流量以及各出行路徑上流量必須非負(fù)，該約束可表示為

3 算法設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)以上雙層規(guī)劃模型的求解，設(shè)計(jì)一種模擬退火-遺傳算法和Method of Successive Averages(MSA)算法相結(jié)合的混合算法，其中，模擬退火-遺傳算法用于求解上層規(guī)劃模型，即城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)優(yōu)化模型以得到軌道交通網(wǎng)絡(luò)各線路列車運(yùn)行計(jì)劃、快車票價(jià)方案(若開行快車)；而MSA算法用于求解基于給定城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)組合方案的下層規(guī)劃模型，即多類客流多方式出行交通均衡分配。下層規(guī)劃模型求解出客流分配結(jié)果后，又反作用于上層規(guī)劃模型作為評(píng)估種群個(gè)體適應(yīng)度的輸入數(shù)據(jù)。通過上下層規(guī)劃間的交替調(diào)整，直至目標(biāo)函數(shù)值在很小的范圍內(nèi)變化，即得到最優(yōu)軌道交通各線路列車開行方案和快車票價(jià)方案。設(shè)計(jì)得到求解算法框架如圖1所示。

圖1 求解算法框架Fig.1 Framework of solving algorithm

模擬退火-遺傳算法中每個(gè)個(gè)體解采用二維二進(jìn)制編碼方式，每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)線路方向，其編碼內(nèi)容包括5部分：是否開行快車、快車停站方案、快車發(fā)車數(shù)量、慢車發(fā)車數(shù)量、快車票價(jià)，其中每一行5部分內(nèi)容二進(jìn)制編碼長(zhǎng)度分別為1，K，6，6，4。在模擬退火-遺傳算法種群進(jìn)化過程中，選擇操作采用輪盤賭方式，即按照個(gè)體被選中的可能性與該個(gè)體適應(yīng)值成正比的方式進(jìn)行選擇，對(duì)選擇的個(gè)體分別進(jìn)行交叉與變異操作。

（1）遺傳交叉算子。交叉操作采用兩點(diǎn)交叉方式，在交叉過程中引入模擬退火思想以一定概率接收劣解，即根據(jù)兩父代i，j的適應(yīng)度fi，fj以及交叉后產(chǎn)生的兩子代i′，j′的適應(yīng)度fi′，fj′，計(jì)算父代與子代之間的適應(yīng)度差值 Δf=fi′+fj′-fi-fj。若Δf＞ 0，則將兩子代替代兩父代加入到種群中；否則以概率eΔf/Tk(Tk為當(dāng)前溫度)接受兩子代，并替換兩父代。

（2）遺傳變異算子。變異操作采用多點(diǎn)變異方式，同樣期間以一定概率接收劣解，即根據(jù)父代i的適應(yīng)度fi和通過變異產(chǎn)生的子代i′的適應(yīng)度fi′計(jì)算適應(yīng)度差值 Δf=fi′-fi。若 Δf＞ 0，則接受子代i′代替父代i加入種群；否則以概率eΔf/Tk接受子代。

（3）MSA算法。為了計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度，采用MSA客流分配方法確定客流在由常規(guī)公交網(wǎng)絡(luò)、道路網(wǎng)絡(luò)與城市軌道交通網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的綜合網(wǎng)絡(luò)的出行方式與路徑選擇，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：①為綜合網(wǎng)絡(luò)上每個(gè)OD客流，生成候選出行路徑集合；②搜索各OD出行最短路徑，將其客流量分配到各出行方式及其相應(yīng)路徑上，并計(jì)算各出行方式最短路徑包含路段或者區(qū)間的客流量；③基于當(dāng)前路段與區(qū)間客流量更新下相應(yīng)出行費(fèi)用，重新計(jì)算各出行方式出行效用，并計(jì)算其分擔(dān)量，并分配到各出行方式最短路徑上；④更新路徑、路段、區(qū)間客流量，判斷前后迭代流量差是否滿足收斂條件，或者迭代次數(shù)達(dá)到最大值，若是，則停止迭代輸出各出行方式分擔(dān)客流量及其各路徑出行量，否則跳至步驟③。

4 算例分析

選擇由道路網(wǎng)絡(luò)、9條常規(guī)公交網(wǎng)絡(luò)以及3條城軌線路網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的城市綜合出行網(wǎng)絡(luò)作為算例分析，算例示意圖如圖2所示。3條城軌線路的起點(diǎn)站分別為1，4，13；終點(diǎn)站分別為33，35，22。假定該3條城市軌道交通線路均僅開行長(zhǎng)交路列車，即從線路一端點(diǎn)站開往另一端點(diǎn)站，且每條線路均允許開行快慢車，但其票價(jià)并不相同。通過開行高服務(wù)的快車有利于吸引擁有私家車客流選擇城軌出行，并通過提高票價(jià)來避免非擁有私家車客流(期望其優(yōu)先選擇慢車出行)來擠占快車能力。

圖2 算例示意圖Fig.2 Schematic diagram of examples

選取早高峰小時(shí)7 : 00—8 : 00為作為本算例優(yōu)化時(shí)段，共有29×29個(gè)OD對(duì)出行客流，假定各OD擁有與非擁有私家車客流需求比例關(guān)系為1 : 3，其中擁有私家車客流的出行時(shí)間價(jià)值為80元/h，而非擁有私家車客流的出行時(shí)間價(jià)值為50元/h。對(duì)于任意OD采用私家車出行而言，其單位里程燃油費(fèi)與折舊費(fèi)分別為1元與0.8元，平均停車費(fèi)用為10元。對(duì)于采用公交車出行，旅客的平均等車時(shí)間與票價(jià)分別為10 min與2元，若存在換乘，其平均換乘時(shí)間為15 min。對(duì)于地鐵出行而言，其平均步行到站點(diǎn)的時(shí)間為10 min，而等待時(shí)間、換乘時(shí)間等取決于待優(yōu)化的線路列車運(yùn)行計(jì)劃。

根據(jù)以上輸入數(shù)據(jù)與參數(shù)，利用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)上述求解算法，獲得各線路列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)方案如表1所示。由表1數(shù)據(jù)可知，3條城軌線路均開行快車，但其開行數(shù)量相對(duì)較少，這主要是客流選擇中私家車客流量相對(duì)較少，不應(yīng)開行過多快車。另外，每條線路上下行快車的停站也存在很大差異，主要是因?yàn)樵谠绺叻迳舷滦蠴D客流并不對(duì)稱。

表1 各線路列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)方案Tab.1 Train operation plan and fare plan of each line

為了分析城軌各條線路的開行列車數(shù)量以及票價(jià)率大小對(duì)城市出行客流選擇私家車、常規(guī)公交以及城軌出行的影響，得到3條線路方向平均開行列車數(shù)量對(duì)各交通方式客流分擔(dān)率影響如圖3所示，平均票價(jià)率對(duì)各交通方式客流分擔(dān)率影響如圖4所示。

圖3 線路方向平均開行列車數(shù)量對(duì)各交通方式客流分擔(dān)率影響Fig.3 Influence of the average train number of rail lines on the passenger flow sharing rate of different travel modes

由圖3和圖4所展示的分擔(dān)率變化規(guī)律來看，在道路與常規(guī)公交服務(wù)水平不變的前提下，隨著城軌線路方向平均開行列車數(shù)量從15列增加到30列，選擇常規(guī)公交與私家車出行的分擔(dān)率都有不同趨勢(shì)的下降，降低幅度均為10%左右，而選擇城軌出行的客流分擔(dān)率有明顯的上升，從0.5上升到0.7左右，上升幅度達(dá)到20%。值得說明的是私家車客流出行分擔(dān)率在前部分變化不大，主要是因?yàn)榉?wù)的提高還不足以吸引私家車客流選擇城軌出行。同樣，當(dāng)票價(jià)水平從0.025增加到0.1時(shí)，由于城軌服務(wù)水平的下降，將導(dǎo)致更多客流選擇私家車與常規(guī)公交出行，導(dǎo)致城軌客流分擔(dān)率從0.7降低至0.5左右，相應(yīng)地常規(guī)公交與私家車客流分擔(dān)率將分別從0.19與0.09上升到0.28與0.19。由此可見，城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)水平對(duì)城市客流出行方式選擇具有較大影響，能夠顯著影響軌道交通、常規(guī)公交以及私家車出行分擔(dān)率。

圖4 平均票價(jià)率對(duì)各交通方式客流分擔(dān)率影響Fig.4 Influence of the average fare rate of rail lines on the passenger flow sharing rate of different travel modes

5 結(jié)束語

通過分析擁有與非擁有私家車客流選擇各出行方式出行費(fèi)用的基礎(chǔ)上，構(gòu)建城軌列車運(yùn)行計(jì)劃與票價(jià)組合的雙層規(guī)劃模型，并設(shè)計(jì)一種模擬退火-遺傳算法和MSA算法相結(jié)合的混合算法進(jìn)行求解，研究表明城軌線路列車開行數(shù)量增加與城軌票價(jià)率的降低均能大幅度影響到選擇城軌、常規(guī)公交與私家車出行客流量。由于研究中假定常規(guī)公交的服務(wù)能力與服務(wù)水平固定不變，后續(xù)可將公交線路與發(fā)車頻率優(yōu)化與城軌列車運(yùn)行計(jì)劃優(yōu)化相結(jié)合，以更好改善城市多種交通方式出行服務(wù)。