具有復(fù)合隔離策略的計(jì)算機(jī)病毒傳播模型的時(shí)滯動(dòng)力學(xué)研究

楊芳芳，張子振，段愛(ài)華，門(mén)秀萍

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030）

隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的日益擴(kuò)大[1]，計(jì)算機(jī)病毒的傳播變得更加迅猛，為了更好地研究計(jì)算機(jī)病毒的傳播機(jī)理，建立準(zhǔn)確的計(jì)算機(jī)病毒傳播模型是十分必要的。根據(jù)計(jì)算機(jī)病毒和生物病毒的相似性，CHEN和GAN建立了多個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)研究計(jì)算機(jī)病毒的傳播規(guī)律[2-3]，UMBREEN、YAO和ZHENG等將隔離策略應(yīng)用到計(jì)算機(jī)病毒模型的研究中，并據(jù)此提出了一系列模型[4-6]，但是他們的模型沒(méi)有考慮到各個(gè)狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)都以不同的概率被隔離?；诖耍墨I(xiàn)[7]提出了一類(lèi)具有復(fù)合隔離策略的計(jì)算機(jī)病毒傳播模型，但在建模過(guò)程中，假設(shè)處于恢復(fù)狀態(tài)的計(jì)算機(jī)會(huì)直接轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘袪顟B(tài)，忽略了臨時(shí)免疫期時(shí)滯對(duì)計(jì)算機(jī)病毒傳播的影響?？紤]到這種情況，在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，本文建立了一個(gè)具有臨時(shí)免疫期時(shí)滯和復(fù)合隔離策略的SLBQRS（Susceptible Latent Breaking out Quarantine Recovered Susceptible）計(jì)算機(jī)病毒傳播模型：

建立上述模型時(shí)，做如下假設(shè)：（1）雖然易感狀態(tài)、潛伏期狀態(tài)和已感染狀態(tài)的計(jì)算機(jī)都會(huì)以σ1、,σ2、σ3的概率被隔離，但是由于潛伏期狀態(tài)和已感染狀態(tài)的計(jì)算機(jī)已經(jīng)攜帶病毒，他們會(huì)比易感染狀態(tài)的計(jì)算機(jī)有更大概率被隔離，所以σ2＞σ1＞0,σ3＞σ1＞0；（2）處于恢復(fù)狀態(tài)的計(jì)算機(jī)因?yàn)楂@得了臨時(shí)免疫能力，在再次成為易感計(jì)算機(jī)前存在一個(gè)臨時(shí)免疫期時(shí)滯τ，其中，τ為常數(shù)。

1 有毒平衡點(diǎn)穩(wěn)定性和Hopf分岔存在性

根據(jù)文獻(xiàn)[7]的分析，模型（1）有且僅有一個(gè)有毒平衡點(diǎn)E*(S*,L*,B*,Q*,R*)。令模型（1）的等式右邊等于零，可求得：

由Routh-Hurwitz定理可知，如果假設(shè)G0成立，則方程（4）存在負(fù)實(shí)根，即當(dāng)τ=0時(shí)，E*(S*,L*,B*,Q*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)τ＞0時(shí)，令λ=iω(ω＞0)為方程（3）的根，則

定理1如果假設(shè)G0～G2成立，當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，時(shí)滯模型（1）在有毒平衡點(diǎn)E*(S*,L*,B*,Q*,R*)處是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ≥τ0時(shí)，模型（1）產(chǎn)生Hopf分岔。

2 Hopf分岔的方向和周期解

規(guī)范型定理和中心流形定理是研究Hopf分岔性質(zhì)的常用理論，基于此，本節(jié)采用文獻(xiàn)[10-11]的方法對(duì)模型（1）的Hopf分岔方向和周期解進(jìn)行分析。

定理2當(dāng)μ2＞0時(shí)，模型（1）產(chǎn)生超臨界Hopf分岔；當(dāng)β2＜0時(shí)，模型（1）有穩(wěn)定的分岔周期解；當(dāng)T2＞0時(shí)，模型（1）的分岔周期是遞增的。

3 數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證上述結(jié)論的正確性，我們將以下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)帶入模型（1）進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)：μ1=0.05，μ2=0.05，μ3=0.1，γ1=0.01，γ2=0.015，γ3=0.15，β1=0.01，β2=0.012，β3=0.085，η=0.000 2，σ1=0.01，σ2=0.025，σ3=0.015，α=0.060 4。利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，仿真結(jié)果分別如圖1所示。仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀星覂H有一個(gè)有毒平衡點(diǎn)E*(0.420 2,0.189 2,0.087 87,0.102 3,0.200 3)，進(jìn)而計(jì)算得到τ0=18.990 5。由定理1可知，當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí)，模型在有毒平衡點(diǎn)E*處局部漸近穩(wěn)定；當(dāng)τ的取值超越臨界點(diǎn)τ0時(shí)，模型產(chǎn)生Hopf分岔。為驗(yàn)證定理1，我們選取不同的時(shí)滯進(jìn)行仿真模擬。首先，考慮時(shí)滯小于臨界值的情況，為此選取τ=17.560 5＜τ0進(jìn)行仿真模擬，圖1（a）（左列）展示了時(shí)滯小于臨界值時(shí)S（t），L（t），B（t），Q（t），R（t）的變化情況，此時(shí)，仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮谟卸酒胶恻c(diǎn)處局部漸近穩(wěn)定。然后，考慮時(shí)滯大于臨界值時(shí)的情況，為此選取τ=20.221＞τ0進(jìn)行仿真模擬，圖1（b）（右列）展示了時(shí)滯大于臨界值時(shí)S（t），L（t），B（t），Q（t），R（t）的變化情況，仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮谟卸酒胶恻c(diǎn)處產(chǎn)生Hopf分岔。

4 結(jié)論

綜上所述，本文在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，考慮臨時(shí)免疫期時(shí)滯，建立了更貼近實(shí)際情況的時(shí)滯SLBQRS計(jì)算機(jī)病毒傳播模型，該模型充分考慮了殺毒軟件的廣泛利用對(duì)計(jì)算機(jī)病毒傳播帶來(lái)的影響，與計(jì)算機(jī)病毒的實(shí)際傳播情況更吻合。首先，將臨時(shí)免疫期時(shí)滯作為一個(gè)重要參數(shù)建立模型，通過(guò)分析模型特征根的分布情況，進(jìn)一步得到模型的有毒平衡點(diǎn)和Hopf分岔?xiàng)l件，并計(jì)算得到有毒平衡點(diǎn)E*(S*,L*,B*,Q*,R*)和臨界值τ0；然后，分析模型（1）的Hopf分岔性質(zhì)；最后，為了驗(yàn)證結(jié)論的正確性，選取合適的數(shù)值進(jìn)行仿真模擬。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)滯τ在臨界值之下時(shí)，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定，此時(shí)計(jì)算機(jī)病毒的控制效果更好；當(dāng)時(shí)滯τ超過(guò)臨界值τ0時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生分岔，即計(jì)算機(jī)病毒將失去控制。綜合考慮復(fù)合隔離策略與臨時(shí)免疫期時(shí)滯，建立具有復(fù)合隔離策略的時(shí)滯SLBQRS模型，對(duì)于計(jì)算機(jī)病毒的防御和治理具有重要意義。但是在研究過(guò)程中僅僅考慮單一時(shí)滯造成的影響是不夠的，在今后的研究中將綜合考慮潛伏期時(shí)滯和臨時(shí)免疫期時(shí)滯，研究具有雙時(shí)滯的計(jì)算機(jī)病毒傳播模型的動(dòng)力學(xué)行為。

圖1（a）τ＜τ0和（b）τ＞τ0時(shí)，S（t）、L（t）、B（t）、Q（t）、R（t）的變化情況