幾類具有多項(xiàng)式勢的可積系統(tǒng)的耦合常數(shù)變形

方東麗，章 海

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

從已知的經(jīng)典可積哈密頓系統(tǒng)出發(fā)構(gòu)造新的可積系統(tǒng)是一種常見的研究思路。由Hietarinta等[1]引入的耦合常數(shù)變形（CCM）是一種在經(jīng)典可積系統(tǒng)之間變換的方法，適用于任何具有勢函數(shù)的哈密頓系統(tǒng)。它將一個哈密頓系統(tǒng)變換成另一個哈密頓系統(tǒng)，并保持可積性，這樣就可以生成新的可積系統(tǒng)。新系統(tǒng)的哈密頓量表達(dá)式一般來說是任意的，但是采取合適的正則變換可以將其化簡成標(biāo)準(zhǔn)的自然哈密頓系統(tǒng)的形式，即哈密頓量為動能與勢能之和的形式。例如，Holt系統(tǒng)在幾組特定的參數(shù)下是可積系統(tǒng)，利用CCM可以得到新的系統(tǒng)，再借助于正則變換即可變成可積的Henon-Heiles系統(tǒng)[2]，因此得到了Henon-Heiles系統(tǒng)和Holt系統(tǒng)之間的對偶[1-4]。CCM在可積和超可積系統(tǒng)研究中有很多應(yīng)用，可以從已知的平坦空間上的二次超可積系統(tǒng)生成非平坦空間上的二次超可積系統(tǒng)。然而，在高維情況下，CCM并不能保持守恒量的階數(shù)。為了從這個一般的變換得到有用的結(jié)果，需要限制變換作用的范圍或條件。Kalnins等[5]研究了部分勢能項(xiàng)消失情況下的CCM，此時也稱為雅可比變換，這種特殊形式的CCM將哈密頓系統(tǒng)的n階守恒量轉(zhuǎn)化為新系統(tǒng)的n階守恒量，但并不改變守恒量的階數(shù)。CCM已被有效地應(yīng)用于構(gòu)造新的高階超可積系統(tǒng)，可以將TTW系統(tǒng)（簡諧振子勢的超可積形變族）映射為PW系統(tǒng)（超可積的開普勒-庫侖勢形變族）[6]。

非退化的二次超可積系統(tǒng)可以通過CCM變換從常曲率空間中的二次超可積系統(tǒng)得到[7]。CCM以一種簡單的方式修改了超可積系統(tǒng)的泊松代數(shù)，使得我們可以將非退化的二次超可積系統(tǒng)分成7個等價類，在同一類的系統(tǒng)可以運(yùn)用CCM和伸縮變換來相互轉(zhuǎn)化[8]。文獻(xiàn)[9]引入了經(jīng)典和量子可分系統(tǒng)的Stackel變換，Stackel變換和CCM一般情況下是不相同的，但當(dāng)限制于二階超可積系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換時，它們是一致的。Stackel變換對經(jīng)典和量子超可積系統(tǒng)都有定義，被廣泛且有效地應(yīng)用于二階超可積系統(tǒng)的分類。文獻(xiàn)[10]提出了一族具有多項(xiàng)式勢能的平面可積系統(tǒng)，其中每個系統(tǒng)都在拋物坐標(biāo)下可分[11]。本文通過將這些勢能線性組合起來，得到非齊次多項(xiàng)式勢能。這些系統(tǒng)具有適合于用CCM方法處理的形式。我們考慮這些系統(tǒng)的CCM，分析所獲得的新系統(tǒng)的可積性質(zhì)和幾何性質(zhì)。

1 耦合常數(shù)變形

耦合常數(shù)變形是一種非正則變換，是通過原哈密頓系統(tǒng)中的耦合常數(shù)與能量做交換來獲得新系統(tǒng)，且保持系統(tǒng)的可積性[1,12-14]。原系統(tǒng)的守恒量是確保新系統(tǒng)可積的關(guān)鍵。考慮一個n維經(jīng)典哈密頓系統(tǒng)

其中，T是動能項(xiàng)，U、V是關(guān)于坐標(biāo)q=(q1,q2,q3,…,qn)的勢能項(xiàng)，α是與其獨(dú)立的任意耦合常數(shù)。

列出系統(tǒng)（1）的哈密頓-雅可比方程T+V-αU=E，再解出耦合常數(shù)α來獲得新系統(tǒng)：其中，耦合常數(shù)和哈密頓量的角色進(jìn)行了互換，這樣的變換稱為耦合常數(shù)變形。假設(shè)對于參數(shù)α的每一個值，系統(tǒng)都有守恒量I(α)，它與H是對合的，{H,I}=0。CCM的一個顯著特征是新守恒量與新哈密頓量的關(guān)聯(lián)映射，即通過CCM轉(zhuǎn)換后的函數(shù)J=I(G)與新哈密頓量G也是對合的，{G,J}=0，從而保證了新系統(tǒng)是可積的。由{I(α),H}=0得{I(α),T+V-αU}={I(α),T+V}-{I(α),αU}=0，{I(α),T+V}=α{I(α),U}，對任意常數(shù)α都成立。又因?yàn)?/p>

可見J=I(G)確實(shí)是新系統(tǒng)（2）的守恒量。

CCM把可積系統(tǒng)變成可積系統(tǒng)，把超可積系統(tǒng)變成超可積系統(tǒng)，我們主要關(guān)心的是自然哈密頓系統(tǒng)和它的多項(xiàng)式形式的守恒量。原系統(tǒng)的二階守恒量I通常關(guān)于耦合常數(shù)α上是線性的（也可能與α無關(guān)），所以它們被轉(zhuǎn)化為新系統(tǒng)的二階守恒量，即CCM保持二階守恒量的階數(shù)。然而，一般情況下CCM并不能保持高階守恒量的階數(shù)。對于一些含有多個耦合常數(shù)的系統(tǒng)，選擇不同的耦合常數(shù)做CCM變換，變換后守恒量的階數(shù)可能會有改變，多項(xiàng)式守恒量甚至?xí)兂蓜恿康挠欣砗瘮?shù)（非多項(xiàng)式）[5]。

2 帶組合勢系統(tǒng)的耦合常數(shù)變形

使用CCM方法時，耦合常數(shù)的位置和勢能項(xiàng)的結(jié)構(gòu)很重要。本文考慮文獻(xiàn)[10]提出的帶有如下多項(xiàng)式勢的系統(tǒng)：

2.1 V1和V n的組合勢

2.2 V2和V3的組合勢

2.3 V2和V4的組合勢

考慮式（8）中的V和任意Vn的組合，可得組合勢能

注新哈密頓函數(shù)G3和守恒量J3的二次部分與G2、J2的二次部分分別相等（忽略非零常數(shù)因子），函數(shù)G3、J3對應(yīng)的度量、Killing張量、高斯曲率與G2、J2的結(jié)果（11）、（12）都相同。

3 結(jié)論

CCM在可積系統(tǒng)研究中起著重要作用，系統(tǒng)中勢能的加性項(xiàng)結(jié)構(gòu)非常關(guān)鍵。本文對幾類帶有非齊次多項(xiàng)式勢能的可積系統(tǒng)做耦合常數(shù)變形處理，獲得了新系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)和守恒量。對于這些對合的守恒量二次項(xiàng)部分對應(yīng)的度量，計(jì)算了其高斯曲率和Killing張量。容易看出，這些新系統(tǒng)定義的空間不是常曲率空間，所以僅用點(diǎn)正則變換不可能把它們變?yōu)槌Ｇ士臻g上的系統(tǒng)。因此，必須采用類似于文獻(xiàn)[1]中的一般正則變換，才能把這些系統(tǒng)化為常曲率空間上的可積系統(tǒng)，甚至平坦空間（歐氏空間或閔氏空間）上的系統(tǒng)。另外，本文分析的幾個系統(tǒng)勢能項(xiàng)只含有一個任意參數(shù)，若勢能項(xiàng)含有多個任意參數(shù)，則可以對原始系統(tǒng)連續(xù)地作多次CCM變換，每次變換減少一個參數(shù)，最終得到系統(tǒng)的哈密頓量與守恒量的特征，以及它與文獻(xiàn)中已有系統(tǒng)之間的聯(lián)系。