同步流區(qū)域內(nèi)速度和車間距統(tǒng)計(jì)分析研究

符鼎俊，李啟朗

（安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230601）

交通發(fā)展給人們的出行帶來了諸多便利，提升了經(jīng)濟(jì)運(yùn)行效率。然而，隨著交通的快速發(fā)展，產(chǎn)生了諸如交通擁堵、環(huán)境污染等問題，因此，解決交通擁堵問題成為了交通領(lǐng)域研究的重要課題[1-4]。道路交通中車輛的動態(tài)行為是復(fù)雜的，具有自組織、交通狀態(tài)共存以及非均衡性等特征[5]。為了研究交通流演化機(jī)理，學(xué)者提出了多種模型，如跟馳模型、元胞自動機(jī)模型、流體動力學(xué)模型等[6]。元胞自動機(jī)模型是一種微觀交通流模型，模型中的時間和空間是離散的，交通流的演化用更新規(guī)則描述。元胞自動機(jī)模型演化規(guī)則靈活、計(jì)算效率高，適用于模擬真實(shí)道路交通流的演化情況[7]，且元胞自動機(jī)模型也為三相交通流的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)。三相交通流理論將擁擠流進(jìn)一步分為同步流和寬運(yùn)動堵塞，因此，交通流有三個相，即自由流（F）、同步流（S）以及寬運(yùn)動堵塞（J）[7-9]。根據(jù)道路交通經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)集，交通流量從大到小對應(yīng)著自由流到同步流的轉(zhuǎn)變（F→S）、同步流到寬運(yùn)動堵塞的轉(zhuǎn)變（S→J），而自由流直接過渡到寬運(yùn)動堵塞（F→J）很少發(fā)生[9]。在同步流中，其車輛平均速度比自由流低，但比寬運(yùn)動堵塞的車輛平均速度高，平均流量有時和自由流一樣高。本文基于三相交通流理論以及文獻(xiàn)[10]中的演化更新規(guī)則，研究在同步流區(qū)域的均勻分布、致密分布以及隨機(jī)分布下不同密度對車輛速度分布和車間距分布的影響。

1 模型及其演化規(guī)則

模型的道路條件為單車道，用L表示單車道的長度，其中，L由一維離散的元胞組成，每輛車占據(jù)一個元胞（cell）。車輛的速度v=0,1,2,…,vmax，其中，vmax為正整數(shù)，最大速度設(shè)置為5，不允許超車，采用周期性邊界條件。相鄰車輛之間的間距用Gap表示，指的是本車車頭（車頭保險杠位置）與前車車尾之間的空元胞數(shù)。道路在t+1時刻的狀態(tài)可從t時刻通過對所有車輛應(yīng)用以下4個步驟（并行動力學(xué)）得到。

Step1如果vi=0且Gap=1，則以概率p=0.25進(jìn)行加速，加速更新規(guī)則為vi(t+1)→min(vi(t)+1,vmax)；其余情況，則以概率p=1進(jìn)行加速，加速更新規(guī)則如上所述。

Step2由于其他車輛的減速，減速更新規(guī)則為vi(t+1)→min(vi(t+1)+1,Gap)。

Step3當(dāng)速度大于等于2，小于等于4時，以概率p(vi(t+1))=0.5進(jìn)行隨機(jī)慢化，隨機(jī)慢化更新規(guī)則為vi(t+1)→max(vi(t+1)-1,0)。

Step4車輛移動更新規(guī)則為xi(t+1)→xi(t)+vi(t+1)，其中vi(t)和xi(t)分別為當(dāng)前時間步長t下第i輛車的速度和位置。

本研究在初始分布下的隨機(jī)慢化概率取p=0.5，因?yàn)槁怕试酱?，致密分布和隨機(jī)分布的同步流占據(jù)的密度范圍越寬廣，有助于探討其同步流的內(nèi)部機(jī)理。

2 數(shù)值模擬分析

計(jì)算機(jī)模擬的單車道L由2 000個元胞組成，每個元胞長度為7.5 m，相當(dāng)于實(shí)際道路長度15 km，一個時步長近似相當(dāng)于實(shí)時的1 s，最大速度vmax=5在實(shí)際交通中對應(yīng)135 km/h。道路上總車輛數(shù)為N，車輛密度為D=N/L。每次測試進(jìn)行50萬時步以消除瞬態(tài)影響，連續(xù)記錄最后1萬時步的數(shù)據(jù)。為了消除初始分布的隨機(jī)性對結(jié)果的影響，再對50個樣本取平均。

均勻分布指車輛均勻地分布于道路中，每兩輛車的車間距相同；致密分布指每輛車緊跟著前車，相鄰車輛之間的車間距為零。車流量、速度、密度分別用Flow、Velocity、Density表示，對應(yīng)的單位分別為veh·s-1、m·s-1、veh·m-1。時步、位置分別用Timestep、Position表示，對應(yīng)的單位分別為s和7.5m。車間距最小值為0，最大值為1 999，本次研究統(tǒng)計(jì)了車間距為0至20的分布情況。

2.1 均勻分布

均勻分布的基本圖（包括自由流、同步流以及寬運(yùn)動堵塞）如下頁圖1（a）所示，其中綠線標(biāo)注的是自由流、藍(lán)線標(biāo)注的是同步流、紅線標(biāo)注的是寬運(yùn)動堵塞，這是典型的三相交通流基本圖。在三相交通流中，同步流是非常重要的一種交通狀態(tài)，其速度特征比較復(fù)雜，如下頁圖1（b）～（d）所示。每個速度值在不同密度下所占據(jù)的百分比值雖有差異，但又呈現(xiàn)一定的規(guī)律。當(dāng)密度相對較低時，v=1、v=2、v=3、v=4所占據(jù)的百分比值隨著密度的增加而增加，其中，v=1、v=2、v=3的百分比值增加的較為明顯，如圖1（b）所示；當(dāng)位于同步流的中間密度時（D=0.2附近），v=1和v=2所占據(jù)百分比值依舊隨著密度的增加而明顯增加，但v=3和v=4所占據(jù)的百分比值卻近似相等，如圖1（c）所示；當(dāng)密度相對較高時，v=1所占據(jù)的百分比值隨著密度的增加而增加，v=2、v=3、v=4所占據(jù)的百分比值卻隨著密度的增加而減少，如圖1（d）所示。值得注意的是，v=5所占據(jù)的百分比值始終隨著密度的增加而減少。

圖1（b）～（d）沒有顯示速度為0的分布情況，其原因是同步流區(qū)域中沒有車輛停下來。由于本文的基本圖模型是雙巡航控制極限模型，隨機(jī)慢化規(guī)則中v=1和v=5不慢化，因此圖1（b）、（c）、（d）中速度為2、3、4的百分比值都比速度為5和1的低。

圖1（a）均勻分布的基本圖；（b）～（d）均勻分布下不同密度的速度分布

根據(jù)模型的更新規(guī)則，車間距影響車輛行駛速度，因此在探討了密度對車輛速度的影響之后，進(jìn)一步通過仿真實(shí)驗(yàn)研究密度和車間距之間的關(guān)系，更加細(xì)致地了解同步流的特性機(jī)理。仿真結(jié)果表明，在同步流區(qū)域內(nèi)不同密度的車間距和車間距百分比值不同，兩者的關(guān)系曲線大致分為以下兩種。第一種情況是產(chǎn)生兩個波峰。如圖2（a）所示，第一個波峰是車間距等于1的時候，第二個波峰是車間距等于5的時候，其中，第一個波峰高于第二個波峰，即車間距等于1的百分比值大于車間距等于5的百分比值。交通流狀態(tài)剛從自由流轉(zhuǎn)到同步流時，當(dāng)車密度較低，有一部分車輛依舊保持著最大速度v=5行駛，盡管道路中的車輛以p=0.5的概率進(jìn)行慢化，仍然會有一定數(shù)量v=5的車輛沒有慢化，根據(jù)模型演化規(guī)則的第2步和第3步，此時這部分的車間距最小為5，但是交通狀態(tài)為同步流，車間距大于5的車輛較少，即v=5的車輛車間距為5的較多，故形成第二個波峰，如圖2（a）所示。車間距等于1的車輛所占的百分比最高。第二種情況是只產(chǎn)生一個波峰，如圖2（b）所示，模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)，同步流的密度越高，不同密度對應(yīng)的曲線則趨于重合，有類似的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。密度從D=0.2往后，只呈現(xiàn)一個波峰，如圖2（c）所示，D=0.19時，車間距等于4（X所示）對應(yīng)的百分比值低于車間距等于5（Y所示）所對應(yīng)的百分比值；而D=0.2時，車間距等于4對應(yīng)的百分比值高于車間距等于5對應(yīng)的百分比值。

圖2 車間距分布

2.2 致密分布

致密分布的基本圖如圖3（a）所示，其中，綠線表示自由流、藍(lán)線表示同步流、紅線表示寬運(yùn)動堵塞。值得注意的是，致密分布下的同步流密度范圍（圖3（a））以及隨機(jī)分布下的同步流密度范圍（圖3（b））相對于均勻分布下的同步流的密度范圍（圖1）較小。圖4（a）與圖1（b）的速度分布規(guī)律相似，當(dāng)密度相對較低時，v=1、v=2、v=3所占據(jù)的百分比值隨著密度的增加而明顯增加，而v=4對應(yīng)的百分比值增加的不明顯；當(dāng)密度相對較高時（D=0.2附近，和均勻分布下同步流高密度區(qū)間不同），v=1和v=2所占據(jù)的百分比值隨著密度的增加而增加，v=3和v=4所占據(jù)的百分比值近似相等，如圖4（b）所示。同時，v=5對應(yīng)的百分比值隨著密度的增加而減少。

圖3（a）致密分布的基本圖；（b）隨機(jī)分布的基本圖

圖4 致密分布下不同密度的速度分布

同理，除了考慮密度對速度的影響，還需要討論密度對車間距的影響，圖5所示的車間距分布統(tǒng)計(jì)的仿真結(jié)果與圖3類似，車間距和車間距百分比值的關(guān)系曲線同樣分為兩種，第一種是曲線呈現(xiàn)兩個波峰；第二種是曲線呈現(xiàn)一個波峰。在同步流區(qū)域內(nèi)，當(dāng)車密度較低時，該曲線顯示兩個波峰，如圖5（a）所示，其原因與均勻分布下的車間距和車間距百分比值關(guān)系曲線產(chǎn)生兩個波峰原因是相同的。而在同步流區(qū)域內(nèi)，當(dāng)車密度較高時，該曲線呈現(xiàn)單峰狀態(tài)，如圖5（b）所示。

圖5 車間距分布統(tǒng)計(jì)

2.3 隨機(jī)分布

隨機(jī)分布的基本圖見上面圖3（b）。在本文的更新規(guī)則下，致密分布和隨機(jī)分布下不同密度的速度分布規(guī)律是相同的，分別如圖4、圖6所示。類似的，圖7所示的車間距和車間距百分比值的關(guān)系曲線同樣也是分為兩種情況：在同步流密度相對較低的時候，曲線呈現(xiàn)雙峰狀態(tài)，如圖7（a）；同步流密度相對較高時，曲線呈現(xiàn)單峰狀態(tài)，如圖7（b）。曲線呈現(xiàn)雙峰或者單峰的原因與致密分布類似，此處不再贅述。

圖6 隨機(jī)分布下不同密度的速度分布

圖7 車間距分布統(tǒng)計(jì)

2.4 在相同密度不同初始分布下的速度和車間距分布比較

為了更好地了解密度對同步流的影響，這里將討論固定密度下，不同初始分布的速度和車間距占據(jù)比值情況。圖8所示的是在同步流區(qū)域內(nèi)，相同密度下不同初始分布的速度分布比較，圖8（a）、（b）、（c）對應(yīng)的密度分別為D=0.13、D=0.17、D=0.21。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：均勻分布、致密分布以及隨機(jī)分布在相同的密度下，速度值所占的百分比值是非常接近的；隨著密度的增加，這三種分布下的速度值v=1、v=2、v=3、v=4所占的百分比值也逐漸增加，而v=5所占的百分比值逐漸下降，如圖8（a）、（b）、（c）所示。

圖8 相同密度下的速度波動比較

除了考慮相同密度下不同初始分布對車輛速度的影響，還要討論對車間距的影響。如圖9所示，相同密度下的同一車間距所占的百分比值也非常接近，圖9（a）、（b）、（c）對應(yīng)的密度分別為D=0.16、D=0.19、D=0.22。隨著密度的增加，車間距為1和車間距為2所占的百分比值明顯增加，說明在同步流區(qū)域內(nèi)道路上的車輛傾向于減小他們的車間距。

圖9 相同密度下車間距比較

基于同步流狀態(tài)下車輛速度和車間距分析，本文最后討論這三種初始分布下模擬得到的車輛軌跡。如圖10所示，處于同步流的圖10（a）、（b）、（c）分別對應(yīng)的初始分布為均勻分布、致密分布、隨機(jī)分布，密度D=0.2，分別取第10輛車（th=10）、第20輛車（th=20）到第100輛車（th=100）的軌跡，軌跡線條的斜率越大，則速度越大。圖中紅色圓圈所示部分為v=5的車輛軌跡，并且維持了一定的時步，反映了三種初始分布下車輛間距Gap=5在道路中占據(jù)一定的比例，當(dāng)密度小于0.2時，在車間距統(tǒng)計(jì)分布中Gap=5處產(chǎn)生第二個波峰，如圖2（b）、圖5（a）、圖7（a）所示。與此同時，車輛的相對位置隨著時步的增加忽大忽小，反映了車輛速度波動幅度范圍較大。

圖10 車輛軌跡

3 結(jié)論

綜上所述，本文基于元胞自動機(jī)模型，研究了在同步流區(qū)域內(nèi)均勻分布、致密分布以及隨機(jī)分布在不同的密度下，車輛速度分布和車間距分布的統(tǒng)計(jì)特性。模擬結(jié)果表明，在三種初始條件分布下的同步流中，v=1對應(yīng)的百分比值始終隨著密度的增加而明顯增加，而v=5對應(yīng)的百分比值則隨著密度的增加而減少。在同樣的密度下，三種初始分布的速度占比近似相等。另外，三種初始條件分布下的車間距和車間距百分比值的關(guān)系曲線主要分為兩種：在同步流區(qū)域內(nèi)當(dāng)車輛密度較低時，曲線呈雙峰狀態(tài)；當(dāng)車輛密度較高時，曲線則呈單峰狀態(tài)。同時也說明隨著密度的增加，車輛趨向于減小他們的車間距。