熱傳導(dǎo)方程初值問題解的最大模估計(jì)的教學(xué)探討

陳正爭，施敏加

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

偏微分方程理論是在解決物理學(xué)、力學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域問題基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一門科學(xué)，是數(shù)學(xué)的一個重要分支，它不僅促進(jìn)了許多自然科學(xué)和工程技術(shù)問題的解決，還促進(jìn)了泛函分析、微分幾何、復(fù)變函數(shù)和計(jì)算數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，表現(xiàn)出強(qiáng)大的生命力?！捌⒎址匠獭边@門課通過三類典型的偏微分方程（即波動方程、熱傳導(dǎo)方程和位勢方程）的導(dǎo)出、定解問題的求解以及解的性質(zhì)探討讓學(xué)生掌握偏微分方程的基本理論、方法和技巧，以期培養(yǎng)學(xué)生的理性思維品質(zhì)以及分析和解決實(shí)際問題的能力，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)或者從事相關(guān)工作奠定基礎(chǔ)。

“偏微分方程”課程是國內(nèi)眾多高等院校應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，也是物理、力學(xué)和土木等理工科專業(yè)本科生或研究生的一門專業(yè)必修課。其中，熱傳導(dǎo)方程的初值問題是“偏微分方程”中重要且較難的知識模塊，尤其是，關(guān)于該問題解的最大模估計(jì)是教學(xué)的一個難點(diǎn)，其主要原因在于證明過程的技巧性很強(qiáng)。針對此問題的處理，多數(shù)教材[1-5]都是先討論熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的極值原理，然后通過構(gòu)造一些輔助函數(shù)將初值問題轉(zhuǎn)化為初邊值問題，再利用初邊值問題的極值原理來討論初值問題解的最大模估計(jì)。形式特殊的輔助函數(shù)構(gòu)造導(dǎo)致熱傳導(dǎo)方程初值問題解的最大模估計(jì)的證明過程技巧性很強(qiáng)，從而使學(xué)生難以理解和掌握。因此，在實(shí)際教學(xué)過程中，尋求新的簡單證明方法對于熱傳導(dǎo)方程初值問題解的最大模估計(jì)的教學(xué)具有重要意義。

基于以上分析，本文嘗試不通過構(gòu)造任何輔助函數(shù)，也不利用熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的極值原理，而僅用基本的分析方法給出一類熱傳導(dǎo)方程初值問題解的最大模估計(jì)的一個簡單證明，以化解難點(diǎn)。并利用該方法，進(jìn)一步探討具有一般形式的二階線性拋物型方程初值問題解的最大模估計(jì)。

1 一類熱傳導(dǎo)方程初值問題解的最大模估計(jì)的簡單證明

在帶形區(qū)域QT={(x,t)|-∞＜x＜+∞,0＜t≤T}上考慮如下熱傳導(dǎo)方程的初值問題：

2 一類二階線性拋物型方程初值問題解的最大模估計(jì)

考慮如下一般形式的二階線性拋物型方程初值問題：

注記2文獻(xiàn)[1]的作者通過構(gòu)造特殊的輔助函數(shù)，再利用有界區(qū)域上二階線性拋物型方程初邊值問題的極值原理來證明定理2。與文獻(xiàn)[1]中的相應(yīng)結(jié)果和方法相比，我們不需要構(gòu)造任何輔助函數(shù)以及利用初邊值問題的極值原理，而僅用基本的分析方法證明了定理2；此外，文獻(xiàn)[1]中要求函數(shù)b(x,t)滿足|b(x,t)|≤b0，其中，b0＞0為某個正常數(shù)，而在我們的結(jié)果中不需要b(x,t)的這一限定性假設(shè)。

3 結(jié)束語

綜上所述，本文利用一個基本的分析方法探討了一類熱傳導(dǎo)方程以及一類具有一般形式的二階線性拋物型方程初值問題解的最大模估計(jì)，其中不需要構(gòu)造任何輔助函數(shù)以及利用初邊值問題的極值原理，這不同于相關(guān)教材對這一問題的處理方法。本文的結(jié)果和方法都較為簡單，有利于加強(qiáng)學(xué)生對熱傳導(dǎo)方程初值問題解的最大模估計(jì)的理解與掌握，從而豐富和改進(jìn)了“偏微分方程”課程的教學(xué)，對于熱傳導(dǎo)方程初值問題的教學(xué)具有較好的參考價值。