FRP材料動態(tài)本構(gòu)模型綜述

郝仙娟， 許有純， 舒營

（1.西京學(xué)院，西安 710000；2.安徽理工大學(xué)，安徽 淮南 232001）

0 引言

纖維增強復(fù)合材料（FRP）在各個領(lǐng)域的應(yīng)用得到頗多關(guān)注，但是FRP材料在使用期間，可能會受到不同程度的沖擊荷載作用。例如，飛機在起飛或降落過程中遭受的荷載沖擊，此沖擊如同超速運動的石塊或是碎片撞擊機身；冰雹風(fēng)暴天氣中，飛機所受損害與受到物體沖擊帶來的傷害無區(qū)別。不同的沖擊荷載作用下，F(xiàn)RP材料不僅受到顯而易見的外部損傷，還有不可估量的內(nèi)部損傷。內(nèi)部損傷會嚴重影響材料的強度和剛度，還會導(dǎo)致材料內(nèi)部裂紋延伸。

隨著經(jīng)濟的快速發(fā)展和計算機技術(shù)的日益成熟，數(shù)值分析成為較多研究者的首選方法，它不僅節(jié)約資金，還可以使物體破壞過程再現(xiàn)，以獲取在試驗中不易獲得的相關(guān)物理量。材料的本構(gòu)模型是開展數(shù)值分析的前提。在應(yīng)變率作用下，復(fù)合材料的破壞形態(tài)復(fù)雜多樣，本構(gòu)模型比較難以表達。為攻破這一難關(guān)，學(xué)者們紛紛開展探討。文中從細觀力學(xué)方法和宏觀唯象方法兩個方面展開敘述FRP材料動態(tài)本構(gòu)模型。細觀力學(xué)常用的方法有Eshelby等效夾雜理論、自洽理論、Mori-Tanaka方法等［1-3］。

1 細觀力學(xué)方法

細觀力學(xué)［4］是從微觀角度對復(fù)合材料進行結(jié)構(gòu)分析，揭示宏觀材料的有效性能。研究不同材料組合產(chǎn)生不同性能的原因，才能有針對性的設(shè)計出最佳的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，滿足實際工程需求。

1.1 粘彈性本構(gòu)模型

在動態(tài)破壞過程中，不會看到復(fù)合材料出現(xiàn)塑性變形，也不會出現(xiàn)跟金屬材料相似的屈服強化過程。因此，復(fù)合材料的黏彈性本構(gòu)模型得到較多關(guān)注。

粘彈性本構(gòu)模型［6］的統(tǒng)一形式是：任意時刻t粘彈性介質(zhì)的應(yīng)變?yōu)閺椥圆糠趾土髯儾糠种?，即?/p>

Wang等［7］用1個線彈性單元與多個Maxwell體平行連接方法，創(chuàng)建了復(fù)合材料粘彈性動態(tài)本構(gòu)模型。該模型用于單向復(fù)合材料在高應(yīng)變率作用下的力學(xué)性能研究，其中的相關(guān)參數(shù)是由不同應(yīng)變率試驗數(shù)據(jù)擬合而來。

式中，E0為彈性模量通常稱為松弛時間。

Karim［8］是假設(shè)碳纖維和基體分別為線彈性材料、線性粘彈性材料，并把經(jīng)典層合板理論和復(fù)合材料粘彈性動態(tài)本構(gòu)模型（1個線彈性單元與多個Maxwell體平行連接）相結(jié)合，得到復(fù)合材料動態(tài)本構(gòu)模型。

式中，Ee為平衡模量；E1和E2是與時間有關(guān)的模量；θ1和θ2是特征松弛時間；為恒定應(yīng)變率。

古興瑾在 Kairm［8，9］的動態(tài)本構(gòu)關(guān)系研究基礎(chǔ)之上，采用1個線性彈性單元與2個Maxwell體平行連接的方法，對復(fù)合材料與應(yīng)變率相關(guān)的三維本構(gòu)關(guān)系進行推導(dǎo)。

1.2 橋聯(lián)模型

橋聯(lián)模型［10-13］中的纖維組分應(yīng)力和基體組分應(yīng)力之間用一個矩陣來連接，它的纖維應(yīng)力和基體應(yīng)力是由總應(yīng)力來確定的。橋聯(lián)模型可用于分析纖維增強復(fù)合材料的彈性和非彈性問題。

纖維、基體以及復(fù)合材料所滿足本構(gòu)方程如式（5）所示：

橋聯(lián)矩陣中所涉及的計算參數(shù)公式如下：

式中，稱α和β為橋聯(lián)參數(shù)，它們能通過試驗測得的橫向模量和剪切模量來調(diào)節(jié)，從而取得最佳參數(shù)值。若沒有試驗結(jié)果進行對比，α和β可在0.3～0.5和0.35～0.5之間取值。

由以上公式可以得到單向復(fù)合材料3個基本力學(xué)性能公式：

（1）纖維中的內(nèi)應(yīng)力為：

（2）基體中的內(nèi)應(yīng)力為：

（3）單向復(fù)合材料的柔度矩陣為：

復(fù)合材料的其他一些力學(xué)參數(shù)可以根據(jù)這3個基本公式得出。由此可以導(dǎo)出的橋聯(lián)模型等效彈性常數(shù)：

劉柳假定纖維是彈性體材料，基體是均質(zhì)的各向同性材料。在動態(tài)荷載作用下，它們表現(xiàn)出粘彈性性質(zhì)?？紤]應(yīng)變率的影響，把整體本構(gòu)模型進行修正。CFRP材料的應(yīng)變率強化效應(yīng)在改進的橋聯(lián)模型中得到了大致的體現(xiàn)。

2 宏觀唯象方法

宏觀唯象方法［15］是用宏觀上的應(yīng)力、應(yīng)變對復(fù)合材料力學(xué)性質(zhì)描述。形式簡單，工程應(yīng)用十分方便。

2.1 正交各向異性材料本構(gòu)模型

參考朱濱［16］彈性力學(xué)中關(guān)于廣義Hooke定律知識，把它和宏觀唯象理論相比，最終把正交各向異性材料本構(gòu)模型用宏觀唯象方法研究。

典型的CFRP屬于正交各向異性材料，根據(jù)廣義的Hooke定律［16，17］可以知道，正交各向異性體的本構(gòu)關(guān)系可以表述為：

式中，C為剛度系數(shù)矩陣，具有對稱性，可表示為：

同樣，S為柔度矩陣具有對稱性，S=C-1。

方盈盈［18］用動態(tài)增強因子修改正交各向異性材料本構(gòu)模型中的柔度矩陣和剛度矩陣，得到復(fù)合材料三維動態(tài)連續(xù)損傷本構(gòu)模型：

2.2 含損傷率相關(guān)本構(gòu)模型

許沭華［19］在Kevlar纖維復(fù)合材料的動態(tài)壓縮試驗的基礎(chǔ)上，列出有關(guān)含損傷率的本構(gòu)模型，并得出與應(yīng)變率相關(guān)參數(shù)n的擬合關(guān)系式。

劉明爽［21］在2D-C/Si C復(fù)合材料動態(tài)壓縮試驗結(jié)果的基礎(chǔ)上，對彈性模量進行動態(tài)修正，建立模量與應(yīng)變率的對數(shù)呈線性的關(guān)系式，并提出一種率相關(guān)的損傷本構(gòu)模型。

式中，E為彈性模量；Y為屈服強；e為自然對數(shù)底數(shù)；n為曲線形狀的影響參數(shù)；m為應(yīng)變率系數(shù)；Es為參考彈性模量；A為待定系數(shù)為加載應(yīng)變率為參考應(yīng)變率。

Salas P A和Benson D J等［22］以力學(xué)性能參數(shù)與應(yīng)變率對數(shù)的關(guān)系表達式為基礎(chǔ)，對本構(gòu)模型中的彈性模量進行修正：

式中，c1為縮放參數(shù)（用以控制應(yīng)變率）。

2.3 其他本構(gòu)模型

在中等應(yīng)變率作用下，材料會呈現(xiàn)應(yīng)變率強化效應(yīng)和溫度軟化效應(yīng)現(xiàn)象。韓小平［23］在這一現(xiàn)象基礎(chǔ)上，參考金屬材料動態(tài)本構(gòu)模型-Johnson-Cook模型［24-26］，得出具有溫度耦合效應(yīng)的復(fù)合材料率相關(guān)動態(tài)本構(gòu)模型：

式中，ε為等效塑性應(yīng)變；A、B、C為材料強度的相關(guān)參數(shù)；n為應(yīng)變強化指數(shù)為無量綱變化量；為塑性等效應(yīng)變率為參考應(yīng)變率；m為溫度軟化指數(shù)；Tmelt為材料熔化溫度，K；Tr為參考溫度，K。

TAY等［27］得出的本構(gòu)模型是一個經(jīng)驗形公式。它的待定參數(shù)少，形式簡單，大致上可以描述材料的動態(tài)特性。公式中的參數(shù)是通過動態(tài)試驗獲得，其中動應(yīng)力σd確定存在諸多困難，q1的物理含義尚不確切，它只能通過擬合大量實驗數(shù)據(jù)結(jié)果來獲得。

Xia和Wang等［28，29］在沖擊拉伸試驗結(jié)果和單參數(shù)的Weibull函數(shù)兩者的基礎(chǔ)上，提出強度的統(tǒng)計分布函數(shù)，與試驗結(jié)果相比較，此應(yīng)力-應(yīng)變曲線計算結(jié)果吻合度較高，核驗了該模型的準(zhǔn)確性。

Harding J［30，31］等提出，應(yīng)變率對單向CFRP的影響是可以忽略的。而Al-zubaidy等不認同應(yīng)變率對CFRP材料性能無影響這一觀點。Al-zubaidy等［32］提出了一系列經(jīng)驗性公式，用于評估不同應(yīng)變率下CFRP可能的響應(yīng)。該公式描述碳纖維布在不同應(yīng)變率下的抗拉強度、彈性模量和破壞應(yīng)變。這些方程如下：

3 模型對比

從細觀力學(xué)方法角度看，在經(jīng)典的處理法中，粘彈性本構(gòu)模型一般是由一個線彈性單元與一個Maxwell體并聯(lián)的形式組成。但復(fù)合材料采取此經(jīng)典方法需要多組線彈性單元與Maxwell體并聯(lián)的形式。Wang、Karim和古興瑾學(xué)者們采用一個線彈性單元與多個Maxwell體并聯(lián)的方式，建立復(fù)合材料粘彈性動態(tài)本構(gòu)模型。采用多個Maxwell體能得到一個更精確的模型，同時計算會變得復(fù)雜。

復(fù)合材料在外荷載作用下沒有達到破壞時，橋聯(lián)模型用一個矩陣來表達組分材料內(nèi)應(yīng)力之間的關(guān)系。但是橋聯(lián)模型中的粘結(jié)假設(shè)是復(fù)合材料只要不破壞，纖維和基體就不發(fā)生分離和位移。理想的粘結(jié)假設(shè)沒有復(fù)合材料的應(yīng)變率效應(yīng)和材料的力學(xué)性能。劉柳將應(yīng)變率考慮在橋聯(lián)模型之中，改進的橋聯(lián)模型大致體現(xiàn)了應(yīng)變率強化效應(yīng)。其中一些應(yīng)變率參數(shù)是通過試驗數(shù)據(jù)擬合才可得出，因此修正后的橋聯(lián)模型需進一步改進。

從宏觀角度來闡明復(fù)合材料動態(tài)本構(gòu)模型，大多是通過宏觀的應(yīng)力應(yīng)變及大量的試驗結(jié)果擬合得出復(fù)合材料的相關(guān)動態(tài)本構(gòu)。這些本構(gòu)模型形式相對簡單，廣泛應(yīng)用。

4 結(jié)語

數(shù)值結(jié)果的真實還原度取決于復(fù)合材料動態(tài)本構(gòu)模型選取的合理性。材料結(jié)構(gòu)決定材料性質(zhì)，在充分了解材料結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上所做的假設(shè)，得出的材料本構(gòu)模型才更加合理。文中通過總結(jié)FRP動態(tài)本構(gòu)得出以下結(jié)論：

（1）從細觀力學(xué)角度看，專家學(xué)者們采用一個線彈性單元與多個Maxwell體并聯(lián)的方式，建立復(fù)合材料粘彈性動態(tài)本構(gòu)模型。采用的Maxwell體越多，得到的模型更精確，但是計算會變得復(fù)雜。復(fù)合材料中，組分材料界面之間的相互作用極其復(fù)雜且難處理，所以得出的動態(tài)本構(gòu)模型形式復(fù)雜，在工程中難以展開應(yīng)用。

（2）從宏觀角度看，大多的復(fù)合材料相關(guān)動態(tài)本構(gòu)是通過宏觀的應(yīng)力應(yīng)變及大量的試驗結(jié)果擬合得出的。它的形式簡單，非常適合工程應(yīng)用。