基于Copula函數(shù)模型的構(gòu)成軟件可靠性預(yù)測方法

房懷媛，李長銀

(臨沂大學(xué)，山東 臨沂 273400)

1 引言

隨著軟件結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，錯誤率也大大增加。為了降低軟件故障帶來的損失，軟件預(yù)測變得格外重要。因此，為了保證構(gòu)件軟件能夠得到有效使用，需要對構(gòu)件軟件進(jìn)行可靠性預(yù)測[1，2]。

目前，常用的軟件可靠性預(yù)測方法主要有基于組合模型的、基于體系結(jié)構(gòu)的和基于優(yōu)化PSO-SVM模型的軟件可靠性預(yù)測方法。其中，基于組合模型的軟件可靠性預(yù)測方法為了提升軟件測試精準(zhǔn)度，建立一個組合模型。在模型故障數(shù)據(jù)類型、故障趨勢匹配和模型預(yù)測的基礎(chǔ)上闡述了模型選取算法。最后利用序列似然比方法對模型權(quán)值進(jìn)行選取，再選擇一組故障數(shù)據(jù)完成對組合模型的驗(yàn)證，該方法沒有對軟件缺陷進(jìn)行有效分析，導(dǎo)致軟件預(yù)測時間過高，存在時間延遲的問題。基于體系結(jié)構(gòu)的軟件可靠性預(yù)測方法為了解軟件模塊之間的調(diào)用關(guān)系對模塊可靠度進(jìn)行估算。根據(jù)不同的評估方法將模型劃分為合成型與分級型兩類，再通過可靠性評估對軟件體系結(jié)構(gòu)和模塊劃分原則進(jìn)行分析，得出模塊的可靠度和轉(zhuǎn)移概率評估方法，為軟件預(yù)測提供重要依據(jù)，該方法沒有分析軟件故障原因，導(dǎo)致構(gòu)件軟件在預(yù)測中系統(tǒng)能耗偏高，存在CPU開銷大的問題?；趦?yōu)化PSO-SVM模型的軟件可靠性預(yù)測方法針對傳統(tǒng)軟件的預(yù)測模型弱點(diǎn)進(jìn)行研究，更改傳統(tǒng)PSO-SVM模型，并完善PSO-SVM軟件預(yù)測模型，該方法獲取的軟件故障信息不全面，使程序輸出具有誤差，存在平均路徑覆蓋率差的問題[3，4]。

為了解決上述方法中存在的問題，提出基于Copula函數(shù)模型的構(gòu)件軟件可靠性預(yù)測方法。

2 構(gòu)件軟件故障模型可靠性預(yù)測

2.1 缺陷模型構(gòu)建

在軟件出現(xiàn)缺陷的過程中能夠獲取三個導(dǎo)致軟件失效的主要原因：

1)程序的輸入使軟件缺陷得到了執(zhí)行[5]。

2)缺陷改變后置數(shù)據(jù)，引發(fā)軟件故障[6]。

3)出現(xiàn)錯誤信息的程序數(shù)據(jù)被散布到程序輸出中，使輸出結(jié)果出現(xiàn)偏差，軟件失效。

這三個主要原因展現(xiàn)了軟件從缺陷到失效的過程，程序存在缺陷后，陸續(xù)傳遞到數(shù)據(jù)中，經(jīng)過無數(shù)次迭代，出現(xiàn)錯誤的數(shù)據(jù)就會將故障傳播到程序的輸出中。軟件缺陷模型如圖1所示。

圖1 構(gòu)件軟件的缺陷模型

圖1中，通過數(shù)據(jù)輸入使位置數(shù)據(jù)得到執(zhí)行的概率，表示為執(zhí)行概率A；當(dāng)數(shù)據(jù)位置出現(xiàn)改變時，數(shù)據(jù)狀態(tài)遭到改變的概率被稱作傳播概率B；改變后的數(shù)據(jù)狀態(tài)會產(chǎn)生程序輸出變動，它的概率由傳播概率C表示。當(dāng)三個主要原因全部存在時，軟件缺陷才會失效，也容易被檢測出來。

當(dāng)軟件缺陷的發(fā)生概率D滿足這三種原因時，它的概率乘積表示為D=A×B×C。

當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)故障時，就可以使用SFTA軟件對失敗事件進(jìn)行分析，從中找尋發(fā)生故障的主要因素，通過分析因素的前后層次關(guān)系建立一個軟件故障樹，其故障分析如圖2所示。

圖2 SFTA事件說明

2.2 故障樹頂事件

因?yàn)檐浖l(fā)生數(shù)據(jù)信息輸入故障后，數(shù)據(jù)庫不能及時進(jìn)行數(shù)據(jù)更新，所以將頂事件放在故障樹首位。居于故障樹底端的被稱作底事件，要想確立底事件分解級別就要確定SFTA的層次，如模塊級、程序級或語句一級[7]。整個事件中，導(dǎo)致數(shù)據(jù)庫不能及時更新數(shù)據(jù)的原因有如下幾種假設(shè)條件：

1)更改程序遭到破壞；

2)用戶不能正常登錄；

3)用戶登錄后不能輸入信息。

通過這幾個假設(shè)條件對事件起因進(jìn)行推導(dǎo)，追溯每一級事件故障的直接原因事件，此事件為確定底事件，如表1所示。

表1 軟件故障分析

構(gòu)造軟件故障樹是對軟件故障分析的關(guān)鍵，按照國家標(biāo)準(zhǔn)GJB768.1，構(gòu)建故障樹的基本原則為：

1)確立故障樹構(gòu)建的邊界條件；

2)嚴(yán)格定義故障事件；

3)自頂向底逐級建樹；

4)建立故障樹時邏輯門與邏輯門之間不能直接連接；

5)選取直接時間，消除間接時間；

6)對于多個時間同時發(fā)生的相同原因事件進(jìn)行恰當(dāng)處理。

根據(jù)表1的構(gòu)件軟件故障分析結(jié)果建立軟件故障樹，構(gòu)建結(jié)果如圖3所示。

圖3 軟件故障樹流程圖

由圖3可知，M代表頂事件；N1代表軟件更改程序遭到破壞；N2代表用戶不能正常登錄系統(tǒng)；N3代表用戶不能填寫信息或信息填寫的錯誤；W1代表病毒入侵計(jì)算機(jī)；W2代表丟失加載文件；W3代表無法顯示用戶登錄的界面；W4代表驗(yàn)證程序出現(xiàn)故障；W5代表用戶實(shí)操出現(xiàn)錯誤；W6代表數(shù)據(jù)庫內(nèi)存不足；W7代表錄入信息出現(xiàn)格式錯誤；Y代表其它事件；Y1代表硬件出現(xiàn)障礙；Y2代表系統(tǒng)模塊發(fā)生障礙。

對于建立完成的故障樹，可以從中獲取構(gòu)件軟件產(chǎn)生故障的前后因果，為構(gòu)件軟件可靠性預(yù)測提供了更加全面的信息基礎(chǔ)。

3 基于Copula函數(shù)的證據(jù)理論相關(guān)性模型

3.1 建立聯(lián)合BPA

根據(jù)二維情況研究建立普通BPA證據(jù)變量，設(shè)M1和M2為兩個證據(jù)變量，則與焦元dk相對應(yīng)的邊緣區(qū)間為[m11，m12]和[m21，m22]，那么二維焦元如圖4所示。

圖4 二維焦元

圖4中，邊緣BPA分別由y1和y2表示，它的邊緣區(qū)間端點(diǎn)用m11、m12、m21和m22描述，與邊緣區(qū)間相對應(yīng)的累積BPA分別為y11、y12、y21、y22。

在傳統(tǒng)方法中，假設(shè)每個證據(jù)變量都是一個單獨(dú)的個體，那么與dk相對應(yīng)的聯(lián)合BPA方程式如下所示

(1)

式(1)可被Copula函數(shù)修改為下述方程

y(dk)=C∏(y12，y22)-C∏(y11，y22)

-C∏(y12，y21)+C∏(y11，y21)

(2)

式中，C∏代表獨(dú)立Copula函數(shù)。由此可見，Copula函數(shù)的特殊形式可以構(gòu)建普通BPA，它被稱作獨(dú)立Copula[8]。因?yàn)樽C據(jù)變量中具有某些相關(guān)性情況，所以對于二維問題，將與焦元dk對應(yīng)的聯(lián)合BPA定義為

y(dk)=C(y12，y22|θ)-C(y11，y22|θ)

-C(y12，y21|θ)+C(y11，y21|θ)

(3)

式中，θ代表存在于Copula函數(shù)中的相關(guān)參數(shù)。在N維焦元中包括n個邊緣區(qū)間[m11，m12]，…，[mn1，mn2]，則聯(lián)合BPA由式(4)表示

(4)

式中，v代表差分指數(shù)。式(4)還可以用下列方程表示

-C(v1，…，vj-1，yj1，vj+1，…，vn)

(5)

則與焦元dk相應(yīng)的聯(lián)合BPA定義如下

(6)

3.2 最優(yōu)Copula函數(shù)

根據(jù)式(4)可知，當(dāng)證據(jù)變量中存在相關(guān)性時，應(yīng)當(dāng)使用Copula函數(shù)差值獲取聯(lián)合BPA值，先對證據(jù)變量中的Copula函數(shù)進(jìn)行辨識后，再對BPA進(jìn)行計(jì)算。證據(jù)變量中所對應(yīng)的大部分樣本數(shù)量較少，所以采用貝葉斯方法有效避免樣本量較小的問題，同時利用貝葉斯方法對Copula函數(shù)進(jìn)行選擇[9]。在證據(jù)理論中，使用經(jīng)驗(yàn)分布公式對證據(jù)變量樣本Mk(k=1，2，…，d)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成[0，1]中的均勻變量，其方程定義為

(7)

式中，d代表變量數(shù)目，Ri，k代表樣本的秩(選擇其中一個變量mk，從小到大排列，它的樣本為m1，k，m2，k，…，mn，k，當(dāng)樣本數(shù)目小于等于mj，k時，被稱作mj，k秩)。平等分布各個[0，1]的變量后，就可以采用貝葉斯方法獲取證據(jù)變量中的最優(yōu)Copula函數(shù)。

Copula函數(shù)有很多類型，目前為止使用最多的有Elliptical Copula函數(shù)和Archimedean Copula函數(shù)。其中Clayton、AMH、Gumbel、Frank、A12和A14屬于Archimedean Copula函數(shù)，Gaussian Copula屬于Elliptical Copula函數(shù)，Ind屬于獨(dú)立Copula函數(shù)。這些函數(shù)中，只有Gaussian Copula函數(shù)與經(jīng)常使用的聯(lián)合正態(tài)分布建立關(guān)系便利，建立后的方程式如下定義

CΦ(u1，u2，…，un|θ)=Φp(Φ-1(u1)，Φ-1(un)|θ)

(8)

式中，ui=Φ(mi)代表標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布。

目前為止大部分Copula的運(yùn)用只針對成對數(shù)據(jù)，因?yàn)椴糠諧opula函數(shù)中具有多維模型，在實(shí)際操作時存在限制，給操作造成不便。假設(shè)在多維Archimedean Copula模型中存在相同的Copula函數(shù)和相關(guān)性參數(shù)，當(dāng)變量不同時，模型中的Copula函數(shù)和相關(guān)性參數(shù)就會存在差異，模型就不能準(zhǔn)確對變量間的相關(guān)性進(jìn)行分析[10]。所以當(dāng)多個變量出現(xiàn)變量相關(guān)性時，只對各個二元數(shù)據(jù)對應(yīng)的相關(guān)情況進(jìn)行考慮，再用獨(dú)立Copula函數(shù)把各個二元Copula函數(shù)關(guān)聯(lián)起來。

3.3 構(gòu)件軟件可靠性預(yù)測分析

對于以上證據(jù)理論模型的相關(guān)性研究，提出了對構(gòu)件軟件結(jié)構(gòu)可靠性的分析方法。當(dāng)矢量X中存在多維證據(jù)矢量時，它的不確定性結(jié)構(gòu)可靠域R可用方程表示為

R{g：g(x1，…，xn)≥0}

(9)

式中，g代表功能函數(shù)，其多維識別框架定義如下

D=X1×…×Xn

={dk=[x1i1，…，xnin]，x1i1∈X1，…，xnin∈Xn}

(10)

式中，通過[x1i1，…，xnin]對焦元dk進(jìn)行構(gòu)建，再利用式(4)對證據(jù)變量聯(lián)合BPA進(jìn)行計(jì)算。依據(jù)聯(lián)合BPA與可靠域R計(jì)算出可信度Bel和似真度Pl，具體如下所示

(11)

式中，Bel(G)表示完全支持G的證據(jù)BPA總和，Pl(G)表示全部或部分完全支持G的證據(jù)BPA總和。

理論上講，PR=P{g(x1，…，xn)≥g0}為真實(shí)的結(jié)構(gòu)可靠度，其歸于區(qū)間Bel(G)≤PR≤Pl(G)中。

利用Bel和Pl對可靠度進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)D?R時，焦元D全部居于可靠域中，若D∩R≠φ，則焦元D全部或只有一部分居于可靠域中。因此，焦元dk在極限狀態(tài)方程下的極值定義如下

(12)

若焦元dk的BPA被列入Bel(G)和Pl(G)中，那么gmin-g0和gmax-g0都為正數(shù)，滿足D?G的條件；若焦元dk的BPA在Bel(R)和Pl(R)之外，那么gmin-g0和gmax-g0都為負(fù)數(shù)，滿足D∩R=?；若焦元dk的BPA可以列入Pl(R)但不能列入Bel(R)中，那么gmin-g0就為負(fù)數(shù)，gmax-g0則為正數(shù)，且滿足D∩R≠?的條件。在計(jì)算焦元中的極值時，可以采用極點(diǎn)法減少計(jì)算數(shù)量。

根據(jù)上述可知，證據(jù)理論可靠性分析主要過程如下：

1).完成對可靠域R、邊緣BPA和X的樣本值的確立。

2)對轉(zhuǎn)換成[0，1]均勻變量的樣本值進(jìn)行Kendall系數(shù)計(jì)算。

3)為選取Copula優(yōu)質(zhì)函數(shù)，采用貝葉斯方法對各個Copula函數(shù)的權(quán)重進(jìn)行計(jì)算。

4)上述方程中，采取式(4)完成聯(lián)合BPA的構(gòu)建。

5)計(jì)算極限狀態(tài)下的每個焦元極值并分析，從中獲取可靠性區(qū)間[Bel(G)，Pl(G)]。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證基于Copula函數(shù)模型的構(gòu)件軟件可靠性預(yù)測方法的整體有效性，需要對其進(jìn)行檢測。

采用基于Copula函數(shù)模型的構(gòu)件軟件可靠性預(yù)測方法(方法1)、基于組合模型的軟件可靠性預(yù)測方法(方法2)和基于體系結(jié)構(gòu)的軟件可靠性預(yù)測方法(方法3)對構(gòu)件軟件可靠性進(jìn)行預(yù)測。圖5為預(yù)測時間延遲對比結(jié)果。

圖5 時間延遲對比圖

當(dāng)方法1、方法2和方法3經(jīng)過迭代次數(shù)的增加進(jìn)行構(gòu)件軟件可靠性的時間延遲測試時，由圖5可知，方法1的時間延遲比方法2和方法3的低，而方法2和方法3的時間曲線波動劇烈，時間延遲大。由此可知，方法1的構(gòu)件軟件可用性比方法2和方法3高，因?yàn)樵摲椒▽浖毕葸M(jìn)行分析，根據(jù)分析結(jié)果實(shí)現(xiàn)預(yù)測，減小了預(yù)測所用的時間，進(jìn)而降低了時間延遲。

圖6為CPU開銷對比結(jié)果。

圖6 CPU開銷對比圖

采用方法1、方法2和方法3對構(gòu)件軟件可靠性預(yù)測中的CPU開銷進(jìn)行測試，綜合圖6中的數(shù)據(jù)可知，三個方法中，方法2的CPU開銷最大，方法1的CPU開銷低于方法2和方法3，說明構(gòu)件軟件在系統(tǒng)運(yùn)行中產(chǎn)生的能耗小，因?yàn)榉椒?對建立的失效模型進(jìn)行有效分析，明確了軟件故障的前后因素，降低了系統(tǒng)能耗，減少了CPU開銷。

表2為平均路徑覆蓋率對比結(jié)果。

表2 平均路徑覆蓋率對比

共選取三個方法中的五組平均路徑覆蓋率測試結(jié)果進(jìn)行對比，分析表2數(shù)據(jù)可知，方法3在測試路徑雜亂的情況下，1、2、5組測試路徑覆蓋率偏低，最低數(shù)據(jù)為57.9%，最高數(shù)據(jù)為85.4%；方法2在路徑覆蓋率測試中，1、4組覆蓋率最低，其余路徑覆蓋率適中；而方法1在五次測試中路徑覆蓋率全部高于90%，最高覆蓋率達(dá)到98.6%，對比方法2和方法3，該方法的路徑覆蓋率極高。因?yàn)榉椒?解析了軟件故障的主要原因，為可靠性預(yù)測提供了詳細(xì)的信息基礎(chǔ)，使其能夠更全面地對路徑進(jìn)行覆蓋，進(jìn)而提升了平均路徑覆蓋率。

5 結(jié)束語

當(dāng)構(gòu)件軟件在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中的容錯率大大降低時，構(gòu)件軟件可靠性預(yù)測就成為信息技術(shù)中必不可少的一部分。根據(jù)傳統(tǒng)方法在可靠性預(yù)測中存在的問題，在此提出基于Copula函數(shù)模型的構(gòu)件軟件可靠性預(yù)測方法。通過對軟件缺陷的分析建立缺陷模型，對故障模型進(jìn)行構(gòu)件軟件可靠性分析后構(gòu)建一個聯(lián)合BPA并在證據(jù)變量理論中獲取最優(yōu)Copula函數(shù)，完成構(gòu)件軟件可靠性預(yù)測，提高了構(gòu)件軟件預(yù)測的有效性，解決了目前方法中存在的問題，為今后的構(gòu)件軟件可靠性預(yù)測提供了重要基礎(chǔ)。