基于EEMD與模糊回歸的投資組合選擇模型及實(shí)證

周曉光， 何 倩， 黃曉霞

(北京科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,北京 100083)

0 引言

馬科維茨[1]提出均值-方差模型，用均值和方差分別衡量投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)，使收益與風(fēng)險(xiǎn)的多目標(biāo)優(yōu)化達(dá)到最佳平衡效果。將一筆資金在某一時(shí)期進(jìn)行投資，期初投資者需從可能的證券組合中確定一個(gè)最優(yōu)投資組合。此時(shí)投資者的決策目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)盡可能低的風(fēng)險(xiǎn)和盡可能高的收益，最佳目標(biāo)是在兩者之間尋找平衡點(diǎn)，由此建立投資組合模型。

大部分投資組合模型都是基于隨機(jī)不確定性而建立，使用確定的數(shù)值量化投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)。然而證券市場中充斥著不確定性因素，且多表現(xiàn)為模糊不確定性，例如投資者對(duì)證券收益的預(yù)期、對(duì)證券價(jià)格變化和交易量的判斷等。Tanaka[2]于1987年提出了模糊線性回歸的基本模型，用于描述自變量與因變量之間的模糊關(guān)系，把觀測值與實(shí)際值之間的誤差看作是由系統(tǒng)的不確定性造成的。因此，可通過參數(shù)模糊化，利用模糊回歸分析來解決證券市場的模糊性問題(Muzzioli等[3]；柏林和房勇等[4])。對(duì)于證券市場的收益與風(fēng)險(xiǎn)來說，時(shí)間尺度是最主要的特征，如何最大程度地提取證券收益風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測中的有效信息，是構(gòu)建投資組合的重要問題?；谏鲜龇治?，本文在模糊線性回歸(fuzzy linear regression，簡稱為FLR)的基礎(chǔ)上，引入一種噪聲輔助數(shù)據(jù)分析方法，即集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，以最大程度地消除投資組合中收益風(fēng)險(xiǎn)時(shí)間序列的噪音，提取有效信息。

1 文獻(xiàn)綜述

基于模糊理論建立的投資組合模型對(duì)投資者的投資決策起到了優(yōu)化效果，成為眾多學(xué)者研究的焦點(diǎn)，是投資組合模型研究的重要組成部分。大部分學(xué)者基于均值-方差理論構(gòu)建模糊投資組合模型，也有增加了如偏度和熵的指標(biāo)，對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的度量指標(biāo)也擴(kuò)展為半方差或絕對(duì)偏差。例如，Liu和Zhang[5]用可能均值表示收益和流動(dòng)性，用可能半方差量化市場風(fēng)險(xiǎn)和流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，建立了具有約束的可能均值-半方差模糊多目標(biāo)投資組合模型。Bhattacharyya[6]在收益、方差和偏度的基礎(chǔ)上，增加了交叉熵指標(biāo)，提出了使投資組合均值偏度最大化，方差和交叉熵最小的模糊投資組合模型。Deng和Pan[7]、Gupta等[8]都在直覺模糊環(huán)境下，構(gòu)建了均值-方差-偏度-熵的模糊多目標(biāo)投資組合模型，不同的是前者以接受度和拒絕度為目標(biāo)函數(shù)，而后者將投資者的猶豫度最小化，并建立了可以根據(jù)投資者偏好進(jìn)行定制的投資組合模型。

部分學(xué)者將投資者行為作為研究重點(diǎn)，提出了針對(duì)不同偏好投資者的模糊投資組合模型。例如，Bermúdez等[9]用風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)描述投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，把主觀特點(diǎn)包含在投資組合選擇中，使用梯形模糊數(shù)對(duì)投資組合中的不確定性收益進(jìn)行建模。Tsaur[10]和Zhou等[11]提出了針對(duì)投資者不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的保守-中立-激進(jìn)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的投資組合模型，不同的是前者用標(biāo)準(zhǔn)差描述風(fēng)險(xiǎn)，后者則使用絕對(duì)偏差。劉家和等[12]把證券收益率看作隨機(jī)模糊變量，構(gòu)建了針對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度投資者的隨機(jī)模糊投資組合模型。Zhou和Xu[13]使用得分-偏差三等分法區(qū)分三類投資者，提出了基于最大得分和得分-偏差的投資組合選擇模型。此外還有學(xué)者基于不同的研究側(cè)重點(diǎn)，建立了新的模糊投資組合模型。Dutta等[14]用模糊數(shù)表示不同股票的比率因子，以得出股票未來的模糊價(jià)格，在兩階段多目標(biāo)模糊概率規(guī)劃模型中納入交易成本；Liagkouras和Metaxiotis[15]同樣考慮了交易成本因素，不同的是其建立了多周期投資組合模型。

近幾年，集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法成為研究金融時(shí)間序列比較常用且重要的方法，學(xué)者們一般將其與其它方法相結(jié)合構(gòu)建模型，以用于對(duì)金融時(shí)間序列的預(yù)測。例如將EEMD和局部線性預(yù)測方法結(jié)合，將其用于預(yù)測原油、電力和天然氣的時(shí)間價(jià)格序列(Qin等[16])。為克服傳統(tǒng)EEMD方法同一時(shí)期分解結(jié)果可能不完全相同的缺點(diǎn)，邸浩等[17]、Wu等[18]分別將EEMD與長短時(shí)記憶網(wǎng)絡(luò)兩種方法結(jié)合起來。郭金錄[19]將EEMD應(yīng)用于預(yù)測滬深300指數(shù)，但他選擇與長短時(shí)記憶網(wǎng)絡(luò)和變分模態(tài)分解兩種方法相結(jié)合，證明了基于EEMD方法預(yù)測的有效性。

現(xiàn)有模糊投資組合的相關(guān)文獻(xiàn)主要集中在調(diào)整投資組合模型優(yōu)劣的衡量指標(biāo)和投資組合約束目標(biāo)這兩個(gè)方面，利用模糊回歸首先估計(jì)證券收益率，再構(gòu)建投資組合模型的文獻(xiàn)較少，而模糊回歸通過參數(shù)模糊化能夠更好地描述證券市場存在的不確定性，因此本文采用模糊線性回歸方法對(duì)證券收益率進(jìn)行預(yù)測?，F(xiàn)有基于EEMD方法的文獻(xiàn)，主要應(yīng)用于預(yù)測金融時(shí)間序列，還沒有將EEMD與模糊回歸相結(jié)合以進(jìn)行證券收益率預(yù)測的相關(guān)文獻(xiàn)，而EEMD能夠最大程度地提取證券收益率中的有效信息。因此本文將模糊線性回歸方法和EEMD相結(jié)合，并基于預(yù)測收益率構(gòu)建投資組合模型，不僅可以提高收益率預(yù)測的準(zhǔn)確性，還提高了投資組合計(jì)算的有效性，使投資者能更好地進(jìn)行資產(chǎn)配置與優(yōu)化。

本文的創(chuàng)新之處在于：將根據(jù)數(shù)據(jù)自身時(shí)間尺度進(jìn)行信號(hào)分解的EEMD方法與模糊線性回歸相結(jié)合(EEMD-FLR)，使用對(duì)稱三角模糊數(shù)表示投資者對(duì)證券收益的預(yù)測，構(gòu)建了基于模糊數(shù)的投資組合優(yōu)化模型，通過來自滬深300股票數(shù)據(jù)的實(shí)證，與集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和普通最小二乘結(jié)合的方法(EEMD-OLS)、單一模糊線性回歸方法的對(duì)比，證明了EEMD-FLR方法的有效性，這為建立更優(yōu)的投資組合選擇模型提供了參考。

2 模型構(gòu)建

2.1 集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

EEMD是基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition，簡稱為EMD)提出的一種改進(jìn)算法，其分解原理是當(dāng)附加的白噪聲均勻分布在整個(gè)時(shí)頻空間時(shí)，濾波器將該時(shí)頻空間分割成不同的尺度成分。通過足夠的測試，附加噪聲被消除，全體的均值被認(rèn)為是最后的結(jié)果即IMFs，其中頻率最高的分量也是第一個(gè)分量代表原始時(shí)間序列的主要特征。與傳統(tǒng)的小波分析和EMD方法相比，EEMD方法不依賴于任何基函數(shù)，引入白噪聲序列可以避免產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象，具有更高的分解效率和時(shí)頻特性，更適合于非平穩(wěn)時(shí)間序列的應(yīng)用和處理。Qin等[16]、Wu等[18]分別使用EEMD方法對(duì)原油價(jià)格進(jìn)行預(yù)測，實(shí)證表明經(jīng)過EEMD分解后的序列趨于平穩(wěn)，附加噪聲被消除，且基于分解后序列所建立的模型預(yù)測能力更強(qiáng)。對(duì)于某一序列x(t)，使用EEMD方法的步驟如下：

(1)在原序列x(t)中添加白噪聲序列w(t),其中w(t)～N(0,σ2)；

(2)對(duì)加入白噪聲后的信號(hào)x(t)+w(t)進(jìn)行EMD分解，得到有限個(gè)IMFs和一項(xiàng)殘差；

(3)加入不同的正態(tài)分布白噪聲序列，重復(fù)步驟(1)和(2)M次；

(4)將M組分解得到的IMF分量和殘差進(jìn)行集成平均處理作為最終結(jié)果。

2.2 模糊線性回歸模型

模糊回歸模型用回歸系數(shù)的模糊性描述系統(tǒng)的不確定性，即將回歸系數(shù)看作是某種具有隸屬度函數(shù)的模糊數(shù)，用以描述自變量與因變量之間的模糊關(guān)系。

其中(i=0,1,…,n)表示模糊回歸系數(shù)，一般采用三角模糊數(shù)表示，即(l,m,u)，其中m表示中心值即可能性最大的值，l和u分別為模糊數(shù)的下限和上限，m-l和u-m分別為模糊數(shù)的左模糊幅度和右模糊幅度。當(dāng)m-l=u-m時(shí)，該三角模糊數(shù)又稱為對(duì)稱三角模糊數(shù)。

(1)

上式中，yj(j=1,2,…p)為真實(shí)值，λ是設(shè)定的模糊回歸方程的最低隸屬度，表示按置信水平λ可以覆蓋所有觀測數(shù)據(jù)，取值范圍為(0, 1)；S表示因變量的模糊幅度之和；n和p分別表示自變量和因變量的個(gè)數(shù)，ci表示中心值，wi表示模糊幅度。求解上述規(guī)劃問題，可得模糊系數(shù)最優(yōu)解，即ci和wi。

2.3 基于EEMD的模糊線性回歸模型

分別對(duì)各只證券的收益率序列進(jìn)行EEMD分解，在此基礎(chǔ)上建立模糊回歸模型：

……

(2)

其中λ值取0.5[4]。求解上述規(guī)劃問題，可得對(duì)稱三角模糊系數(shù)最優(yōu)解，即各IMF分量對(duì)應(yīng)的ci和wi。最后將各IMF分量下的預(yù)測值加總，即為最優(yōu)解。

(3)

2.4 構(gòu)建基于模糊數(shù)的投資組合模型

(4)

3 案例分析

3.1 數(shù)據(jù)描述

以股票收益率為研究對(duì)象，隨機(jī)選取滬深300中的十只股票，分別為中國平安，招商銀行，廣發(fā)證券，農(nóng)業(yè)銀行，華能國際，北方稀土，陜西煤業(yè)，貴州茅臺(tái)，五糧液和古井貢酒。為降低2015年股價(jià)暴跌異常值對(duì)收益率預(yù)測的影響，樣本期選擇為2016年1月4日至2019年12月31日。所有的數(shù)據(jù)采取日度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)均從Choice數(shù)據(jù)庫獲取。收益率計(jì)算公式如下:

(5)

其中rt表示第t天的收益率，Pt和Pt-1表示第t天和第t-1天的收盤價(jià)。描述性統(tǒng)計(jì)如表1所示。

根據(jù)表1可知，只有廣發(fā)證券、華能國際和北方稀土三只股票樣本期的平均收益率小于0。十只股票的方差都較低，表示這些股票的收益率波動(dòng)較小。偏度系數(shù)多大于0，其絕對(duì)值都在0附近，基本滿足正態(tài)分布；而峰度系數(shù)則圍繞正態(tài)分布的峰度3上下波動(dòng)。其中廣發(fā)證券和農(nóng)業(yè)銀行的峰度系數(shù)比較高，說明這兩只股票收益率序列中的極端值較多，未來發(fā)生劇烈波動(dòng)的概率比較高。總體來看，選擇這十只股票組成一個(gè)投資組合是可行的，是具有投資價(jià)值的。

表1 收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

3.2 實(shí)證結(jié)果

圖1以中國平安股為例，展示了該股票的收益率時(shí)間序列經(jīng)過EEMD分解之后的9個(gè)IMF分量與一項(xiàng)殘差。可以看出EEMD將原始序列的各尺度分量依次從高頻到低頻進(jìn)行提取，分解得到的本征模函數(shù)也是按照頻率由高到低排列，IMF1為最高頻的分量，最后一項(xiàng)為殘差項(xiàng)，也是最平穩(wěn)的一項(xiàng)，頻率接近于0。

圖1 中國平安股票EEMD分解結(jié)果圖

依次將每只股票分解后的分量序列代入式(2)中求解，經(jīng)過式(3)加總，得到的結(jié)果如附表1所示。附表1中，0.0000與0含義不同，前者為保留四位小數(shù)后的結(jié)果，后者即為0本身。根據(jù)附表1，中國平安、廣發(fā)證券、北方稀土和古井貢酒的收益率時(shí)間序列分解之后，得到9個(gè)IMF分量和一項(xiàng)殘差，因此這四只股票的IMF10分量下無數(shù)據(jù)，其余序列則得到10個(gè)IMF分量和一項(xiàng)殘差。

3.3 投資組合有效前沿

將附表1計(jì)算結(jié)果代入式(4)的投資組合模型中，得到的投資比例及投資組合的收益與風(fēng)險(xiǎn)極值如表2和表3所示。表2展示了無賣空限制下，收益與風(fēng)險(xiǎn)取極值時(shí)，投資者在十只股票上的投資比例。如第2列的數(shù)據(jù)表示EEMD-FLR方法下，收益風(fēng)險(xiǎn)極小時(shí)各股對(duì)應(yīng)的投資比例，第3列的數(shù)據(jù)則表示收益風(fēng)險(xiǎn)極大時(shí)各股的投資比例。表4展示了不允許賣空條件下，收益與風(fēng)險(xiǎn)取極值時(shí)，投資者在十只股票上的投資比例。同樣地，第2列和第3列的數(shù)據(jù)分別表示EEMD-FLR方法下，收益風(fēng)險(xiǎn)極大和極小時(shí)對(duì)應(yīng)的各股投資比例。

由表2可以看出，無賣空限制時(shí)，EEMD-FLR，EEMD-OLS和FLR三種方法預(yù)測下，該投資組合的收益取值區(qū)間分別為[0.0005,0.0237]，[0.0003,0.007]和[0,0.0125]，標(biāo)準(zhǔn)差即風(fēng)險(xiǎn)取值區(qū)間分別為[0.0043,0.0328]，[0.0059,0.0457]和[0,0.0344]。投資者可以根據(jù)投資偏好，確定收益最大或風(fēng)險(xiǎn)最小時(shí)的各股投資權(quán)重，以組成無賣空限制下最優(yōu)的投資組合。由表3可知，存在賣空限制時(shí)，EEMD-FLR，EEMD-OLS和FLR三種方法預(yù)測下，該投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差即風(fēng)險(xiǎn)取值區(qū)間分別為[0.0043,0.0114]，[0.0059,0.0142]，[0, 0.1058×10-15],收益取值區(qū)間分別為[0.0007,0.0079]，[0.0002,0.0016]，[0,0.0062]。同樣地，投資者此時(shí)依然可以根據(jù)自身投資偏好，確定收益最大或風(fēng)險(xiǎn)最小時(shí)的各股投資權(quán)重，以組成存在賣空限制下的最優(yōu)的投資組合。

表2 無賣空限制下的投資者在收益與風(fēng)險(xiǎn)極值時(shí)的投資比例

為了更直觀地比較三種方法下的投資組合收益與風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算得出無賣空限制和存在賣空限制時(shí)的投資組合有效前沿，如圖2和圖3所示。橫坐標(biāo)表示投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差即風(fēng)險(xiǎn)，縱坐標(biāo)表示投資組合的均值即收益。圖2(a)為無賣空限制時(shí)，基于EEMD-FLR和 EEMD-OLS方法下的投資組合有效前沿；圖2(b)為無賣空限制時(shí)FLR方法下的投資組合有效前沿。圖3(a)為存在賣空限制時(shí)，EEMD-FLR，EEMD-OLS方法下的有效前沿，圖3(b)則為存在賣空限制時(shí)FLR方法下的有效前沿。綜合表2和表3，以及圖2和圖3，可以發(fā)現(xiàn)無論是否存在賣空限制，基于EEMD-FLR方法的投資組合收益上限都比EEMD-OLS和FLR方法要高，而風(fēng)險(xiǎn)上限要更低。與EEMD-OLS，F(xiàn)LR方法下的投資組合有效前沿相比，相同風(fēng)險(xiǎn)下，基于EEMD-FLR方法的投資組合收益更高；相同收益下，基于EEMD-FLR方法的投資組合風(fēng)險(xiǎn)更低。

表3 存在賣空限制下的投資者在收益與風(fēng)險(xiǎn)極值時(shí)的投資比例

圖2 無賣空限制下的投資組合有效前沿

圖3 存在賣空限制下的投資組合有效前沿

4 結(jié)論及展望

本文根據(jù)集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和模糊回歸結(jié)合的預(yù)測方法，構(gòu)建了基于對(duì)稱三角模糊數(shù)的投資組合模型，并與集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和普通最小二乘結(jié)合的方法、模糊線性回歸方法下的投資組合結(jié)果進(jìn)行比較。通過對(duì)比無賣空限制和存在賣空限制的有效前沿，發(fā)現(xiàn)基于集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解和模糊回歸方法構(gòu)建的投資組合是最優(yōu)的，不僅提高了投資者對(duì)目標(biāo)證券收益率預(yù)測的準(zhǔn)確性，也使得投資者可以選擇最大化組合收益或最小化組合風(fēng)險(xiǎn)，以確定最終投資策略，合理分配資產(chǎn)，對(duì)于投資組合的優(yōu)化具有參考意義。未來進(jìn)一步的研究方向如下：

1)本文使用對(duì)稱三角模糊數(shù)表示股票收益率，如果考慮采用非對(duì)稱三角模糊數(shù)，梯形模糊數(shù)，直覺模糊數(shù)和正態(tài)模糊數(shù)，對(duì)投資組合的優(yōu)化結(jié)果又可能會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響？

2)本文研究的投資組合模型是基于均值和方差兩個(gè)指標(biāo)，如果考慮增加用模糊數(shù)表示的偏度，峰度等可以衡量目標(biāo)證券投資穩(wěn)定性的指標(biāo)，這對(duì)投資組合優(yōu)化結(jié)果又會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響？