基于馬爾可夫更新過(guò)程的多階段沖擊退化系統(tǒng)可靠性分析

徐 東, 賈旭杰, 姚兆勝, 王 琦

(1.中央民族大學(xué) 理學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系,北京 100081; 2.北京理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院,北京 100081)

0 引言

系統(tǒng)損害過(guò)程通?？梢猿橄鬄橥嘶^(guò)程(例如磨損、腐蝕)或者沖擊過(guò)程(例如機(jī)械沖擊、電流負(fù)載沖擊)，并且系統(tǒng)生命周期內(nèi)二者常會(huì)同時(shí)存在，例如發(fā)動(dòng)機(jī)、機(jī)床、滾動(dòng)軸承、微機(jī)電系統(tǒng)等。因此在系統(tǒng)可靠性建模時(shí)同時(shí)考慮退化和沖擊損害以及它們間的相互依賴關(guān)系是很有必要的，這也成為了目前可靠性工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。早前的沖擊、退化過(guò)程依賴關(guān)系被簡(jiǎn)單地假設(shè)為沖擊的發(fā)生會(huì)導(dǎo)致退化損害累積量的突增，這一假設(shè)被后來(lái)學(xué)者廣泛采用，卻又漸漸無(wú)法滿足日益復(fù)雜的系統(tǒng)可靠性建模，因此更多更加嚴(yán)格、復(fù)雜的相互依賴關(guān)系陸續(xù)被學(xué)者們提出。Che et al.[1]假設(shè)沖擊發(fā)生強(qiáng)度為退化損害累積量和當(dāng)前系統(tǒng)已發(fā)生沖擊數(shù)目的函數(shù)，以此描述沖擊過(guò)程對(duì)退化過(guò)程的依賴關(guān)系，但忽略了退化過(guò)程的參數(shù)往往也會(huì)隨著系統(tǒng)損害的累積而改變[4]。Wang et al.[2]提出的模型中，給出了退化路徑對(duì)當(dāng)前非致命沖擊發(fā)生的數(shù)量和沖擊損害總和的函數(shù)關(guān)系，但沒(méi)有分析沖擊過(guò)程會(huì)隨著系統(tǒng)損害的累積而變化。

沖擊過(guò)程中還存在著依賴性，系統(tǒng)處于更健康的狀態(tài)下對(duì)沖擊損害具有更高的耐性[3]。一方面，同樣大小的沖擊損害往往對(duì)更健康的系統(tǒng)有著較小的損害，而對(duì)損害較嚴(yán)重的系統(tǒng)甚至可能是致命的；另一方面，系統(tǒng)處于較為健康的狀態(tài)時(shí)，某些較小的沖擊屬于無(wú)效沖擊，它對(duì)系統(tǒng)的退化損害累積過(guò)程無(wú)貢獻(xiàn)，這等價(jià)于此時(shí)沖擊發(fā)生過(guò)程的強(qiáng)度更小。

許多學(xué)者逐漸揭露了系統(tǒng)退化中所存在的多階段現(xiàn)象，例如描述軸承退化的二階段跳躍退化模型[8]中階段轉(zhuǎn)換點(diǎn)被假設(shè)為一個(gè)固定或隨機(jī)的時(shí)間點(diǎn)，階段轉(zhuǎn)換伴隨著損害突增，且不同階段下退化過(guò)程的參數(shù)不同[4～8]。另一方面，類似折線逼近曲線，描述復(fù)雜非線性退化的變退化率退化模型[5,9]也可以用多階段模型來(lái)處理。

引起沖擊和退化過(guò)程參數(shù)連續(xù)或階段性改變的因素有很多，但當(dāng)前的研究主要研究其中的某一個(gè)或幾個(gè)特征，缺少對(duì)復(fù)雜的沖擊、退化參數(shù)間依賴關(guān)系和呈現(xiàn)出的多階段特征的廣義的模型，本文提出一種廣義的沖擊和退化過(guò)程具有依賴關(guān)系的多階段模型，模型的特征關(guān)系如圖1。

圖1 沖擊、退化間依賴關(guān)系

1 模型建立與假設(shè)

系統(tǒng)的工作環(huán)境同時(shí)存在沖擊和退化兩種損害機(jī)制，系統(tǒng)的損害程度由退化累積過(guò)程來(lái)度量，沖擊發(fā)生會(huì)對(duì)退化過(guò)程產(chǎn)生貢獻(xiàn)，造成退化過(guò)程中的損害突增。單純的退化過(guò)程是連續(xù)的，設(shè)系統(tǒng)退化損害累積過(guò)程存在常數(shù)閾值記為c，達(dá)到c視為系統(tǒng)失效，系統(tǒng)進(jìn)入吸收態(tài)。為了構(gòu)建離散狀態(tài)空間[0,c]將損害區(qū)間均分K-1份，利用離散系統(tǒng)狀態(tài)空間S={1,2,…,K}劃分系統(tǒng)的K個(gè)階段，其中各個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)分別對(duì)應(yīng)如下退化損害量級(jí)，{[0,c/(K-1)],(c/(K-1),2c/(K-1)],…,((K-2)c/(K-1),c],(c,∞)}。

當(dāng)i,j∈S且i

Xi(t)=αi+βit

(1)

式(1)表示系統(tǒng)在狀態(tài)i中持續(xù)時(shí)長(zhǎng)t所累積的退化損害量，其中退化率βi為正值隨機(jī)變量用來(lái)描述隨機(jī)波動(dòng)，常數(shù)αi為階段i的初始損害。系統(tǒng)在狀態(tài)i∈SW中持續(xù)時(shí)長(zhǎng)t累積的損害總量等于退化累積量加上沖擊損害對(duì)退化過(guò)程的貢獻(xiàn)量，即

(2)

對(duì)于系統(tǒng)階段轉(zhuǎn)換點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)在某個(gè)狀態(tài)i∈SW中累積的退化總量Di(t)首次達(dá)到閾值c/(K-1)時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)換進(jìn)入更差的狀態(tài)。由于存在沖擊造成的損害突增，系統(tǒng)存在一步躍升多個(gè)狀態(tài)的可能。將c/(K-1)記為C，系統(tǒng)在狀態(tài)i的持續(xù)時(shí)長(zhǎng)記為τi，從系統(tǒng)進(jìn)入狀態(tài)i開(kāi)始計(jì)時(shí)，顯然τi也就是階段i下閾值C的首達(dá)時(shí)間(FPT)。因此系統(tǒng)從狀態(tài)i∈SW轉(zhuǎn)入狀態(tài)j=i+ω∈SW當(dāng)且僅當(dāng)Di(t)滿足如下兩個(gè)事件的交，

(3)

前一個(gè)事件意味著系統(tǒng)在工作狀態(tài)i∈SW下持續(xù)時(shí)長(zhǎng)小于τi時(shí)累積的損害量始終小于C，后一個(gè)事件表示系統(tǒng)在狀態(tài)i下經(jīng)歷時(shí)長(zhǎng)τi所累積的損害量Di(τi)達(dá)到下一個(gè)狀態(tài)j=i+ω∈SW對(duì)應(yīng)的損害量級(jí)從而進(jìn)入工作狀態(tài)j。另一方面，系統(tǒng)從工作狀態(tài)i∈SW轉(zhuǎn)入吸收態(tài)K當(dāng)且僅當(dāng)Di(t)滿足如下兩個(gè)事件的交，

(4)

2 馬爾可夫更新過(guò)程建模

記Ti(i=1,2,…)為第i次狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)刻，T0=0，顯然Ti,i=1,2,…為具有馬爾可夫性的再生點(diǎn)。記Zn為系統(tǒng)在時(shí)刻Tn,n=0,1,…進(jìn)入的狀態(tài)，則時(shí)齊馬爾可夫更新過(guò)程{(Zn,Tn),n=0,1,…}可以用來(lái)描述本文中的系統(tǒng)狀態(tài)演化過(guò)程。記{Qi,j(t),i,j∈S}為{(Zn,Tn),n=0,1,…}對(duì)應(yīng)的半馬爾可夫核，接下來(lái)分類討論半馬爾可夫核Qi,j(t)的具體形式。

半馬爾可夫核Qi,j(t)=P{Zn+1=j,Tn+1-Tn≤t|Zn=i}過(guò)程齊次，若系統(tǒng)在第n步進(jìn)入狀態(tài)i，則此時(shí)系統(tǒng)在狀態(tài)i下的持續(xù)時(shí)長(zhǎng)τi=Tn+1-Tn。由沖擊和退化構(gòu)成的復(fù)合過(guò)程Di(t)知，本文系統(tǒng)損害累積的過(guò)程為單調(diào)遞增，因此當(dāng)j≤i,i∈SW時(shí)

Qi,j(t)=P{Zn+1=j,Tn+1-Tn≤t|Zn=i}=0,j≤i,i∈SW

(5)

當(dāng)j=i+ω,ω>1;i,j∈SW，將Ni(τi)記為狀態(tài)i下系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間(Tn,Tn+1]內(nèi)發(fā)生的沖擊次數(shù)，系統(tǒng)在狀態(tài)i下是(Tn,Tn+1]內(nèi)的最后一次沖擊，即第Ni(τi)次沖擊，使得系統(tǒng)累積損害總量從小于C跳躍到損害區(qū)間[ωC,(ω+1)C]。結(jié)合狀態(tài)轉(zhuǎn)換規(guī)則式(3)，利用全概率公式，此時(shí)的半馬爾可夫核可以表示為

Qi,j+ω(t)=P{Zn+1=i+ω,Tn+1-Tn≤t|Zn=i},j=i+ω,ω>1;i,j∈SW

(6)

由假設(shè)知(從系統(tǒng)進(jìn)入狀態(tài)i后開(kāi)始計(jì)時(shí))狀態(tài)i下第m次沖擊發(fā)生的時(shí)刻被記為ti,m，此時(shí)若狀態(tài)i下的第m次沖擊導(dǎo)致了系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移，則系統(tǒng)在狀態(tài)i的持續(xù)時(shí)間τi=ti,m，因此Ni(τi)=Ni(ti,m)=m，上式可以化簡(jiǎn)為，

Qi,i+ω(t)j=i+ω,ω>1;i,j∈SW

(7)

fi,m-1|u(η|u)=fαi(η)*fβiu(η)*

fYi,1(η)*…*fYi,m-1(η)

號(hào)代表卷積運(yùn)算

式(7)中fti,m(u)為ti,m的概率密度函數(shù)，由假設(shè)知ti,m服從伽馬分布如下

(8)

將式(8)代入(7)得

Qi,i+ω(t)j=i+ω,ω>1;i,j∈SW

(9)

當(dāng)i∈SW,i≠K-1,j=K，即系統(tǒng)從某個(gè)不為K-1的工作狀態(tài)直接轉(zhuǎn)入吸收態(tài)，前后狀態(tài)不相鄰，根據(jù)假設(shè)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換規(guī)則式(4)，

Qi,K(t)=P{Zn+1=K,Tn+1-Tn≤t|Zn=i},i∈SW,i≠K-1,j=K

(10)

當(dāng)i∈SW,j=i+1時(shí)，即系統(tǒng)在退化和沖擊環(huán)境共同作用下轉(zhuǎn)入下一個(gè)相鄰的狀態(tài)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移既可能是退化導(dǎo)致的也可能是沖擊導(dǎo)致的，

Qi,i+1(t)=P{Zn+1=i+1,Tn+1-Tn≤t|Zn=i},i∈SW,j=i+1

(11)

P{Tn+1-Tn≤t|Zn=i}

(12)

將(5)(9)(10)(12)代入(11)即得，

(13)

3 可靠度分析

馬爾可夫更新過(guò)程對(duì)應(yīng)的半馬爾可夫核Qi,j(t)為可靠度求解的基礎(chǔ)，將時(shí)齊馬爾可夫更新過(guò)程{(Zn,Tn),n=0,1,…}所對(duì)應(yīng)的半馬爾可夫過(guò)程記為{H(t),t≥0}，H(t)為時(shí)刻t系統(tǒng)所處的狀態(tài)。K為吸收態(tài)，將系統(tǒng)壽命記為T(mén)L，它滿足TL=inf{t≥0,H(t)=K}，假設(shè)系統(tǒng)在時(shí)刻0進(jìn)入工作狀態(tài)i∈SW，此時(shí)系統(tǒng)可靠度記為Ri(t)，系統(tǒng)失效當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移進(jìn)入吸收態(tài)，因此系統(tǒng)壽命TL必然不小于首次狀態(tài)轉(zhuǎn)移時(shí)刻T1，此時(shí)P{TL>t,T1>t}=p{T1>t}，則

Ri(t)=P{TL>t|Z0=i}

=P{TL>t,T1≤t|Z0=i}+P{TL>t,T1>t|Z0=i}

=P{TLt|Z0=i}

=P{TL>t,T1≤t|Z0=i}+1-P{T1≤t|Z0=i}

(14)

其中P{TL>t|Z1=j,T1=u,Z0=i}=P{TL>t-u|Z0=j}=Rj(t-u)。式(14)中得到的馬爾可夫更新方程可以表示為，

(15)

對(duì)上式做Laplace(L)變換和Laplace-Stieltjes(L-S)變換得，

(16)

其中“～”代表L變換，“^”表示L-S變換。解線性方程組(16)，再拉普拉斯逆變換得到系統(tǒng)可靠度。

4 總結(jié)

論文建立了多階段沖擊和退化過(guò)程的復(fù)合模型，提出了一種更加廣義的沖擊和退化過(guò)程依賴關(guān)系模型，每個(gè)階段下沖擊過(guò)程和退化過(guò)程同時(shí)對(duì)系統(tǒng)損害累積過(guò)程產(chǎn)生貢獻(xiàn)，系統(tǒng)損害累積到一定程度從而導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移也即階段改變，狀態(tài)轉(zhuǎn)移又反饋性地改變沖擊和退化過(guò)程所服從的各種參數(shù)。該模型可用來(lái)分析沖擊和退化具有依賴關(guān)系的多階段可靠性系統(tǒng)。