綜合評價模型的偏序集表示

岳立柱， 陸 暢， 張志杰

(1.黃山學(xué)院 經(jīng)濟與管理學(xué)院,安徽 六安 237008; 2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 工商管理學(xué)院,遼寧 葫蘆島 125105)

0 引言

廣義的綜合評價與多準(zhǔn)則決策幾乎同義，狹義的綜合評價多指簡單線性加權(quán)評價(SAW)。盡管評價方法不斷涌現(xiàn)，但SAW模型一直是實踐應(yīng)用中的首選[1]。該模型不僅直觀、簡單，還具有透明度高的優(yōu)點，這意味著其很容易被非專家、以及來自決策領(lǐng)域之外的個人所掌握。Kaliszewski等[2]認為SAW是理解其它評價模型的元模型，可以視其為一個通用框架，對其它方法所產(chǎn)生的排名進行幾乎沒有成本的后驗分析、解釋和比較。在實踐方面，SAW模型應(yīng)用極為廣泛，是理解其它模型的“鑰匙”，但也存在穩(wěn)定性不足、應(yīng)對不確定性能力差的缺陷。

為了彌補該缺陷，增強模型應(yīng)對不確性的能力，學(xué)者們主要從指標(biāo)賦值、指標(biāo)權(quán)重等方面予以拓展。將實數(shù)型指標(biāo)賦值拓展為區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)和隨機分布等類型數(shù)值。例如，Wang[3]提出了模糊SAW模型，用其處理具有語言等級和不完全偏好信息的的評價問題；結(jié)合區(qū)間數(shù)與模糊集的特征，Chen[4]提出了區(qū)間二型模糊集的SAW方法；張振剛等[5]學(xué)者結(jié)合改進集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解和模糊層次分析法提出一種指標(biāo)確定方法，可直接提取專家評價中的同質(zhì)趨同信息，得到更加客觀有效的評價結(jié)果。

權(quán)重被視為集結(jié)算子，影響甚至決定著模型質(zhì)量。權(quán)重不確定性處理主要體現(xiàn)在區(qū)間數(shù)權(quán)重和隨機數(shù)權(quán)重這兩方面。區(qū)間數(shù)研究包括兩個方面：一種是先驗區(qū)間數(shù)權(quán)重，例如，段傳慶[6]根據(jù)決策方案屬性值區(qū)間的離差確定屬性權(quán)重；另一種是評價后評估權(quán)重的變動區(qū)間，例如，Pinar等[7]推導(dǎo)出一個多維貧困的可行范圍，估計出權(quán)重的上限和下限。針對權(quán)重的隨機性，當(dāng)前更多采用隨機多屬性可接受性分析(SMAA)[8]方法，即通過考慮權(quán)重空間上的概率分布，揭示方案排名以及排名的穩(wěn)健性[9]。從權(quán)重測量角度上來看，通過非參數(shù)過程獲得權(quán)重的方法增多，比較典型的是Wakker和Deneffe[10]開發(fā)的權(quán)衡方法，即只要獲得了一個效用的度量，就可以開始非參數(shù)地測度概率權(quán)重。在此基礎(chǔ)上，Abdellaoui[11]提供了更為簡單、靈活和具有交互特征的權(quán)重測度方法。

早期研究多集中于與模糊數(shù)學(xué)相結(jié)合的方法。例如，江文奇[12]等提出一種針對準(zhǔn)則值為區(qū)間直覺模糊數(shù)且準(zhǔn)則權(quán)重為區(qū)間數(shù)的多準(zhǔn)則決策方法；于文玉等[13]針對屬性權(quán)重信息不完全的多粒度猶豫模糊語言型多屬性群決策問題，提出了一種基于指派模型的決策方法。當(dāng)前的隨機多屬性可接受性分析[14]在應(yīng)對不確定性方面取得了更大的優(yōu)勢，決策者也可以利用SMAA來判斷他們能在多大程度上得出不依賴于這種精確量化的結(jié)論，或者指導(dǎo)他們的信息收集工作[15]。

指標(biāo)賦權(quán)模糊化、區(qū)間后和權(quán)重的隨機模擬，的確增強了SAW模型應(yīng)對不確定性的能力，但仍局限于完全理性的評價范式?，F(xiàn)實的復(fù)雜性和評價者認知的有限性決定了完全理性范式經(jīng)常與現(xiàn)實相悖，因此需要將完全理性范式“升級”為有限理性范式。完全理性認為系統(tǒng)的輸出是確定的，或者概率分布是完全明確的。從系統(tǒng)論的角度看，開放系統(tǒng)的輸出具有不確定性，概率分布往往難以明確獲知。理論上，偏序Hasse圖能夠表達系統(tǒng)輸出結(jié)果的不確定性，該特征契合了有限理性評價假設(shè)，突破綜合評價結(jié)果必為單維的思維羈絆，構(gòu)建了將評價由完全理性范式向有限理性范式轉(zhuǎn)變的框架。

Brüggemann等[16]應(yīng)用偏序集決策方法研究評價問題，但該法只能處理等權(quán)SAW模型。岳立柱[17]給出了一種能夠處理非等權(quán)的偏序集決策方法。岳立柱等[18]應(yīng)用偏序集表示權(quán)重難以精確獲知的TOPSIS模型，結(jié)果顯示模型不僅能夠?qū)Ψ桨高M行排序，還能對方案排序穩(wěn)定性和方案間的結(jié)構(gòu)關(guān)系進行分析。偏序方法不假定數(shù)據(jù)間是否具有線性關(guān)系，也不假定數(shù)據(jù)分布特征[19]，適用于基數(shù)、序數(shù)、語義等多種數(shù)據(jù)，具有魯棒性佳的優(yōu)點，因此，本文應(yīng)用偏序集理論給出一種適用更廣且更為穩(wěn)健的綜合決策方法。

1 狹義綜合評價模型

傳統(tǒng)簡單線性加權(quán)模型，一般先確定各評價準(zhǔn)則(指標(biāo))權(quán)重，對評價矩陣進行歸一化處理，之后求出各方案加權(quán)值，并以此作為方案排序、比較的判據(jù)。給定評價集M=(A,IC,X)，其中A={a1,…,am}為方案集，IC={c1,…,cn}為指標(biāo)集，X=(xij)m×n∈Rm×n為評價矩陣，其中xij=cj(ai)表示方案ai在指標(biāo)cj上的取值。綜合評價過程一般如下：

(1)選擇評價指標(biāo)集IC={c1,…,cn}；

(2)確定指標(biāo)權(quán)重(ω1,ω2,…,ωn)；

(3)數(shù)據(jù)預(yù)處理。評價指標(biāo)除了指標(biāo)單位不同之外，指標(biāo)值也有不同的意義，數(shù)值愈大愈好，稱為效益指標(biāo)；數(shù)值愈小愈好，則稱為成本指標(biāo)。為進行n個指標(biāo)的綜合比較，須對指標(biāo)方向及單位進行歸一化處理；

(4)指標(biāo)集結(jié)函數(shù)v(ai)=ω1xi1+ω2xi2+…+ωnxin；

(5)方案排序。根據(jù)實值函數(shù)v(ai)大小進行排序，一般采用值愈大者表示方案愈佳。

綜合評價通過將實數(shù)(數(shù)值)與方案關(guān)聯(lián)起來的方法，產(chǎn)生與決策者價值判斷一致的方案偏好順序。換言之，試圖將一個數(shù)值v(ai)與每一個備選方案ai聯(lián)系起來。對于所有的方案當(dāng)且僅當(dāng)v(ai)>v(aj)時，ai優(yōu)于aj，當(dāng)且僅當(dāng)v(ai)=v(aj)時，ai與aj之間沒有差別。因此，函數(shù)v所隱含的方案排序必然是全序。

2 綜合評價模型的偏序集表示方法

綜合評價是將多個指標(biāo)映射為單個指標(biāo)，該指標(biāo)能反應(yīng)評價對象的整體特征，但評價結(jié)果“天然”地缺乏穩(wěn)健性。傳統(tǒng)綜合評價結(jié)果為全序，全序?qū)儆谄蛱乩?，?yīng)用偏序表示傳統(tǒng)評價模型自然是一種拓展。

2.1 偏序集評價基礎(chǔ)

偏序集詳細內(nèi)容見文獻[16～19]，僅將核心思想和必要結(jié)論作重述。

定義1[20]設(shè)R是集合A上的一個二元關(guān)系，若R滿足：

(1)自反性：對任意x∈A，有xRx；

(2)反對稱性(即反對稱關(guān)系)：對任意x,y∈A，若xRy且yRx，則x=y；

(3)傳遞性：對任意x,y,z∈A，若xRz且yRz，則xRz。

則R稱A為上的偏序關(guān)系。

在應(yīng)用中，通常用“?”表示偏序關(guān)系，集合A和其上的偏序關(guān)系?一起稱為偏序集，記為(A,?)。在不提供任何偏好或權(quán)重信息的前提下，傳統(tǒng)偏序集方法通過占優(yōu)關(guān)系構(gòu)造偏序關(guān)系，即如果a在所有準(zhǔn)則上都不劣于b，則稱a占優(yōu)于b，方案集與占優(yōu)關(guān)系構(gòu)成了偏序集。即對?ai,aj∈A，有

ai?ajxjt≤xjt,t=1,2,…,n

(1)

當(dāng)集結(jié)函數(shù)v單調(diào)增，則ai?aj?v(ai)≤(aj)，根據(jù)式(1)對方案可進行比較和(部分)排序。不過，該比較方式忽略了權(quán)重信息，權(quán)重信息能夠體現(xiàn)決策者者偏好。假設(shè)有n維指標(biāo)權(quán)重，不妨設(shè)ω1≥ω2≥…≥ωn，對于v(ai)=ω1xi1+…+ωnxin,v(aj)=ω1xj1+…+ωnxjn，文獻[17]給出了嚴(yán)格的證明，若滿足

(2)

則有v(ai)≤v(aj)。

根據(jù)式(2)可以構(gòu)建能體現(xiàn)權(quán)重信息的偏序關(guān)系

(3)

通過式(3)右端能夠完成方案偏序比較，該比較方式可以用矩陣簡捷地表示，即當(dāng)ω1≥ω2≥…≥ωn≥0，由評價矩陣X和上三角矩陣E得到累加變換矩陣Y[18]:

(4)

上述矩陣Y中若yit≤yjt(t=1,2,…,n)，則ai?aj。其中，上三角矩陣E為

對累加變換矩陣Y的行進行兩兩比較，構(gòu)造偏序關(guān)系矩陣R=(rij)m×n，即?ai,aj∈A，其中

(5)

若偏序關(guān)系為全序關(guān)系，則矩陣R為可達矩陣。由于偏序關(guān)系矩陣信息存在冗余，將其化簡為Hasse矩陣HR。文[21]給出了二者的轉(zhuǎn)換公式

HR=(R-I)-(R-I)*(R-I)

(6)

其中，I為單位矩陣，運算符*為布爾乘法。

為體現(xiàn)偏序集表達SAW的方法，由下述例子表達偏序計算中的關(guān)鍵步驟。假設(shè)權(quán)重順序為ω1≥ω2≥ω3≥ω4，偏序表達核心步驟如下：

表1 評價矩陣

表1表示的評價矩陣X右乘上三角矩陣E得到累加變換矩陣Y，即

由累加變換矩陣Y得到矩陣，根據(jù)式(6)得到HR

根據(jù)Hasse矩陣?yán)L制Hasse圖。偏序集排名是圍繞線性擴展的概念展開的(相關(guān)研究參見文[16])。即對于一個偏序集而言，如果所有可能的線性擴展被發(fā)現(xiàn)，那么通過它可以計算單個元素的平均高度[22]，根據(jù)該高度實施比較和排序。圍繞線性擴展計算元素高度是Sharp-P-complete(P-complete)問題，因此當(dāng)前更多的采用近似計算方法(相關(guān)研究參見文[16～19])。

2.2 部分權(quán)重順序條件下SAW的偏序集表示

如果無法獲取權(quán)重全排序，便無法應(yīng)用上述偏序方法。為此需要解決在部分指標(biāo)權(quán)重?zé)o法分辨或者排序條件下的偏序集表示問題。為了方便，無法比較的權(quán)重用集合來表示，即設(shè)指標(biāo)權(quán)重秩次滿足

ω1≥…≥ωi-1≥{ωi,ωi+1,…,ωj}≥ωj+1≥…≥ωn

(7)

其中，上式集合{ωi,ωi+1,…,ωj}內(nèi)任意兩個元素均無法比較，且滿足

ωi-1≥max{ωi,ωi+1,…,ωj}

≥min{ωi,ωi+1,…,ωj}≥ωj+1

(8)

定理1設(shè)指標(biāo)權(quán)重秩次滿足式(7)，若下式成立

(9)

則有v(ai)≤v(aj)。

以例子展示定理1的運行方式，研究部分權(quán)重排序條件下的方案比較排序問題。若權(quán)重關(guān)系滿足ω1≥{ω2,ω3}≥ω4，則根據(jù)定理1可知，表1評價矩陣需要變換為表2，這里僅展示獲取累加變換矩陣Y的步驟。

表2 部分權(quán)重排序下的評價矩陣

用表2右乘上三角矩陣E得到累加變換矩陣Y

推論1設(shè)指標(biāo)權(quán)重秩次滿足ω1≥{ω2,…,ωn}，若下式成立

則有v(ai)≤v(aJ)。

根據(jù)推論1可知，例1中若指標(biāo)C1權(quán)重最大，其它指標(biāo)權(quán)重不可比，即權(quán)重關(guān)系滿足ω1≥{ω2,ω3,ω4}，此時對應(yīng)的評價矩陣為表3。

表3 極大權(quán)重下的評價矩陣

表4 極小權(quán)重下的評價矩陣

用表3右乘上三角矩陣E得到累加變換矩陣Y

推論2設(shè)指標(biāo)權(quán)重秩次滿足{ω1,…,ωn-1}≥ωn，若下式成立

則有v(ai)≤v(aj)。

根據(jù)推論2可知，例1中若指標(biāo)C1權(quán)重最小，剩余指標(biāo)間兩兩不可比，即權(quán)重關(guān)系滿足{ω2,ω3,ω4}≥ω1，對應(yīng)的評價矩陣為表4。用表4右乘上三角矩陣得到累加變換矩陣Y

2.3 指標(biāo)廣義賦值條件下SAW的偏序集表示

(10)

無論哪種類型的綜合評價，只要其能夠構(gòu)成線性空間，在該空間上就可以由偏序集表示該評價。

(11)

則有φ(v(ai))≤φ(v(aj))。

2.4 操作步驟

根據(jù)定理2判定(廣義)綜合評價能否能用偏序集予以表示。在假定數(shù)據(jù)已經(jīng)預(yù)處理完成的條件下，偏序集表示綜合評價的操作步驟如下：

第1步獲取權(quán)重排序，依權(quán)重從大到小順序從左到右排列評價數(shù)據(jù)；

第2步權(quán)重若全排序則評價矩陣不變，權(quán)重若部分排序則選擇定理1，合并不可比較的指標(biāo)數(shù)據(jù)，由初始評價矩陣得到新評價矩陣X；

第3步由式(4)得到累加變換矩陣Y;

第4步由式(5)得到比較關(guān)系矩陣R；

第5步根據(jù)式(6)得到Hasse矩陣HR；

第6步根據(jù)矩陣HR，繪制Hasse圖。在此基礎(chǔ)上對方案實施排序、比較等分析。

3 實驗對比分析

隨著中國干果行業(yè)的持續(xù)調(diào)整和市場競爭的日益激烈，大型連鎖商超逐漸成為干果企業(yè)發(fā)展的戰(zhàn)略“制高點”。遼寧省某干果企業(yè)在大潤發(fā)遼寧商超系統(tǒng)15個超市建立銷售門店，經(jīng)過一年的運營需要對各門店銷售情況進行對比分析。該干果銷售數(shù)據(jù)時間為2021年1月1日至2021年12月31日(相關(guān)數(shù)據(jù)見表5)。明確各月份權(quán)重是傳統(tǒng)綜合評價遇到的難題，下面應(yīng)用偏序集方法解決該難題。

表5 干果銷售原始數(shù)據(jù)

一般情況下，時間越遠的銷量對未來影響越小，時間越近的銷量對未來影響越大。因此月份越近的權(quán)重越大。于是1月至12月的權(quán)重順序滿足如下關(guān)系：

ω12≥ω11≥ω10≥ω9≥ω8≥

ω7≥ω6≥ω5≥ω4≥ω3≥ω2≥ω1

根據(jù)式(4)進行累加變換(略)，通過式(5)得到比較關(guān)系矩陣(如表6)。

表6 比較關(guān)系矩陣

根據(jù)式(6)由關(guān)系矩陣得出Hasse矩陣(略)并繪制Hasse圖(見圖1)。

圖1 白酒銷售門店Hasse圖

通過Hasse圖可以看出，15個方案分為8個層集，第一層集{阜新細河店，沈陽沈河店},第二個層集{沈陽和平店，錦州古塔店，遼陽店}，第三個層集{沈陽鐵西店，沈陽皇姑店，沈陽蘇家屯店}，第四個層集{葫蘆島店，營口店}，第五個層集{沈陽長白店}，第六個層集{鞍山民生店}，第七個層集{鞍山中華店，鞍山立山店}，第八個層集{朝陽店}。層集越多表明方案間差異較大，第一個層集即阜新細河店和沈陽沈河店二者同時最優(yōu)，第八個層集朝陽店最劣。從Hasse圖可以看出本文方法的獨特之處:

(1)Hasse圖能夠體現(xiàn)確定性排序和非確定性排序。直接連通或者間接連通方案均為可比方案，體現(xiàn)了高穩(wěn)健性的比較關(guān)系，例如阜新細河店和錦州古塔店，阜新細河店和葫蘆島店，在時間權(quán)重序列不變的前提下，前者的年銷售額一定優(yōu)于后者。沒有路徑連通的方案即不可比方案體現(xiàn)了不確定的比較關(guān)系，例如阜新細河店和沈陽沈河店二者不可比，表明前者既可能優(yōu)于后者，也可能劣于后者，二者的排名關(guān)系存在“翻轉(zhuǎn)”的可能。在實踐應(yīng)用中，通過Hasse圖可以識別確定性關(guān)系，預(yù)估和提前防范評價中的風(fēng)險，進而實現(xiàn)有所知和有所不知的有限理性思想。

(2)避免了指標(biāo)賦權(quán)爭議。傳統(tǒng)綜合評價模型通過權(quán)重將多個指標(biāo)集結(jié)成一個綜合性指標(biāo)，再進行方案比較和排序。但實踐應(yīng)用中，不同的賦權(quán)方法得出的指標(biāo)權(quán)重往往不一致，而且獲取精確權(quán)重不僅耗費資源，還往往充滿爭議。應(yīng)用偏序集表達的綜合評價模型，僅需要權(quán)重順序，不依賴具體權(quán)重，該方式不僅降低了賦值難度，同時能充分發(fā)揮專家經(jīng)驗，化解權(quán)重爭議。該方法能充分發(fā)揮主觀賦權(quán)法的特點，通過專家對情境信息的把握，提取權(quán)重質(zhì)性信息即權(quán)重排序信息，便可運行綜合評價模型。

另外，通過Hasse圖能夠?qū)嵤└怕室饬x的全排序，有關(guān)排序方法參見文[16～18]，由于篇幅關(guān)系不在此贅述。

4 結(jié)論

針對綜合評價模型，應(yīng)用偏序集理論給出了更一般性的表示方法。通過全部或部分指標(biāo)權(quán)重順序，便能夠?qū)崿F(xiàn)方案排序分析。偏序集方法與傳統(tǒng)權(quán)重方法相比優(yōu)勢在于，一是解決了權(quán)重爭議，不同的賦權(quán)方法得到的權(quán)重結(jié)果往往不同，但只要獲得的權(quán)重順序一致，在偏序集表示框架內(nèi)就是等價的；二是分析結(jié)果比較穩(wěn)健，只要權(quán)重順序結(jié)構(gòu)保持不變，無論權(quán)重怎樣變動，原可比關(guān)系保持不變，避免了權(quán)重仿真過程中可能存在的問題；三是通過Hasse圖直觀展示了方案間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，方案縱向關(guān)系體現(xiàn)出方案間的層級信息，橫向關(guān)系即同層內(nèi)方案體現(xiàn)出了聚類信息。偏序集決策方法屬于序分析法，利用原始決策數(shù)據(jù)進行屬性比較，不會因為數(shù)據(jù)測度的轉(zhuǎn)換和強制統(tǒng)一以及模糊數(shù)和清晰數(shù)之間的多次轉(zhuǎn)換而帶來和放大決策誤差，精確性更高；且只要方案間在屬性上能比較優(yōu)劣，而不管測度指標(biāo)值是區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)、清晰數(shù)，還是兼而有之的混合類型均適用，故通用性更好；最后該方法具有原理簡單、步驟簡明、計算復(fù)雜度低、魯棒性佳等優(yōu)勢，對多屬性決策理論和方法的發(fā)展具有重要意義。