基于一類新的Picture模糊距離的VIKOR多屬性決策方法

王 磊, 姚星娜

(1.遼寧工程技術大學 基礎教學部，遼寧 葫蘆島 125105; 2.遼寧工程技術大學 理學院,遼寧 阜新 123000)

0 引言

為了使直覺模糊集(IFS)更加貼近實際決策問題， Guong[1]提出了Picture模糊集(PFS)概念，定義了隸屬度、中立度、非隸屬度和棄權度。PFS是IFS的一種有效擴展，因此在多屬性決策領域受到了學者們廣泛關注?；赑FS，Son等[2]提出了一種新型模糊推理系統。為了刻畫區(qū)間值PFS間的差異，馬強[3]構造了區(qū)間Picture模糊交叉熵。Son[4]利用PFS研究了圖像模糊聚類問題。Shahzaib等[5]提出了Picture模糊加權幾何聚合算子及廣義形式，并利用這些算子求解多屬性決策問題(MADM)。文獻[6,7]提出了一系列新的Picture模糊聚合算子，討論這些聚合算子的特征并應用到MADM中。

VIKOR是一種基于理想解的折衷排序決策方法，首次由Opricovic[8]提出。通過和TOPSIS法[9]、ELECTRE法[10]以及PROMETHEE法[11]的對比，VIKOR方法具有更大的優(yōu)勢，即決策過程同時兼顧群體效用最大化和個體遺憾最小化，以及決策者的偏好。在理論和應用方面，一些學者對經典的VIKOR方法[8]進行了拓展，尤筱玥等[12]構建了供應商企業(yè)社會責任評估的VIKOR決策模型。范建平等[13]根據參照系數的變動，討論了VIKOR中不同標準對排序結果及最佳妥協解的影響。龔日朝和劉玥[14]提出了概率語言VIKOR多屬性決策方法，避免了聚合算子和TOPSIS法在決策機制上的缺點。Liang等[15]構造了勾股模糊VIKOR決策方法，并研究了網絡銀行網站質量評價問題。Liao和Xu[16]將VIKOR方法應用到猶豫模糊集，研究了猶豫模糊MADM。

距離是多屬性決策方法研究中的一個核心問題，在Picture模糊環(huán)境下一些距離[1,17]已被提出。Dutta[17]指出在醫(yī)療診斷中，大多數情況下中立度在IFS中未被考慮，而PFS可以有效克服此不足，為此構建了PFS間的一些距離測度，并應用于醫(yī)療診斷。Guong[1]將IFS之間的Hamming距離和Euclidean距離拓展到了PFS上。

然而上述的距離[1,17]依然存在不足：

(1)文獻[1]中距離未考慮棄權度，因此存在信息缺失。雖然文獻[17]的距離考慮了猶豫度的影響，但某些情況下，也無法對備選方案進行排序擇優(yōu)。

(2)兩種距離[1,17]將4個隸屬度都視為同等重要，未能反映決策者的心理偏好。而現實決策中，決策者往往對于贊同、中立、棄權和猶豫4個信息的傾向程度是不一樣的。

(3)由于PFS能夠反映出猶豫程度這個特點。因此，Picture模糊距離的構造也應該具有該特點。而文獻[1,17]中距離是固定的，故本文構建一種含有參數的距離，可以在不同心態(tài)范圍內變化，進而所得到的排序結果也有所改變。

鑒于此，針對現有距離[1,17]的缺點，借鑒IFS距離[18]的思想，本文構建了一種新的含有參數的Picture模糊距離，并將其與VIKOR法結合，提出新的Picture模糊VIKOR決策模型。最后，通過算例分析表明本文所提決策模型的有效性和優(yōu)點。

1 基本概念

1.1 Picture模糊集及相關概念

定義1[1]設Y為一個非空集合，則稱

P={(y,uP(y),ηP(y),vP(y),πP(y))|y∈Y}

(1)

為Picture模糊集(PFS)。其中uP(y),ηP(y),vP(y)∈[0,1]分別為隸屬度、中立度和非隸屬度，πP(y)=1-uP(y)-ηP(Y)-vP(Y)為棄權度，為方便稱為a=(y,ua(y),ηa(y),va(y),πa(y))Picture模糊數(PFN)，簡記a=(ua,ηa,va,πa)。

Guong構造了如下兩種PFS間的距離[1]。

定義2[1]設A={(yj,uA(yj),ηA(yj),vA(yj),πA(yj))|yj∈Y},B={(yj,uB(yj),ηB(yj),vB(yj),πB(yj))|yj∈Y}為兩個PFS，則

(1)Hamming距離:

ηB(yj)|+|vA(yj)-vB(yj)|)

(2)

(2)Euclidean距離:

(3)

Dutta[17]通過對IFS距離的擴展，提出了另一種PFS間的距離。

定義3[17]稱

(4)

為PFS間的距離。其中A,B含義同定義2。

下面通過例1來說明文獻[1,17]中距離的不足。

例1令a=(0.34,0.12,0.24,0.3),β=(0.24,0.12,0.34,0.3),γ=(0.34,0.02,0.34,0.3)為三個PFNs，則文獻[1,17]計算距離結果如下：

Hamming距離[1]結果：d(a,β)=0.0667,d(a,γ)=0.0667。

Euclidean距離[1]結果：d(a,β)=0.0816,d(a,γ)=0.0816。

Dutta[17]提出距離結果：d(a,β)=0.1,d(a,γ)=0.1。

說明文獻[1,17]都無法對Picture模糊數a與β、a與γ進行區(qū)分。下面構造一種新的Picture模糊距離。

2 新的Picture模糊距離

例1運算結果說明距離[1,17]存在不足。下面，本文提出新的距離來彌補該不足，且引入參數來反映決策者關于不同隸屬度的傾向程度，刻畫新距離的區(qū)分度高。

定義4稱如下表達式

(5)

定理1公式(5)為Picture模糊數間的距離。

注1非負性、對稱性和三角不等式為驗證距離的充要條件[19,20]。模糊集之間距離[18～20]還要滿足一些其他特殊條件。

下面分析距離(5)中賦值不同時的含義。

情況1當ρ1,ρ2,ρ4的取值均小于ρ3時，決策者表現為風險回避或者悲觀型，其中

(i)當ρ1=0時，為強風險回避型或強悲觀型；

(ii)當ρ2ρ4ρ1ρ3時，為弱風險回避型或弱悲觀型；

(iii)其余情況均為中風險回避型或中悲觀型。

情況2當ρ2,ρ3,ρ4的取值均小于ρ1時，決策者表現為風險追求型或樂觀型，其中

(i)當ρ3=0時，為強風險追求型或強樂觀型；

(ii)當ρ2ρ4ρ3ρ1時，為弱風險追求型或弱樂觀型；

(iii)其余情況均為中風險追求型或中樂觀型。

情況3其余情況都表示決策者表現為風險中立或者平和型。

接下來，對ρi(i=1,2,3,4)作進一步解釋：

(1)贊同、中立、反對的信息重要程度相同且兼顧棄權：ρ1=ρ2=ρ3=ρ,ρ4=1-3ρ；

(2)僅考慮贊同與反對信息的重要程度，不考慮中立與棄權：ρ1+ρ3=1,ρ4=ρ2=0；

(3)僅考慮贊同信息的重要程度，而不考慮反對：ρ1+ρ2+ρ4=1,ρ3=0；

(4)僅考慮反對信息的重要程度，而不考慮贊同：ρ2+ρ3+ρ4=1,ρ1=0。

新距離中參數ρi(i=1,2,3,4)的變化影響方案的排序結果，這也為決策者的選擇提供了彈性的空間，下面通過例2簡要說明新距離的優(yōu)點。

例2仍采用例1的數據，本文新距離分別計算d(a,β),d(a,γ)結果如下：

(1)令ρ1:ρ2:ρ3:ρ4=1∶2∶3∶4。則d(a,β)=0.07,d(a,γ)=0.075。

(2)令ρ1:ρ2:ρ3:ρ4=4∶3∶2∶1。則d(a,β)=0.08,d(a,γ)=0.075。

由例1和例2結果反映出新距離具有可分性，說明了本文所提新距離的優(yōu)點： 4個信息的傾向程度不同，可以獲得不同的結果。

3 基于新距離的VIKOR多屬性決策方法

步驟1建立Picture模糊決策矩陣D=(dij)m×n，決策者以PFN的形式表達方案Ai關于屬性Zj的評價信息dij=(uij,ηij,vij,πij)。

步驟2確定正理想方案A+和負理想方案A-，其中

(6)

步驟3確定群體效益值Si和個體遺憾值Ri

(7)

(8)

步驟4利用Si和Ri確定備選方案Ai的折衷值Qi，其中

(9)

δ∈[0,1]表示決策機制系數，δ>0.5表示決策者采用大多數人的觀點，δ<0.5表示反對情況，δ=0.5而表示決策過程同時考慮群體效益和個體遺憾，本文選取δ=0.5。

步驟5計算妥協解，并對候選方案進行排序：

(1)如果同時滿足下面兩個條件，方案A(1)為最優(yōu)妥協解。其中Q(A(1))表示依據Qi排序，排序在第一位的方案(最小值)，Q(A(2))表示依據Qi排在第二位的方案。

條件2決策過程可接受的穩(wěn)定性，當按照Si和Ri排序，A(1)依然排第一位時(排序中最小的)，滿足穩(wěn)定性要求。

(2)如果上述兩個條件其中一個不滿足，則獲得一組折衷解:

(a)若只有條件2不滿足，則A(1)和A(2)都為折衷解；

4 算例分析

例3某風險投資公司準備對5個企業(yè)Ai(i=1,2,…,5)進行投資，考慮如下3個指標：經濟效益Z1，未來前景Z2，環(huán)境污染Z3，相應的權重為ω=(ω1,ω2,ω3)=(0.3,0.4,0.3)。決策者依據3個屬性對5個企業(yè)評估，評估矩陣D=(dij)5×3如表1所示。

表1 Picture模糊決策矩陣D

4.1 求解過程

步驟1決策矩陣見表1。

步驟2正、負理想方案結果如下：A+={(1,0,0,0),(1,0,0,0),(1,0,0,0)},A-={(0,0,1,0),(0,0,1,0),(0,0,1,0)}。

步驟3依據公式(7～8)獲得Si和Ri(令ρ1∶ρ2∶ρ4∶ρ3=1∶1∶1∶1) 的結果：Si={0.2457,0.3683,0.3577,0.386,0.35},Ri={0.104,0.1493,0.1627,0.16,0.152}。

步驟4由公式(9)計算備選方案的折衷值Qi結果如下:Qi={0,0.8213,0.8967,0.977,0.7775}。

4.2 有效性分析

下面采用文獻[1,17]的距離和本文新距離對最佳候選方案的確定進行對比，結果見表2。

表2 不同距離下的排序結果

由表2可以看出本文距離與文獻[1,17]中的距離關于最佳候選方案的確定一致。說明本文決策方法是有效的。

4.3 優(yōu)點分析

在本節(jié)，分別將文獻[1,17]的距離和本文新距離與VIKOR方法結合處理決策問題，進而體現本文新距離的優(yōu)點。

由方法[1,17]和本文方法(ρ1∶ρ2∶ρ3∶ρ4=1∶1∶1∶1∶)所得結果如表3所示。(限于篇幅，僅列出折衷解)

表3 4種距離下的折衷解

表3反映本文決策方法確定最佳方案為A1，而方法[1,17]未能對候選方案進行擇優(yōu)。驗證了本文決策方法優(yōu)于文獻[1,17]中的決策方法。

4.4 參數的靈敏度分析

為討論新距離中ρi(i=1,2,3,4)賦值不同對排序結果的影響，下面將分4種情況進行分析。

(1)若贊同、中立、反對同等重要且考慮棄權時ρ1=ρ2=ρ3=ρ,ρ4=1-3ρ,候選方案結果如表4所示。

表4 情況(1)時不同ρ值下的折衷解

若決策者為風險中立型，則隨ρ1,ρ2,ρ3增大，而ρ4減小，最佳方案由A4變?yōu)锳1。

(2)若僅考慮贊同和反對信息的重要程度，而不考慮中立與棄權時ρ1+ρ3=1,ρ2=ρ4=0，候選方案結果如表5所示。

表5 情況(2)時不同ρ值下的折衷解

表5反映當決策者表現為：弱風險回避型轉變?yōu)槿躏L險追求型時，最佳候選方案均為A1

(3)若僅考慮贊同信息的重要程度，而不考慮反對信息時ρ1+ρ2+ρ4=1,ρ3=0。

(a)若固定ρ1而改變ρ2,ρ4值時，候選方案結果見表6。

表6 情況(3)-(a)時不同ρ值下的折衷解

當決策者表現為風險中立型時，固定ρ1，隨ρ2的增大而ρ4減小，最佳候選方案A4由變?yōu)锳1。

(b)若固定ρ2，改變ρ1,ρ4的值，即決策者表現為風險中立型轉變?yōu)閺婏L險追求型時，若固定ρ2，隨ρ1增大而ρ4減小，最佳候選方案由A4逐漸變成A1。

(c)若固定ρ4，改變ρ1,ρ2的值，即決策者表現為風險中立型轉變?yōu)閺婏L險追求型時，若固定ρ4，隨ρ1增大而ρ2減小，最佳候選方案由A1,A5變成A1。

(4)若僅考慮反對信息的重要程度，而不考慮贊同時ρ2+ρ3+ρ4=1,ρ1=0。

(a)若固定ρ2，改變ρ3,ρ4的值，候選方案結果見表7。

表7 情況(4)-(a)時不同ρ值下的折衷解

當決策者表現為風險中立型轉變?yōu)閺婏L險回避型時，固定ρ2，隨ρ3增大而ρ4減小，最佳候選方案由A1,A4轉變?yōu)锳1且保持穩(wěn)定。

(b)若固定ρ3，改變ρ2,ρ4的值，即決策者表現為風險中立型，固定ρ3，隨ρ2增大而ρ4減小，最佳候選方案由A4變?yōu)锳1。

(c)固定若ρ4，改變ρ2,ρ3的值，即決策者表現為強風險回避型轉變風險中立型時，固定ρ4，隨ρ2增大而ρ3減小，最佳候選方案始終為A1。

綜合分析表明：參數賦值的不同，使得信息的傾向程度發(fā)生變化，進而影響決策結果。在靈敏度分析時，限于篇幅僅列舉了4種情況，實際上決策者可以根據不同的偏好對參數賦值，如ρ1,ρ2,ρ4的賦值均小于ρ3，決策者表現出風險回避型；若ρ2,ρ3,ρ4的賦值均小于ρ1，決策者表現出風險追求型；其余情況均表現出風險中立型。因此，決策者可以依據自身的偏好確定各個信息傾向程度，進而獲得決策結果。

5 結論

與傳統的Picture模糊距離對比，本文所構建的新距離不僅避免了信息的缺失，而且考慮了決策者的心理偏好。通過將新距離推廣到了VIKOR方法中提出了新的決策模型，并與文獻[1,17]的方法對比體現出本文決策模型的優(yōu)點是能夠體現決策者針對不同隸屬度的傾向性。靈敏度分析體現新決策模型的靈活性，即參數的不同賦值使得候選方案的擇優(yōu)也有所不同。對于參數值的確定決策者可以依據實際情況以及自身心理偏好，為決策者提供了靈活的選擇空間。