基于區(qū)間意見的非對稱最小成本共識決策問題研究

程 棟， 張靜陽， 袁宇翔， 程發(fā)新

(1.東華大學 旭日工商管理學院,上海 200051; 2.西安交通大學 管理學院,陜西 西安 710049; 3.江蘇大學 管理學院,江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

共識過程作為群體決策的關鍵環(huán)節(jié)已成為國內(nèi)外學者研究的熱點[1～5]。該過程旨在使決策者調整其意見以達成共識，且往往需要協(xié)調者為做出調整的決策者支付一定補償費用。為此，減少協(xié)調者費用的最小成本共識模型引起了人們的廣泛關注[1～3]。Ben-Arieh等[1]最早提出最小成本共識的概念，目前已被廣泛應用于P2P貸款雙方交易價格[3]、政府與拆遷戶之間的拆遷談判[4]以及跨界水污染協(xié)同治理[5]等諸多問題的解決中。

近年來，最小成本共識研究雖取得一定進展，但大多未考慮意見調整方向對共識成本的影響[5]。例如，Ben-Arieh等[2]基于二次成本函數(shù)探討了最小成本共識問題。Zhang等[6]在不完整語言偏好背景下，基于可變單位調整成本建立了最小成本共識模型。事實上，決策者因上、下調整意見難度不同而具有調整方向的差異，導致決策者具有非對稱單位調整成本[5]。由此，Cheng等[5]首次引入意見調整方向約束，探討了非對稱調整成本對最小成本共識模型的影響，但該研究沒有考慮決策者表達意見的模糊性。實際中，由于決策環(huán)境的復雜性以及信息獲取的局限性，決策者往往難以給出精確意見值，而更愿意以區(qū)間意見表達其偏好[7～9]。Gong等[10]基于區(qū)間型意見建立了最小成本共識模型，但未考慮成本的非對稱性。綜上所述，有必要在共識過程中同時考慮非對稱成本與區(qū)間型意見。

與此同時，在共識達成過程中，有時達成完全一致的決策意見既有難度也無必要[11]。Kacprzyk等[12]首次提出軟共識度概念，容許個體意見與最終共識意見之間存在一定偏差。近年來，軟共識已被廣泛應用于群決策中[3,13]。Zhang等[3]提出最小成本軟共識概念，并建立了給定共識水平下的最小成本共識模型。Zhang等[14]基于Stackelberg博弈提出了雙層優(yōu)化軟共識模型，使得上層協(xié)調者的成本最小且下層決策者的回報最大。但上述研究尚未考慮決策者的區(qū)間表達及共識成本的非對稱性。為進一步提升模型的適用性，本文將在共識模型中考慮軟共識度，從而建立基于區(qū)間意見的非對稱最小成本軟共識模型。其次，目前基于區(qū)間意見的權重賦權方法主要是利用個體評價結果與群體評價結果的偏差程度來確定，且大多忽略了決策者權重與其自身意見區(qū)間長度的關系。例如，Yue[15]基于拓展TOPSIS方法來確定區(qū)間型意見決策者的權重。事實上，決策者意見的區(qū)間長度反映了其對決策問題的模糊程度[10]，而決策者的模糊程度則會影響到其權重。例如，趙萌等[16]利用直覺模糊集的模糊熵代表個體判斷信息的模糊程度，從而提出一種與模糊熵呈負向關系的權重確定方法。據(jù)此，本文提出一種基于意見區(qū)間長度的決策者權重確定方法：決策者區(qū)間長度越大，權重越?。环粗?，權重則越大。

綜上所述，本文將探究基于區(qū)間意見的非對稱最小成本共識問題，并將其拓展到權重未知情形下的軟共識環(huán)境中。本文主要貢獻在于：(1)在最小成本共識模型中同時考慮區(qū)間型意見與非對稱成本，建立了基于區(qū)間意見的非對稱最小成本共識模型。該模型能解決現(xiàn)實中決策者具有區(qū)間偏好且調整成本為非對稱的共識問題。Cheng等[5]在共識決策問題中首次提出了非對稱成本概念，但其默認決策者可獲得足夠信息以精確表達自身意見，因此忽略決策者意見為區(qū)間型的情況。(2)引入軟共識測度，建立基于區(qū)間意見的非對稱最小成本軟共識模型，進一步拓展區(qū)間型意見非對稱最小成本共識模型的應用范圍。(3)基于決策者權重與區(qū)間意見長度之間的負向關系，提出了針對區(qū)間型意見的決策者權重分配方法。現(xiàn)有基于區(qū)間意見的權重賦權方法主要是利用專家個體評價結果與群體評價結果的偏差程度來確定，而常常忽略了決策者權重與其自身意見區(qū)間長度的關系。

1 問題描述

圖1 共識決策步驟

2 區(qū)間意見的非對稱最小成本共識模型構建

本節(jié)將建立區(qū)間意見的非對稱最小成本共識模型。假設決策者意見調整成本與意見偏差之間呈線性關系[1]，則說服決策者di改變意見的成本ci(o′)表示為:

(1)

則協(xié)調者需支付的總共識成本為:

(2)

顯然，從協(xié)調者角度講，達成共識的總成本越小越好。據(jù)此，建立區(qū)間意見的非對稱最小成本共識模型如下:

(3)

其中L={i|oio′,i∈M}分別代表決策意見在共識意見之下和之上的決策者集合。由于模型(3)為非線性模型，不易直接求解，故本文提出定理1將其線性化。

根據(jù)定理1，可將模型(3)轉化為如下線性形式:

(4)

3 基于區(qū)間意見的非對稱最小成本軟共識模型

在上一節(jié)基礎上，引入軟共識測度，進一步探究基于區(qū)間意見的非對稱最小成本軟共識模型。

3.1 區(qū)間意見的決策者賦權方法

在軟共識建模中，既要對決策者共識水平進行測度，又要利用決策者權重集結所有個體意見以得到共識意見。本節(jié)基于決策者權重與區(qū)間意見長度之間的負向關系，提出一種基于區(qū)間型意見的決策者權重分配方法。

定義1設oi∈[oli,ori](0

(5)

3.2 軟共識測度

(6)

圖2 共識水平與個體意見間的關系

3.3 區(qū)間型意見決策者軟共識模型構建

(7)

(8)

4 污染物減排協(xié)商案例分析

本節(jié)以地方政府(協(xié)調者)和污染企業(yè)(決策者)關于污染物減排量進行協(xié)商決策為背景，對本文提出的共識模型進行說明。在共識談判過程中，政府希望企業(yè)盡可能降低減排量，就減排標準達成共識所費成本應盡量最低。各個企業(yè)具有不同減排能力，其需要制定策略以滿足政府減排要求，并根據(jù)補償費用來調整自身意見。當企業(yè)目標減排量過小時(o′>oi)，其必須增加污染控制投資以減少污染物排放水平；反之，則其可能會承受來自當?shù)厣鐓^(qū)和地方政府的巨大壓力，并承擔高昂的生態(tài)環(huán)境恢復成本。各企業(yè)根據(jù)自身發(fā)展狀況，以區(qū)間形式預估出最低和最高減排值。

4.1 非對稱最小成本共識模型分析

(9)

采用MATLAB14求解，得到最優(yōu)解X*=(37,0,0,7,0,0,0,27,0,0,1,1,0,0.5472)，以及相應的最小共識成本為190萬元。由此可知，在該最小成本條件下四家企業(yè)達成最終一致減排量為o′=37千噸。

4.2 非對稱最小成本軟共識模型分析

本節(jié)進一步分析軟共識下的決策情形，即各個企業(yè)的減排值只需在給定共識水平下達成一致即可。由(5)式可得，四家企業(yè)的權重分別為0.22、0.63、0.05和0.1。假設共識閾值λ=0.8，則根據(jù)模型(8)建立最小成本軟共識模型如下：

(10)

通過MATLAB14求解(10)，得到其最優(yōu)解為X*=(46.25,37,47.28,55.5,55.5,0,0,12.28,0,0,8.5,0,0,1,1,0,0.9)，及相應的總共識成本為120.11萬元。由此可知，四家企業(yè)調整后的減排值依次為37、42.28、55.5、55.5千噸，以及共識減排值為o′=46.25千噸。各個企業(yè)的調整趨勢雖與共識模型相同，但調整幅度卻大為減少，因此總共識成本也相應減小。

5 模型靈敏度分析與比較分析

5.1 靈敏度分析

本節(jié)采用第4節(jié)數(shù)值，對單位調整成本、共識閾值進行靈敏度分析。

5.1.1 單位調整成本對模型的影響

5.1.2 共識閾值對模型的影響

隨著共識閾值的增大，總共識成本會逐漸增加，決策者調整后意見與共識意見之間的偏差逐漸減小。當共識閾值為1時，總成本達到最大，所有決策者的調整后意見與共識意見相一致，此時最小成本軟共識模型退化為最小成本共識模型。

5.2 模型比較

5.2.1 非對稱成本與對稱成本的對比

(1)非對稱單位調整成本下，當所有決策者向某一方向的單位調整成本同時增大(減小)時，決策者意見、共識意見會向該方向的反(同)方向移動。這說明決策者意見、共識意見總會向低成本方向移動。而在對稱單位調整成本下，決策者意見、共識意見的變化趨勢不確定。

(2)無論單位調整成本為對稱或非對稱，總共識成本總與單位調整成本呈正相關關系。但在非對稱單位調整成本下，當下調或上調成本增大到某一臨界值時，總共識成本將達到上限。而在對稱單位調整成本下，總共識成本將會隨著單位調整成本的增大而無限增大，該結果與精確型意見情形下相一致。

5.2.2 區(qū)間型意見與精確型意見的對比

為了探究區(qū)間意見決策對共識模型的影響，本節(jié)將區(qū)間型意見與精確型意見下的非對稱共識結果進行對比。為便于對比，在精確型意見情形下，令oi=(oli+ori)/2，即o1=25.5，o2=26，o3=108.5，o4=34.5，具體計算結果如表1所示。

表1 意見形式對共識結果的影響

由表1可看出，采用區(qū)間型意見表達偏好可顯著降低共識成本。這是因為相較于精確型意見，區(qū)間偏好表示個體具有一定范圍的意見容忍度，在該范圍內(nèi)調整意見無需付出補償成本，因此采用區(qū)間型意見偏好會縮減共識成本。

6 結論

本文主要針對區(qū)間型意見下的非對稱成本共識問題進行了研究，進一步拓展了Cheng等[5]非對稱成本共識模型的應用范圍。首先，構建了基于區(qū)間意見的非對稱最小成本共識模型，并將其拓展至軟共識測度環(huán)境中。此外，針對個體給出的區(qū)間型意見，提出一種基于區(qū)間長度的決策者權重分配方法。最后，通過政府與決策者關于污染減排量的具體實例對模型進行數(shù)值分析與結果對比。

研究結論表明，相較于精確型意見，采用區(qū)間型意見能夠大大縮減共識成本。在區(qū)間型意見下，決策者單位調整成本的變化并不總會影響共識結果，其主要與決策者調整后意見相較于其初始意見區(qū)間的位置有關。隨著共識閾值的增大，總共識成本將逐漸增加，而共識意見與決策者調整后意見間的偏差將逐漸減小。未來研究可進一步探索決策者心理因素以及不確定單位調整成本對共識建模的影響。