函數問題中常見的轉化思想

劉錦濃

[摘 要]轉化思想是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。在數學解題過程中常把陌生、復雜、抽象的問題轉化為熟悉、簡單、直觀的問題，從而達到簡化運算、快速解題的目的。歷年高考中，轉化思想的應用隨處可見。在數學教學中，教師要引導學生掌握函數問題中的轉化思想，不斷培養(yǎng)學生的轉化意識，提高學生的思維能力。

[關鍵詞]轉化思想;函數問題;方程

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0029-03

函數是高中數學的基礎，它知識點多，覆蓋面廣，綜合性強，很容易與其他知識建立聯系。解決函數問題所需的轉化思想是重要的數學思維策略，它在數學解題中應用廣泛。運用轉化思想可以將陌生變?yōu)槭煜ぃ瑢碗s變?yōu)楹唵?，將抽象變?yōu)橹庇^，從而有效解決問題。本文主要探討函數問題中常見的轉化思想。

一、數與形的轉化

數形結合，實質上就是將抽象的數學語言與直觀的幾何圖形結合起來，實現抽象概念與具體形象的聯系與轉化。

（一）以形助數

[例1]設方程[log3x+x-3=0]的根為[x1]，方程[3x+x-3=0]的根為[x2]，求[x1+ x2]的值。

分析：本題若直接解出[x1]， [x2]的值，再求[x1+x2]是不現實的。觀察兩個方程發(fā)現，[y=log3x]與[y=3x]互為反函數，可利用反函數的圖像關于直線[y=x]對稱的性質，輔以圖像解題。

解：將原方程化為[log3x=3-x]，[3x=3-x]，方程[log3x+x-3=0]的根為[x1]，實質上是函數[y=log3x]與[y=3-x]圖像的交點的橫坐標;方程[3x+x-3=0]的根為[x2]，實質上是函數[y=3x]與[y=3-x]圖像的交點的橫坐標。如圖1，設其交點分別為[A]、[B]，函數[y=x]與[y=3-x]圖像的交點為[P]。

因為[y=x]與[y=3-x]垂直，且函數[y=log3x]與[y=3x]的圖像關于直線[y=x]對稱，所以點[A]、[B]關于點[P]對稱，易得[P32，32]，所以[x1+ x2=3]。

評析：本題主要是把方程轉化為函數的圖像相交求解。由圖形分析數量間的本質聯系，解決數學問題時能做到快、準，解題往往事半功倍。

（二）以數助形

[例2]如圖2，已知[OPQ]是半徑為1，圓心角為[π3]的扇形，[C]是扇形弧上的動點，四邊形[ABCD]是扇形的內接矩形。記[∠COP=α]，當角[α]取何值時，矩形[ABCD]的面積最大？并求出這個最大面積。

分析：要求當角[α]取何值時，矩形[ABCD]的面積最大，可分兩步進行：（1）找出矩形[ABCD]的面積[S]與[α]之間的函數關系;（2）由函數關系，求[S]的最大值。

解：在[Rt△OBC]中，[OB=cos α]，[BC=sin α]，

在[Rt△OAD]中，[OA =DA/tanπ3=33sin α]，

設矩形[ABCD]的面積為[S]，則

[S=AB×BC=cos α-33sin αsin α=33sin2α+π6-36]，

因為[0<α<π3]，所以當[2α+π6=π2]，[即α=π6]時，矩形ABCD的面積最大，[Smax=36]。

評析：本題主要是把幾何問題轉化為三角函數問題，再利用三角函數的配角公式轉化為形如[y=Asin（wx+φ）]的函數求解，進而實現以數解形。

二、函數與方程的轉化

（一）利用函數解方程題

在解一些高次方程、無理方程或超越方程時，直接解題難度比較大，可以考慮構造函數，把方程問題轉化為函數問題，再利用函數的單調性、奇偶性等解題。

[例3]在實數范圍內解方程[（5x+3）3+x3+6x+3=0]。

分析：這是一個高次方程，如果先去括號后移項再化簡，會十分麻煩。但若不展開，而直接把[（5x+3）]看成一個整體，則可把復雜的高次方程問題轉化為簡單的方程問題，再利用函數的單調性，就很容易求得原方程的解。

解：原方程可等價轉化為[（5x+3）3+（5x+3）=-（x3+x）]，即[（5x+3）3+（5x+3）=（-x）3+（-x）]，

設函數[f（x）=x3+x]，則[f（x）]為奇函數，且在實數集上是單調遞增函數。這時原方程又可等價轉化為[f（5x+3）= f（-x）]。由函數的單調性可知[5x+3=-x]，∴[x=-12]，即原方程的實數解為[x=-12]。

評析：函數、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數幫助，解決函數的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助函數、方程、不等式進行轉化與化歸可以將問題化繁為簡。

（二）利用方程解函數題

在求解函數性質（如值域）時，可把函數問題轉化為方程問題，再利用方程有解的條件解題。

[例4]求函數[y=xx2-x+1]的值域。

分析：可將函數轉化為含有參數[y]的關于[x]的一元二次方程，再利用判別式法求解。

解：由[y=xx2-x+1]得[yx2-（y+1）x+y=0]，這是一個關于[x]的一元二次方程。

當[y=0]時，解得[x=0]，方程有解;

當[y≠0]時，為使關于[x]的一元二次方程有解，必須令[Δ=（y+1）2-4y2≥0]，解得[-13≤y≤1（y≠0）]。綜合可得函數的值域是[-13， 1]。

[例5]已知數列[an]滿足[a1=33]，[an+1-an=2n]，則[ann]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解析：∵[an+1-an=2n]，∴當[n≥2]時，[an-an-1=2（n-1）]，

∴[an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（2n-2）+（2n-4）+…+2+33=n2-n+33（n≥2）]，

又[a1=33=1-1+33]，故[a1]滿足上式，

∴[an=n2-n+33（n∈N*）]，∴[ann=n+33n-1]，

令[f（x）=x+33x-1（x>0）]，則[f ′（x）=1-33x2]，

令[f ′（x）=0]，得[x=33]，

易知當[x∈0，33]時， [f ′（x）<0] ;當[x∈33，+∞]? 時， [f ′（x）>0]，

∴[f（x）]在區(qū)間[0，33]上遞減，在區(qū)間[33，+∞]上遞增，

又[5<33<6]，且[f（5）=5+335-1=535]，[f（6）=6+336-1=212]， [f（5）>f（6）]，

∴當[n=6]時，[ann]有最小值[212]。

評析：函數思想與方程思想是密切相關的，函數問題可以轉化為方程問題來解決，方程問題也可以轉化為函數問題加以解決。如解方程[f（x）=0]，就是求函數[y=f（x）]的零點;又如求方程[f（x）=g（x）]的解的問題可以轉化為函數[y=f（x）]與[y=g（x）]的交點問題，也可以轉化為函數[y=f（x）-g（x）]與[x]軸的交點問題。

三、常量與變量的轉化

在有些數學問題中涉及多個變量，而從正面由常量求解變量較難，對此可選擇把某些變量看作常量，減少變量的個數，再列出剩余變量的關系式，從而簡化運算。

[例6]已知實數[x]、[y]滿足[x2-3xy+y2=2]，則[x2+y2]的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：本題有[x]，[y]兩個變量，且題設與結論是關于[x]，[y]的對稱式，故可以[x]為主變量，令[y=x+t]，其中[x]，[t]為常量，列出變量[x]的關系式解題。

解：令[y=x+t]，

由[x2-3xy+y2=2]得[x2-3x（x+t）+（x+t）2=2]，

化簡得：[x2+xt+2-t2=0]，即[x2+xt=t2-2]，

∵[x∈R]，∴Δ=[t2-4（2-t2）≥0]，解得[t2≥85]，

[∴x2+y2=x2+（x+t）2=2x2+2tx+t2=2（t2-2）+] [t2=3t2-4≥45]，

∴[x2+y2]的取值范圍是[45，+∞]。

四、特殊與一般的轉化

（一）特殊化法

利用特殊情況，如特殊值、特殊位置、特殊函數等，可求解一般化問題。

[例7]當[x-y=1]時，[x4-xy3-x3y-3x2y+3xy2+y4]的值是? ? ? ? ? ? ? ? ?。

解析：本題如果用傳統(tǒng)解法，由[x-y=1]得[x=1+y]再代入原式，運算量大，不可取。把原式化成含[x-y]的形式，再用[x-y=1]整體代入，還是較煩瑣。若根據題型特點，取特殊值[x=1]，[y=0]代入原式即得所求值是1。

（二）一般化法

[例8]已知[f（x）=ex1+ex]，求[f（-5）+f（-4）+…+f（4）+f（5）]的值。

分析：本題若逐項求值比較困難，因為自變量的值（除0外）都是互為相反數，所以不妨從相反數入手，觀察[f（x）與f（-x）]的一般關系。

解：[∵f（x）=ex1+ex]，[f（-x）=e-x1+e-x=1ex+1] [∴f（x）+f（-x）=1]，

∴[f（-5）+f（-4）+…+f（4）+f（5）=5+ f（0）=5+12=112]。

五、特定模型的轉化

轉化思想并不只是在函數范圍內應用，在整個高中數學中也經常用來解決一些知識內容陌生、題意復雜難懂或者計算量比較大等不容易處理的問題。靈活多變的轉化技巧，往往能夠簡化運算，降低問題難度。一些特定問題，如求取值范圍，經常可以轉化為一元二次函數、三角函數、基本不等式、對勾函數等，再利用函數性質、運算規(guī)則等進行求解。

[例9]如圖3，已知橢圓[C]：[y2a2+x2b2=1a>b>0]的短軸長為[2]，過下焦點且與[x]軸平行的弦長為[233]。

（1）求橢圓[C]的標準方程;

（2）若[A]、[B]分別為橢圓[C]的右頂點與上頂點，直線[y=kxk>0]與橢圓[C]相交于[M]、[N]兩點，求四邊形[AMBN]的面積的最大值及此時[k]的值。

解：（1） [y23+x2=1];過程略。

（2）易知點[A（1， 0）]，[B0， 3]，直線[AB]的方程為[x+y3=1]，即[3x+y-3=0]，

不妨設[M（x1， y1）]，[N（x2， y2）]且[x1<x2]，

[y23+x2=1，y=kx，?x1=-3k2+3]，[x2=3k2+3]，則[x2=-x1]，

設[M]到直線[AB]的距離為[d1=3x1+kx1-32=] [3-k+3x12=3+k+3x22]，

[N]到直線[AB]的距離為[d2=3x2+kx2-32=k+3x2-32]

[S四邊形AMBN=12ABd1+d2=k+3x2]

[=3k+3k2+3=3k2+63k+9k2+3]

[=3k2+23k+3k2+3][=31+23kk2+3]

[=31+23k+3k≤3×1+232k×3k=6]，

當且僅當[k=3]時，等號成立，

因此，四邊形[AMBN]的面積的最大值為[6]，此時[k=3]。

當然，在解一道函數題時并非僅應用一種轉化思想，有時需要配合應用幾種轉化思想，如例1中，是先把方程轉化為函數，再轉化為圖像解題。函數問題中的轉化思想也不限于上述幾種。在實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標準化的原則，即把陌生問題轉化為熟悉問題來處理，或者將復雜的問題轉化為簡單的問題，或者將難以解決的、比較抽象的問題轉化為易于解決的、比較直觀的問題。按照這些原則進行轉化，省時省力，猶如順水推舟。在解題教學中，教師經常滲透轉化思想，可以提高學生的解題能力和解題效率。

（責任編輯 黃春香）