基于旋轉(zhuǎn)模型的數(shù)學(xué)壓軸題研究

蘇國東

[摘 要]圖形旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，基于旋轉(zhuǎn)模型的數(shù)學(xué)壓軸題是試題研究的熱點(diǎn)。文章以三道基于旋轉(zhuǎn)模型命制的數(shù)學(xué)壓軸題為例，指出其圖形構(gòu)成與命制方式體現(xiàn)了立足教材、滲透模型、發(fā)展能力等特點(diǎn)，以及教師在教學(xué)中要挖掘試題的教育價(jià)值，發(fā)揮試題的應(yīng)用價(jià)值。

[關(guān)鍵詞]旋轉(zhuǎn)模型;壓軸題;研究

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）08-0004-03

圖形的旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，其與三角形、四邊形、圓等幾何模塊知識都有著密切聯(lián)系，旋轉(zhuǎn)模型更是各類數(shù)學(xué)試題的考查熱點(diǎn)，亦是試題研究者的關(guān)注點(diǎn)。本文以三道基于旋轉(zhuǎn)模型命制的數(shù)學(xué)壓軸題為例，對其圖形構(gòu)成與命制方式進(jìn)行研究。

一、核心概念界定

（一）旋轉(zhuǎn)模型

在等腰三角形（包括等邊三角形、等腰直角三角形）、正方形等具備“等線段、共頂點(diǎn)”特征的圖形背景下，通?？梢赃M(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換解題。根據(jù)形式不同，可歸結(jié)為幾類常見的旋轉(zhuǎn)模型，如“手拉手”模型、“夾半角”模型和“對角互補(bǔ)”模型。

（二）數(shù)學(xué)壓軸題

所謂數(shù)學(xué)壓軸題，一般是指數(shù)學(xué)試卷中選擇題和填空題的最后一題，以及解答題的最后兩題，多數(shù)為幾何或函數(shù)綜合題。數(shù)學(xué)壓軸題具有知識點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、解法靈活等特點(diǎn)，集中體現(xiàn)了知識方法的綜合以及能力的立意。

二、試題研究

（一）“手拉手”模型

“手拉手”模型，是指由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形（或等邊三角形）組成的圖形。在人教版教材八年級上冊第83頁習(xí)題第12題、九年級上冊第63頁習(xí)題第10題均有提及。

如圖1，在等腰[△BAD]和[△CAE]中，[∠BAD=∠CAE]，連接[DC]，[BE]，則有[△DAC≌△BAE]（記為結(jié)論1，下同）、[DC=BE]（結(jié)論2）、[DC]與[BE]的夾角等于[∠BAD]（結(jié)論3）。

如圖2是常見的“三點(diǎn)共線”的等腰直角三角形“手拉手”模型，其中[△ABD]和[△AGE]為等腰直角三角形。以斜邊[BD]，[GE]為對角線向外翻折得到如圖3所示的正方形“手拉手”模型。

[例1]（1）如圖3，四邊形[ABCD]和[AEFG]都是正方形，點(diǎn)[E]在邊[AB]上，連接[BG]和[DE]，則線段[BG]與[DE]有何數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？

（2）如圖4，將圖3中正方形[AEFG]繞點(diǎn)[A]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，則（1）中的結(jié)論是否還成立？請說明理由。

（3）如圖5，直線[l]上有兩個(gè)動點(diǎn)[A]，[B]，直線[l]外有一點(diǎn)[O]，連接[OA]，[OB]，[OA=2]，[OB=2]，以線段[AB]為邊在[l]的另一側(cè)作正方形[ABCD]，連接[OD]。在動點(diǎn)[A]，[B]運(yùn)動的過程中，線段[OD]的長是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值;若不存在，請說明理由。

點(diǎn)評：本題直接使用了圖3作為題圖，考查正方形“手拉手”模型中的常規(guī)結(jié)論與推廣。第（1）問和第（2）問由“手拉手”模型可知△[BAG≌△DAE]（結(jié)論1）、[BG=DE]（結(jié)論2）、[BG]與[DE]互相垂直（結(jié)論3）;第（3）問需要類比聯(lián)想，構(gòu)造“手拉手”模型。如圖6，以[OA]為邊作正方形[OAGF]，連接[OG]，[BG]，則[OG=2OA=2]，由（2）的結(jié)論有[OD=BG]，所以當(dāng)[G]，[O]，[B]三點(diǎn)共線時(shí)[BG]最長，此時(shí)[BG=OG+OB=2+2=4]，故線段[OD]的長存在最大值4。

（二）“夾半角”模型

“夾半角”模型的特點(diǎn)是在一個(gè)已知的大角（一般為90°或120°）中含有這個(gè)大角一半的一個(gè)小角，可以通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等角，從而得到全等三角形。

如圖7，在正方形[ABCD]中，[∠EDF=45°]，因?yàn)閇AD=DC]且共頂點(diǎn)[D]，所以可將[△ADE]繞點(diǎn)[D]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到[△CDK]，[K]，[C]，[B]三點(diǎn)共線，可證明[△EDF≌△KDF]、[EF=KF=AE+CF]（結(jié)論1）、[△EBF]的周長等于正方形邊長的2倍（結(jié)論2）等。

此外，人教版教材八年級下冊第69頁習(xí)題第14題給出了以下結(jié)論：如圖8，四邊形[ABCD]是正方形，點(diǎn)[E]是邊[AB]的中點(diǎn)，[∠DEG=90°]，[EG]交正方形外角的平分線[BG]于點(diǎn)[G]，則有[DE=EG]（結(jié)論3），當(dāng)點(diǎn)[E]不是[AB]中點(diǎn)時(shí)結(jié)論仍然成立。方法是在[AD]上截取[AH=AE]，連接[HE]，證明[△DHE≌△EBG]即可。

將圖7與圖8的[E]點(diǎn)及正方形各頂點(diǎn)對應(yīng)字母重疊，即巧妙構(gòu)造出了圖9。

[例2]如圖9，在邊長為1的正方形[ABCD]中，點(diǎn)[H]，[E]分別是邊[AD]，[AB]上的兩個(gè)動點(diǎn)（與點(diǎn)[D]、[A]、[B]不重合），[AH=AE]，[DE⊥EG]，[EG]交正方形外角的平分線[BG]于點(diǎn)[G]，[DG]交[BC]于點(diǎn)[F]，連接[HE]，[EF]。

（1）求證：[△DHE≌△EBG];

（2）求[∠EDG]的度數(shù);

（3）設(shè)[AE=x]，當(dāng)[x]為何值時(shí)，[EF∥BG]，并求出此時(shí)[△DEF]的面積。

點(diǎn)評：由圖形的構(gòu)造方式可知，盡管已知條件有所改變，但利用圖7、圖8的解題思想可迅速找到本題的突破口。第（1）問和第（2）問中，易證[△DHE≌] [△EBG]，[DE=EG]（結(jié)論3），因?yàn)閇DE⊥EG]，所以[∠EDG=45°];第（3）問中，將[△ADE]繞點(diǎn)[D]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到[△CDK]，如圖9。由“夾半角”模型有[EF=KF]（結(jié)論1），再根據(jù)[EF∥BG]得出[∠FEB=45°]，所以[EB=BF]。因?yàn)閇AE=KC=x]，所以[EB=BF=1-x]，[CF=x]，[EF=KF=2x]。在[Rt△EBF]中，由勾股定理有[（1-x）2+（1-x）2=（2x）2]，解得[x=2-1]，所以[S△DEF=S△DKF=12×2×2-1×1=2-1]。2D53453F-AB58-405C-94D1-B69E72447833

（三）“對角互補(bǔ)”模型

“對角互補(bǔ)”模型，即在四邊形或其構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補(bǔ)，特殊的情況主要有含90°和60°兩種。

以含90°的情況為例，如圖10，四邊形[ABCD]中，[∠BAD=∠BCD=90°]，所以[∠ABC+∠ADC=180°]。當(dāng)給出條件[AB=AD]時(shí)，可將[△ADC]繞點(diǎn)[A]順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到[△ABE]，再證明[△AEC]為等腰直角三角形;當(dāng)給出條件[CA]平分[∠BCD]時(shí)，可作[AE]垂直[AC]交[CB]的延長線于點(diǎn)[E]，再證明[△AEC]為等腰直角三角形，所以有[2AC=EC=BC+CD]（結(jié)論1）、[S四邊形ABCD=S△AEC]（結(jié)論2）。

含60°的情況類似，以例3為例進(jìn)一步說明和應(yīng)用。

[例3]（1）如圖11，[△ABC]是等邊三角形，[∠ADC=120°]，連接[BD]，試探究線段[DA]，[DB]，[DC]之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）如圖12，在四邊形[ABCD]中，[∠A+∠C=180°]，[DA=DC]，過點(diǎn)[D]作[DE⊥BC]于點(diǎn)[E]，探究線段[AB]，[BC]，[CE]之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

點(diǎn)評：第（1）問考查了含60°的“對角互補(bǔ)”模型。因?yàn)閇△ABC]是等邊三角形，[∠ADC=120°]，所以[∠DAB+∠DCB=180°]。如圖13，將[△ABD]繞點(diǎn)[B]順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到[△CBE]，[D]，[C]，[E]三點(diǎn)共線，所以[△BDE]為等邊三角形，[DC+CE=DE]，即[DC+DA=DB]（結(jié)論1）;

第（2）問所求的數(shù)量關(guān)系具有隱蔽性，是對一般情況的“對角互補(bǔ)”模型做出的拓展。如圖14，因?yàn)閇DA=DC]，可將[△DEC]繞點(diǎn)[D]順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至[△DPA]，有[DP=DE]，[AP=CE]。因?yàn)閇∠BAD+∠C=180°]，所以[B]，[A]，[P]三點(diǎn)共線，連接[BD]，可證得[Rt△BPD≌Rt△BED]，[BP=BE]，所以[BC=BE+EC=BA+AP+CE=BA+2CE]，即[BC=BA+2CE]。

三、研究感悟

縱觀全文，數(shù)學(xué)壓軸題的圖形構(gòu)成及命制方式體現(xiàn)了以下特點(diǎn)。

一是立足教材。教材是試題命制的重要來源和依據(jù)，教材的例題和習(xí)題蘊(yùn)含著豐富的基本模型和圖形編制方法，是命題的良好素材。

二是滲透模型。試題將常見的幾何圖形與模型進(jìn)行巧妙整合，又做出合理的改編和推廣，不設(shè)套路，關(guān)注通性通法，常規(guī)中又不乏新意。

三是發(fā)展能力。既考查學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思維和解題技能，又重視發(fā)展學(xué)生獨(dú)立探究、解決問題的能力和素養(yǎng)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要注重對試題解題思想和方法的指導(dǎo)，又要重視幾何模型的歸納和提煉，更要清楚試題命制的基本思路，挖掘試題的教育價(jià)值，發(fā)揮試題的應(yīng)用價(jià)值，穩(wěn)步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）2D53453F-AB58-405C-94D1-B69E72447833