2021年高考數(shù)學(xué)試題分析與2022年備考建議

廣西南寧市教育科學(xué)研究所（530012） 黎福慶

高考評(píng)價(jià)體系是新時(shí)代高考內(nèi)容優(yōu)化的理論支撐和探索指南。高考數(shù)學(xué)試題以高考評(píng)價(jià)體系為命題指導(dǎo)，確定考查理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)文化，突出考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力。其具有基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性。在日常教學(xué)中，教師可通過(guò)創(chuàng)設(shè)課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境等落實(shí)考查要求。高考評(píng)價(jià)體系對(duì)高考數(shù)學(xué)備考指導(dǎo)具有重要意義。

一、2021 年高考數(shù)學(xué)試題（理科甲卷）考查特點(diǎn)

（一）以立德樹人為主要目標(biāo)，推動(dòng)德智體美勞全面發(fā)展

1.具有“重基礎(chǔ)、重應(yīng)用、重時(shí)事、重生活”的特點(diǎn)，發(fā)揮實(shí)踐與應(yīng)用的作用

如第2 題：為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如圖1 所示的頻率分布直方圖。根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（ ）。

圖1

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5 萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

解題思路：利用頻率分布直方圖所給相關(guān)數(shù)據(jù)估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值，可得答案C。

試題分析：考查內(nèi)容為識(shí)圖（直方圖），要求學(xué)生學(xué)會(huì)從圖中抽取相關(guān)信息，解決相應(yīng)問(wèn)題。此題的解題關(guān)鍵是看懂直方圖中縱軸、橫軸等相關(guān)含義。本題考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力。

高考評(píng)價(jià)體系分析：以鄉(xiāng)村振興為情境，通過(guò)頻率分布直方圖給出某區(qū)域農(nóng)戶家庭經(jīng)濟(jì)情況的調(diào)研數(shù)據(jù)，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，具有基礎(chǔ)性和應(yīng)用性的考查特點(diǎn)。

2.具有關(guān)注健康教育的特點(diǎn)

如第4 題：青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量。通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV。已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（ ）。

A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6

解題思路：根據(jù)給定的L，V關(guān)系，當(dāng)L=4.9 時(shí)，求出lgV，再用指數(shù)表示，即可求解，答案為C。

試題分析：構(gòu)造一個(gè)新穎的初等函數(shù)，要求考生分析其概念、圖像或性質(zhì)，并解決與該函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題。

高考評(píng)價(jià)體系分析：圍繞社會(huì)普遍關(guān)注的青少年視力問(wèn)題設(shè)置問(wèn)題，凸顯身心健康是素質(zhì)教育的主要內(nèi)容，有利于促進(jìn)學(xué)生增強(qiáng)身體素質(zhì)，激發(fā)學(xué)生奮發(fā)向上的精神，體現(xiàn)了良好的指向性。本題考查學(xué)生的運(yùn)算能力，著重培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

（二）體現(xiàn)從“知識(shí)立意”“能力立意”向“素養(yǎng)立意”的轉(zhuǎn)變

數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已融入每一個(gè)人的日常生活。2021 年高考數(shù)學(xué)試題十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，考查考生的應(yīng)用意識(shí)，在致力于提高學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力的同時(shí)更注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

如第8 題：2020 年12 月8 日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m)，三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一。如圖2 是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°。由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′-CC′約為（ ）。

圖2

A.346 B.373 C.446 D.473

解題思路：通過(guò)給已知圖形添加輔助線，將所求量轉(zhuǎn)化為求簡(jiǎn)單三角形，借助正弦定理知識(shí)，進(jìn)行運(yùn)算求解，得到答案B。

試題分析：利用正弦定理、余弦定理和三角公式等，基于轉(zhuǎn)化思想、方程思想等，經(jīng)過(guò)運(yùn)算、推理，解決有關(guān)求線段長(zhǎng)的問(wèn)題。

高考評(píng)價(jià)體系分析：通過(guò)創(chuàng)設(shè)探索情境，考查平面幾何基本性質(zhì)和三角函數(shù)基本知識(shí)等內(nèi)容。學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)歷收集信息、加工信息、直觀內(nèi)化、運(yùn)算、解決問(wèn)題等環(huán)節(jié)。本題突出“讀、想、畫、算、寫”的過(guò)程，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力，以及理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用等學(xué)科素養(yǎng)。

（三）增強(qiáng)開放性，探究創(chuàng)新

2021 年高考數(shù)學(xué)試題優(yōu)化考查的內(nèi)容，增強(qiáng)問(wèn)題設(shè)計(jì)的創(chuàng)新性，凸顯高考的樹人導(dǎo)向，引導(dǎo)考生減少機(jī)械重復(fù)練習(xí)。

如第18 題：已知數(shù)列{an} 的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立。①數(shù)列{an} 是等差數(shù)列；②數(shù)列是等差數(shù)列；③a2=3a1。注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分。

解題思路：選①③做條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，再結(jié)合等差數(shù)列的定義可證；選②③做條件證明①時(shí)，設(shè)出=an+b，結(jié)合an，Sn關(guān)系求出an，根據(jù)a2=3a1可求b，進(jìn)而可證{an}是等差數(shù)列。

試題分析：通過(guò)創(chuàng)設(shè)創(chuàng)新情境，利用等差（等比）數(shù)列的定義、性質(zhì)以及函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，基于轉(zhuǎn)化思想和方程思想，經(jīng)過(guò)變形證明問(wèn)題。

高考評(píng)價(jià)體系分析：通過(guò)探索生活中的兩類基本數(shù)列模型，了解數(shù)列是存在遞推規(guī)律對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生應(yīng)掌握數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用技巧。本題考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力。

（四）小口切入，深入挖掘

如第20 題：拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x=1交C于P,Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ。已知點(diǎn)M(2,0)，且⊙M與l相切。（1）求C，⊙M的方程；（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切。判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。

解題思路：根據(jù)拋物線與x=1 相交可設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對(duì)稱性設(shè)出P，Q坐標(biāo)，由OP⊥OQ求出P坐標(biāo)，再由⊙M與直線x=1相切求半徑，得結(jié)論；對(duì)于第（2）小題，先考慮A1A2的斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱性即可得出結(jié)論；若A1A2，A1A3，A2A3的斜率存在，由A1，A2，A3三點(diǎn)在拋物線上，可將直線A1A2，A1A2，A2A3的斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由A1A2，A1A2與⊙M相 切，得 出y2+y3，y2y3與y1的關(guān)系，從而求出M點(diǎn)到直線A2A3的距離，即得結(jié)論。

試題分析：本題原型為已知一條直線和一條圓錐曲線的方程以及相應(yīng)的幾何關(guān)系，第（1）問(wèn)考查求含參曲線的方程，第（2）問(wèn)考查曲線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的定值問(wèn)題等。試題以創(chuàng)新情境為導(dǎo)向，利用拋物線的某些性質(zhì)或代數(shù)形式，通過(guò)列方程（組）求解，求其代數(shù)形式和幾何性質(zhì)問(wèn)題。此題從考查拋物線的概念及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)入手，問(wèn)題解決切入口小，思維深度層層遞進(jìn)，考查學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

高考評(píng)價(jià)體系分析：選擇拋物線和直線為研究對(duì)象，從幾何特殊點(diǎn)出發(fā)引直線，選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)值，提出與其中的線段關(guān)系或角有關(guān)的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，考查與點(diǎn)、直線、曲線有關(guān)的幾何量的計(jì)算，歷經(jīng)代數(shù)式、方程式以及函數(shù)解析式的變形，從而更好地考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力和數(shù)學(xué)建模能力，提升學(xué)生的理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)文化四類學(xué)科素養(yǎng)。

（五）突出理性思維，考查關(guān)鍵能力

如第21 題：已知a＞0 且a≠1，函數(shù)f(x)=(x＞0)。（1）當(dāng)a=2 時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線y=f(x)與直線y=1 有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍。

解題思路：首先求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性。其次利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，將曲線y=f(x) 與直線y=1 有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線y=g(x)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)。最后利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)的單調(diào)性，并結(jié)合g(x)的正負(fù)、零點(diǎn)和極限值分析g(x)的圖像，得到0 ＜而這正好是0 ＜g(a)＜g(e)，根據(jù)g(x)的圖像和單調(diào)性可得到a的取值范圍。

試題分析：利用函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)，通過(guò)列方程或不等式，解決有關(guān)問(wèn)題，考查學(xué)生的推理能力。

高考評(píng)價(jià)體系分析：理性思維是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的核心內(nèi)容。解題過(guò)程突出理性思維，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，很好地將數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究等導(dǎo)入理性思維的軌道上。

二、2022年高考備考建議

（一）夯實(shí)基礎(chǔ)，落實(shí)“四基”

根據(jù)教材弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)更清晰。研究近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷真題，復(fù)習(xí)高中階段所學(xué)知識(shí)的過(guò)程應(yīng)是站在更高的角度，對(duì)舊知識(shí)產(chǎn)生全新認(rèn)識(shí)的重要過(guò)程。在高一、高二階段的數(shù)學(xué)課中，教師主要以知識(shí)點(diǎn)依次傳授講解為主線索，因?yàn)楹竺娴南嚓P(guān)知識(shí)還沒有講到，所以不能進(jìn)行縱向聯(lián)系?；诖?，學(xué)生學(xué)到的是零碎的、散亂的知識(shí)。因而，在高三復(fù)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)明確教學(xué)主線是知識(shí)的縱向聯(lián)系與橫向聯(lián)系相結(jié)合，以確保學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。

（二）深入研究高考真題，倡導(dǎo)“五個(gè)一”教學(xué)

將近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷真題按照內(nèi)容分類，歸納各類試題的題型結(jié)構(gòu)；結(jié)合高考評(píng)價(jià)體系的考查特點(diǎn)；將高考題改編變式，歸納出試題“模胚”并分析解答過(guò)程得分點(diǎn)。

1.說(shuō)一說(shuō)。談?wù)勏嚓P(guān)問(wèn)題的特點(diǎn)、近期的考情等。

2.練一練。以高考真題及其變式和教材中的典型問(wèn)題為聯(lián)系內(nèi)容，約8分鐘現(xiàn)場(chǎng)完成訓(xùn)練。

3.講一講。將一道高考真題或變式題作為例題，指導(dǎo)學(xué)生審題，分析解題思路，找到解題時(shí)需使用的基本公式、基本方法，指明規(guī)范表達(dá)解題過(guò)程的重要性。

4.測(cè)一測(cè)。給出相關(guān)變式題或高考真題，讓學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)用10 分鐘的時(shí)間解答，之后再給出詳細(xì)的答案。

5.歸一歸。引導(dǎo)學(xué)生歸納試題命題方法及試題考查特點(diǎn)，并思考：如何提高書寫速度？小題如何變式？大家存在的主要問(wèn)題及還需注意的地方有哪些？

（三）基于三個(gè)“常規(guī)化”有效備考

1.小題訓(xùn)練常規(guī)化。年級(jí)統(tǒng)籌安排每周一個(gè)約50分鐘的小專題訓(xùn)練。

2.章節(jié)統(tǒng)測(cè)常規(guī)化。每上完一章及時(shí)統(tǒng)測(cè)一次。統(tǒng)測(cè)題由一名骨干教師命制、一名老教師審閱，以確保其科學(xué)有效性。

3.集中輔導(dǎo)常規(guī)化。統(tǒng)籌安排每周一個(gè)晚自習(xí)時(shí)間段進(jìn)行集中輔導(dǎo)。

以上只是筆者的粗淺認(rèn)識(shí)，不當(dāng)之處，請(qǐng)同行批評(píng)指正并提出寶貴意見。