井下微型行星齒輪減速器的設(shè)計優(yōu)化

張 勇，張永勇，陶愛華，楊曙東

(1.中海油田服務(wù)股份有限公司油田技術(shù)研究院 河北 三河 065201 2.華中科技大學機械科學與工程學院 湖北 武漢 430074)

0 引 言

電動切割工具是一款管內(nèi)金屬鋸切井下工具，儀器內(nèi)部有一個2Z-X(A)(即NGW)微型行星齒輪減速器，將直流電機輸出的扭矩放大，并使切割頭周向旋轉(zhuǎn)。由于井下條件惡劣，為了保證切割工具有較高的運行可靠性和較長的壽命，設(shè)計中要求減速器承載能力好、體積小、高溫穩(wěn)定性好，外殼耐腐蝕[1]。

然而，行星傳動設(shè)計是一個比較復(fù)雜的問題，其體積和重量或其承載能力主要取決于傳動參數(shù)的選擇[2]。按照常規(guī)設(shè)計方法，當給定傳動比、輸出軸轉(zhuǎn)矩后，為了求得各輪齒數(shù)、模數(shù)、齒寬、行星輪數(shù)，常常需要先選定其中幾個參數(shù)，才能求出其它參數(shù)。因此，在選擇參數(shù)方案時，往往沒有明確的評估指標，只能選擇一個滿足設(shè)計要求的可行參數(shù)方案，后面進行優(yōu)化設(shè)計[3]。下面首先根據(jù)常規(guī)機械設(shè)計經(jīng)驗確定一種可行方案，再基于MATLAB進行優(yōu)化。

1 行星減速器初始參數(shù)設(shè)計

井下切割工具儀器直徑54 mm，能切割最小油管外徑73 mm、厚度5.5 mm。齒輪箱的外徑設(shè)計同儀器直徑，為54 mm，而齒輪箱的外殼最小直徑處為螺紋退刀槽，直徑為47.4 mm，因此要求齒圈的齒根圓直徑小于45.4mm，并且要求所有中心輪中間可以穿過一根直徑10 mm的傳動桿，因此中心輪齒根圓直徑大于12.5 mm，設(shè)計要求傳動比約120，額定輸出轉(zhuǎn)矩21 N·m。經(jīng)計算，采用4級相同的行星傳動，每級傳動比約3.31。初始設(shè)計參數(shù)見表1。

表1 初始設(shè)計參數(shù)表

根據(jù)機械設(shè)計手冊[4]，單級傳動比為3.31，選取行星輪個數(shù)為np=3，選擇中心輪齒數(shù)za=38，內(nèi)齒圈齒數(shù)zb=88。驗算安裝條件、同心條件、傳動比條件、鄰接條件均滿足[5]。再通過第四級的輸入扭矩計算齒面接觸強度，得出中心輪的分度圓直徑，進而選擇模數(shù)為m=0.5。

因為兩齒輪副的中心距相等，且兩齒輪齒數(shù)均超過最小齒數(shù)，不會產(chǎn)生根切，齒輪不需變位，選取標準齒輪。行星齒輪副基本結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2。

表2 行星齒輪副基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

此行星輪結(jié)構(gòu)及齒輪副尺寸滿足設(shè)計要求，經(jīng)過力學分析及對第三級和第四級的齒面接觸疲勞強度校核、齒根彎曲疲勞強度校核，均滿足設(shè)計強度要求，因此上述方案滿足使用要求。

齒圈材料選擇井下常用材料17-4PH不銹鋼，固溶處理后硬度達到HRC=36，中心輪、行星輪的材料選擇18CrMnTi，滲碳淬火處理, HRC=58～62, 接觸疲勞極限應(yīng)力σHlim=1 500 MPa, 彎曲疲勞極限應(yīng)力σFlim=1 000 MPa，齒輪的精度等級為6級[6]。

2 基于MATLAB優(yōu)化設(shè)計

以上方案顯然不大可能是最優(yōu)方案。為了使設(shè)計方案的某種指標達到最佳, 需采用優(yōu)化設(shè)計方法。MATLAB有專門的優(yōu)化工具箱, 可以快速有效地求解連續(xù)優(yōu)化問題，求解非線性整數(shù)規(guī)劃或混合規(guī)劃問題，一種常用的方法是分枝定界法，荷蘭Groningen大學的KoertKuipers應(yīng)用分枝定界法編寫了現(xiàn)成函數(shù)BNB20函數(shù), 可以用來求解帶有非線性約束的整數(shù)規(guī)劃或混合規(guī)劃問題[7]。采用BNB20函數(shù)對行星齒輪減速器進行優(yōu)化設(shè)計。MATLAB中BNB20函數(shù)非線性規(guī)劃的數(shù)學模型及調(diào)用格式為：

求：minf(x)

調(diào)用格式：[errmsg,f,x]=BNB20(f(x),X0,intlist,LB,UB,A,B,Aeq,Beq,nonlcon);

(1)

式中：x是由設(shè)計變量組成的向量，f(x)為標量目標函數(shù)，X0為設(shè)計變量向量x的初始值，intlist矩陣定義整型變量列，對應(yīng)變量是整型為1，否則為0。矩陣A、矩陣Aeq、向量B和向量Beq定義了線性約束條件，向量函數(shù)c(x)和ceq(x)定義了非線性約束條件，向量LB和UB定義了設(shè)計變量的下限和上限，nonlcon用于計算非線性不等式約束和非線性等式約束[8]。

2.1 設(shè)計變量的確定

行星齒輪傳動優(yōu)化設(shè)計中的設(shè)計變量一般取模數(shù)m、齒數(shù)z、齒寬b以及行星輪個數(shù)np等。在行星減速器中有太陽輪a、內(nèi)齒圈b、行星輪c三種齒數(shù)，由于行星齒輪傳動的機構(gòu)約束, 其中齒數(shù)有兩個是獨立的，取太陽輪a的齒數(shù)za和內(nèi)齒圈齒數(shù)zb為變量。

由校核驗算結(jié)果可知，第四級行星齒輪傳動承受最大的扭矩與應(yīng)力，設(shè)計中比前三級增強了齒寬，如果第四級滿足強度條件，那么前三級必然滿足條件，受齒寬影響微弱，因此設(shè)計中以第四級的齒寬b1為變量。因此確定設(shè)計變量為：

x=[za,zb,b1,m,np]T=[x1,x2,x3,x4,x5]T

(2)

式中：za，zb，np為整數(shù)；b1，m為保留一位有效數(shù)字的小數(shù)。

2.2 目標函數(shù)的建立

在行星齒輪減速器中, 太陽輪和全部行星輪的體積之和能影響和決定齒圈或整個機構(gòu)的尺寸和體積，因此選擇太陽輪a與行星輪c體積之和為優(yōu)化目標函數(shù), 目標函數(shù)表達式為[9]：

(3)

式中：d1、d2分別為太陽輪與行星輪的分度圓直徑。由同心條件2zc=zb-za和d1=mza,d2=mzc得到目標函數(shù)[10]：

(4)

代入變量得到目標函數(shù)為：

(5)

2.3 約束條件的建立

1)齒面接觸強度約束

(6)

式中：Kd為算式系數(shù)，直齒傳動取Kd=768；KA為使用系數(shù)，根據(jù)行星齒輪傳動設(shè)計要求[4]，原動機平穩(wěn)，工作機嚴重沖擊，選擇1.75；KHε為綜合系數(shù)，取 2.4；KHp為計算接觸強度的行星輪間載荷分布不均勻系數(shù)，取 1.05；φd為小齒輪的寬度系數(shù)，φd=b1/mzc；σHlim為齒輪的接觸疲勞極限，N/mm2，根據(jù)行星齒輪傳動設(shè)計要求[4]，取σHlim=1 500 N/mm2。

(7)

式中：T3為齒輪副中小齒輪的額定轉(zhuǎn)矩，N·m;η為每級齒輪傳動效率，0.96。

(8)

令：

(9)

則強度公式(6)簡化為：

(10)

代入變量得到齒面接觸強度約束條件：

(11)

2)齒根彎曲強度約束

小齒輪c根部彎曲強度最弱, 因此, 取輪c的彎曲強度來建立約束條件。根據(jù)對直齒圓柱齒輪輪齒彎曲強度的要求, 得:

(12)

式中：KFβ為計算彎曲強度的齒向分布系數(shù)，取1.04；KFp為計算彎曲強度的行星輪間載荷分配不均勻系數(shù)，取1.075；YF為齒形系數(shù)，近似取YF=4.69-0.63lnza；σFlim為彎曲疲勞極限，σFlim=1 000 MPa。

令：

(13)

則強度公式(12)簡化為：

(14)

代入變量得到齒根彎曲強度約束條件：

(15)

3)微型傳動、齒寬模數(shù)一般關(guān)系、齒輪不根切條件

0≤m≤1?0≤x4≤1

(16)

3≤np≤4?3≤x5≤4

(17)

(18)

4)傳動比條件

(19)

(20)

5)安裝條件

(21)

6)鄰接條件

(22)

(23)

7)兩個直徑約束

(24)

(25)

2.4 優(yōu)化設(shè)計過程及優(yōu)化結(jié)果分析

首先直接用BNB函數(shù)進行第一次優(yōu)化，將intlist矩陣定義為[1；1；0；0；1]，即將齒寬和模數(shù)當作連續(xù)變量進行優(yōu)化，之后再進行圓整計算。第一次優(yōu)化，經(jīng)過215.5 s，得到優(yōu)化結(jié)果為[44，100，5.4253，0.408，4]。因為齒寬和模數(shù)均為保留一位的小數(shù)，因此經(jīng)過圓整計算后得到[44，100，5.7，0.4，4]，體積為3 632.988 mm3，而原體積為4 561.789 mm3，體積減少了20.4%。

第一次優(yōu)化的求解思路是先將所要解決的問題視為一般非線性整數(shù)連續(xù)優(yōu)化設(shè)計問題來處理。當求得最優(yōu)解后, 就利用某種策略或技巧來進行圓整處理。由于該權(quán)宜之法未充分考慮到問題本身的特點, 可靠性差, 且在整個優(yōu)化迭代過程中無法提供一系列符合離散要求的迭代點供設(shè)計人員選擇, 故有必要再辟蹊徑解決問題。

由于齒寬與模數(shù)均為保留一位數(shù)字的小數(shù)，因此在第一次優(yōu)化的程序上稍加改動，將10B1，10 m作為設(shè)計變量，將intlist矩陣定義為[1；1；1；1；1]，這樣就將問題轉(zhuǎn)化為非線性整數(shù)優(yōu)化設(shè)計問題。

通過將10B1，10 m帶入計算，得到了另一組有效解，且不用圓整，自動就能滿足所有條件與要求，[33，75，6.5，0.5，4]得到的體積為3641.204 mm3，體積同樣減少了20.18%，但是這組優(yōu)化解模數(shù)相比原來沒變化，且齒寬也能夠符合機械設(shè)計一般要求，更加合理。優(yōu)化結(jié)果與原方案參數(shù)對比見表3。

表3 優(yōu)化結(jié)果與原方案參數(shù)對比

根據(jù)優(yōu)化后的減速機參數(shù)加工樣機，如圖1所示。

圖1 優(yōu)化后實際加工樣機

經(jīng)過實際應(yīng)用測試，該行星減速器具有較好的性能，能夠穩(wěn)定運行并提供輸出扭矩，無因輪齒失效而造成的損壞，證明了此設(shè)計過程的正確性和可靠性。

3 結(jié)束語

通過對原行星齒輪減速器進行優(yōu)化設(shè)計，減速器體積比原設(shè)計顯著減少。通常行星減速器設(shè)計方法只能找出可行方案，而以最小體積為目標對行星齒輪減速器進行最優(yōu)化設(shè)計，不僅對縮小減速器體積，而且對減小質(zhì)量、節(jié)約材料、提高承載能力及降低成本等都具有實效意義。

本文中行星齒輪減速器的設(shè)計及優(yōu)化過程對其它同類產(chǎn)品的設(shè)計開發(fā)具有借鑒作用，基于MATLAB優(yōu)化設(shè)計大大縮短了設(shè)計周期，為優(yōu)化設(shè)計提供了一種便捷、可行的方式及思路。當然，體積最小并不是機械產(chǎn)品最理想的唯一優(yōu)化目標，還有很多其他指標來衡量機械產(chǎn)品的優(yōu)劣，所以還需要進一步的研究。