基于時(shí)間響應(yīng)函數(shù)修正的GM（1，1）模型及變形預(yù)測(cè)應(yīng)用

邱利軍，張 波，周占學(xué)，陳學(xué)良

（1.河北建筑工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，河北 張家口 075000； 2.河北省土木工程診斷、改造與抗災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 張家口 075000； 3.中國(guó)地震局地球物理研究所，北京 100081）

灰色系統(tǒng)理論自鄧聚龍教授于1982 年提出至今，其應(yīng)用已經(jīng)拓展至各行各業(yè)。 基于該理論的深入研究從未中斷［1］，而作為該理論核心的GM（1，1）模型是研究最活躍的模型之一［2］，并且在理論研究與實(shí)踐應(yīng)用中取得諸多成果。 鑒于傳統(tǒng)建模方法存在缺陷，很多學(xué)者進(jìn)行了模型改進(jìn)，以達(dá)到更好的預(yù)測(cè)效果［3-4］。部分學(xué)者采用改進(jìn)原始序列光滑度的方法使預(yù)測(cè)精度提高，其中：陳濤捷［5］對(duì)原始序列進(jìn)行對(duì)數(shù)變換以改變其光滑度，提高了模型預(yù)測(cè)精度；于德江［6］提出開(kāi)方變換的方法來(lái)改進(jìn)序列光滑度，從而提高模型預(yù)測(cè)精度；何斌等［7］進(jìn)行指數(shù)變換以提高序列光滑度，拓寬了模型應(yīng)用范圍，并在理論上證明了其優(yōu)越性；關(guān)葉青等［8］采用三角函數(shù)變換改進(jìn)序列光滑度。 部分學(xué)者采用變換初始值的方法對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，其中：黨耀國(guó)等［9］以x（1）（n）為初始值建立GM（1，1）模型，并證明其較原始模型優(yōu)越；尹方平［10］提出以αx（1）（n）為初始值的GM（1，1）模型，并給出參數(shù)α的計(jì)算公式，以此提高預(yù)測(cè)精度。 部分學(xué)者對(duì)背景值進(jìn)行改進(jìn)，其中：譚冠軍［11］認(rèn)為背景值是直接影響GM（1，1）模型精度和適應(yīng)性的關(guān)鍵因素，提出將區(qū)間n等分所得面積近似為區(qū)間面積，以其作為背景值的方法，并給出了求解等分值n的試探法和經(jīng)驗(yàn)公式法；李俊峰等［12］用牛頓-柯特斯公式重構(gòu)模型中的背景值以改進(jìn)算法模型。 而在 實(shí)踐 應(yīng) 用 中，王 艷 艷 等［13］將 傳 統(tǒng) 均 值GM（1，1）模型應(yīng)用于小浪底水利樞紐大壩變形預(yù)測(cè)中；邱利軍等［14］對(duì)光滑度進(jìn)行改進(jìn)并采用實(shí)測(cè)基坑變形數(shù)據(jù)及隧道變形數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證；文建華等［15］采用重構(gòu)參數(shù)改進(jìn)GM（1，1）模型并對(duì)隧道收斂變形進(jìn)行預(yù)測(cè)；劉光秀等［16］采用GM（1，1）模型與Gompertz 曲線(xiàn)加權(quán)組合以預(yù)測(cè)路基沉降；牛景太［17］在新陳代謝的基礎(chǔ)上改進(jìn)背景值，并應(yīng)用于土石壩變形預(yù)測(cè)。

綜上，在模型改進(jìn)方面，大多數(shù)學(xué)者從提高擬合精度的角度進(jìn)行了研究，而筆者認(rèn)為可以從擬合所得時(shí)間響應(yīng)函數(shù)與實(shí)測(cè)累加曲線(xiàn)存在殘差這一角度對(duì)其進(jìn)行修正，提高除建模序列之外的后期序列的預(yù)測(cè)精度。因此，筆者提出對(duì)一次累加序列擬合所得時(shí)間響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行平移旋轉(zhuǎn)變換，得到新的函數(shù)，并進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 GM（1，1）模型及修正

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X（0）＝｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝（n為數(shù)據(jù)總數(shù)）為非負(fù)離散序列，而X（1）＝｛x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）｝是X（0）的1-AGO 序列，那么X（1）的緊鄰均值生成序列為Z（1）＝｛z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n）｝，則GM（1，1）模型為

式中：a、b為待求灰參數(shù)；t為時(shí)間。

式（2）稱(chēng)為式（1）的白化方程。

設(shè)

用最小二乘法可求得

式（4）即X（1）序列預(yù)測(cè)公式（時(shí)間響應(yīng)函數(shù)），若k+1≤n則函數(shù)值為擬合值，若k+1＞n則函數(shù)值為預(yù)測(cè)值。

時(shí)間響應(yīng)函數(shù)值與實(shí)測(cè)累加曲線(xiàn)并不重合，當(dāng)k+1＞n時(shí)，為了得到較精確的預(yù)測(cè)值，對(duì)式（4）進(jìn)行變換。 變換的方法：假設(shè)橫軸表示時(shí)間（周期）序列，而縱軸表示一次累加值，在該平面坐標(biāo)系內(nèi)先將式（4）計(jì)算 所 得 的 曲 線(xiàn) 平 移，使 得（n，＾x（1）（n）） 與（n，x（1）（n）） 兩個(gè)點(diǎn)重合， 而后將 平移后曲線(xiàn)繞點(diǎn)（n，x（1）（n）） 旋轉(zhuǎn)θ角，得到新的預(yù)測(cè)曲線(xiàn)。

時(shí)間響應(yīng)函數(shù)的平移量Δ計(jì)算公式為

若Δ＞0，則式（4）計(jì)算所得曲線(xiàn)下移，反之則上移。 其平移后公式為

進(jìn)而計(jì)算旋轉(zhuǎn)角θ（對(duì)曲線(xiàn)函數(shù)y求在橫坐標(biāo)為n處的導(dǎo)數(shù)得到斜率，n-1期點(diǎn)與n期點(diǎn)構(gòu)成直線(xiàn)斜率近似代替實(shí)測(cè)累加曲線(xiàn)斜率，求其反正切值的差值，即夾角值）：

若θ＞0，則平移后進(jìn)行順時(shí)針旋轉(zhuǎn)；若θ＜0，則在平移后進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

由于旋轉(zhuǎn)角θ一般較小，因此短期預(yù)測(cè)可采用原模型求得的擬合預(yù)測(cè)曲線(xiàn)上第n期與第n+1 期所連直線(xiàn)斜率計(jì)算反正切值，取代式（8）中等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)并對(duì)曲線(xiàn)函數(shù)求導(dǎo)后計(jì)算反正切的結(jié)果，從而近似得到θ值；或直接采用原模型求得擬合預(yù)測(cè)曲線(xiàn)上第n-1 期與第n期所連直線(xiàn)斜率，計(jì)算反正切值取代式（8）中等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)并對(duì)曲線(xiàn)函數(shù)求導(dǎo)后計(jì)算反正切的結(jié)果，求得近似θ值。

設(shè)坐標(biāo)系中任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），其繞點(diǎn)（x0，y0）旋轉(zhuǎn)θ后得到新的點(diǎn)坐標(biāo)（x′，y′），對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換公式為

由式（9）可知，將（x′，y′）回轉(zhuǎn)θ后可得到（x，y），其公式為

根據(jù)公式（10），若曲線(xiàn)上任一點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)θ，則結(jié)合公式（7）可得繞（n，x（1）（n））旋轉(zhuǎn)變換后的曲線(xiàn)公式，即

公式（11）即變換后所得的新的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)。對(duì)其進(jìn)行調(diào)整得

則

公式（14）即建立的旋轉(zhuǎn)后y′（即＾x（1）（k） ）與橫坐標(biāo)（k）對(duì)應(yīng)的方程，代入對(duì)應(yīng)的k值后求解y′的一元非線(xiàn)性方程，可得到對(duì)應(yīng)的累加預(yù)測(cè)序列，即

根據(jù)公式（14）求得一次累加預(yù)測(cè)序列，再進(jìn)行累減還原即可求得預(yù)測(cè)值：

灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)本質(zhì)為指數(shù)函數(shù)預(yù)測(cè)，可知公式（7）為GM（1，1）模型一般形式，該修正方法可推廣至符合指數(shù)函數(shù)形式的所有GM（1，1）模型。 其修正原理如圖1 所示。

圖1 GM（1，1）模型修正原理示意

由圖1 可知，實(shí)測(cè)累加序列與擬合累加序列曲線(xiàn)在后期可能出現(xiàn)相近、相交或相離的情形，旋轉(zhuǎn)角的正負(fù)控制其旋轉(zhuǎn)方向。 由于近似求得的夾角與實(shí)際存在偏差，因此可能出現(xiàn)預(yù)測(cè)校正過(guò)量（如圖1 所示）或校正不足的問(wèn)題，但整體是在預(yù)測(cè)期向?qū)崪y(cè)累加曲線(xiàn)靠近，以減小預(yù)測(cè)誤差。 但可能使得建模已知序列擬合值因旋轉(zhuǎn)而失真，導(dǎo)致與已知值相差較大，因其為已知值，故不作考慮。

2 實(shí)例應(yīng)用

2.1 實(shí)例一

選取文獻(xiàn)［13］中小浪底水利樞紐大壩壩頂監(jiān)測(cè)點(diǎn)807 點(diǎn)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，8 期數(shù)據(jù)中以前5 期數(shù)據(jù)進(jìn)行建模、后3 期數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。 觀(guān)測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)累計(jì)變形建模序列見(jiàn)表1。 分析過(guò)程中采用傳統(tǒng)均值GM（1，1）模型（模型一）、對(duì)數(shù)變換均值GM（1，1）模型（模型三）、以x（1）（n）為初始值的GM（1，1）模型（模型五），對(duì)這3種基本模型分別進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)函數(shù)修正（分別對(duì)應(yīng)模型二、四、六），得到修正后的預(yù)測(cè)結(jié)果并進(jìn)行比較。

表1 實(shí)例一實(shí)測(cè)建模數(shù)據(jù)序列值 mm

經(jīng)過(guò)多種模型建模預(yù)測(cè)，以預(yù)測(cè)相對(duì)誤差表示模型預(yù)測(cè)精度，結(jié)果見(jiàn)表2。 需要說(shuō)明，所有模型采用C＃程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，中間變量采用雙精度浮點(diǎn)型（double）變量，表中最終結(jié)果采用四舍五入取至小數(shù)點(diǎn)后兩位。

表2 實(shí)例一不同模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值比較分析

根據(jù)表2 分別比較模型一和模型二、模型三和模型四、模型五和模型六預(yù)測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)對(duì)均值GM（1，1）模型、對(duì)數(shù)變換后均值模型及以x（1）（n）為初始值的均值模型進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)函數(shù)修正后的預(yù)測(cè)精度較原模型均有所提高，說(shuō)明對(duì)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)值進(jìn)行修正，能使其與實(shí)測(cè)累加曲線(xiàn)更接近，從而提高預(yù)測(cè)精度。 再比較模型二、模型四、模型六可知，模型二與模型六預(yù)測(cè)精度相近，而模型四精度較高。

繪制各模型預(yù)測(cè)曲線(xiàn)與實(shí)測(cè)曲線(xiàn)對(duì)比圖（自第5期開(kāi)始），如圖2 所示。

圖2 實(shí)例一預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值比較

由圖2 可知，對(duì)模型進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)函數(shù)修正后，其預(yù)測(cè)曲線(xiàn)更趨近于實(shí)測(cè)曲線(xiàn)，相對(duì)誤差更小。 累加預(yù)測(cè)曲線(xiàn)的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)在預(yù)測(cè)值曲線(xiàn)中的表現(xiàn)為預(yù)測(cè)值向?qū)崪y(cè)值靠攏修正。 分析數(shù)據(jù)可知，由于前5 期數(shù)據(jù)增長(zhǎng)速率相對(duì)緩慢，因此建模擬合函數(shù)的預(yù)測(cè)曲線(xiàn)相對(duì)平緩，而以建模序列求解得到的修正角參數(shù)實(shí)際存在差異，導(dǎo)致修正模型雖然預(yù)測(cè)精度提高，但是殘差依然達(dá)到毫米級(jí)。 而且第7 期數(shù)據(jù)出現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象，導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)后預(yù)測(cè)殘差出現(xiàn)波動(dòng)，即修正過(guò)量的情況，其原因在于修正模型實(shí)質(zhì)依然是以單調(diào)凹函數(shù)預(yù)測(cè)后期數(shù)據(jù)，導(dǎo)致在面對(duì)后期出現(xiàn)波動(dòng)較大的復(fù)雜數(shù)據(jù)時(shí)，可能出現(xiàn)修正過(guò)量甚至誤差增大的情況。

2.2 實(shí)例二

選取文獻(xiàn)［17］中某施工土石壩觀(guān)測(cè)點(diǎn)9 期觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，以前7 期累計(jì)沉降作為原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模、后2 期累計(jì)沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)驗(yàn)證。 分析采用的模型同實(shí)例一。

表3 實(shí)例二實(shí)測(cè)建模數(shù)據(jù)序列值 mm

采用預(yù)測(cè)相對(duì)誤差表示模型預(yù)測(cè)精度，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表4，模型依然采用C＃程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)，如實(shí)例一所述。

表4 實(shí)例二不同模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值比較分析

根據(jù)表4 分別比較模型一和模型二、模型三和模型四、模型五和模型六預(yù)測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)對(duì)均值GM（1，1）模型、對(duì)數(shù)變換后均值模型及以x（1）（n）為初始值的均值模型進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)函數(shù)修正后的預(yù)測(cè)精度較原模型均有所提高，說(shuō)明對(duì)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行修正，能使其與實(shí)測(cè)累加曲線(xiàn)更接近，從而提高預(yù)測(cè)精度。再比較模型二、模型四、模型六可知，模型二與模型四預(yù)測(cè)精度相近，而模型六精度較高。

繪制各模型預(yù)測(cè)曲線(xiàn)與實(shí)測(cè)曲線(xiàn)對(duì)比圖（自第7期開(kāi)始），如圖3 所示。

圖3 實(shí)例二預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值比較

由圖3 可知，實(shí)測(cè)曲線(xiàn)無(wú)明顯波動(dòng)，對(duì)模型進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)函數(shù)修正后，其預(yù)測(cè)曲線(xiàn)更趨近于實(shí)測(cè)曲線(xiàn)。以x（1）（n）為初始值的均值模型預(yù)測(cè)效果更好，說(shuō)明該模型所得數(shù)據(jù)計(jì)算求得的修正角參數(shù)更接近后期實(shí)際。 同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)例中后期數(shù)據(jù)近似線(xiàn)性，而GM（1，1）模型實(shí)質(zhì)為指數(shù)函數(shù)，模型修正后其凹曲線(xiàn)性質(zhì)并未改變，短期內(nèi)預(yù)測(cè)效果較好，但長(zhǎng)期依然會(huì)表現(xiàn)出與實(shí)測(cè)值相離趨勢(shì)。

2.3 與曲線(xiàn)擬合比較

實(shí)例一與實(shí)例二均為一元序列，采用回歸分析中的曲線(xiàn)擬合進(jìn)行趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)較為常見(jiàn)。 因此，采用多項(xiàng)式趨勢(shì)模型分別對(duì)兩個(gè)實(shí)例進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，以進(jìn)行比較分析。 針對(duì)實(shí)例一采用前5 期擬合函數(shù)，后3期對(duì)比分析，隨著函數(shù)指數(shù)的增加，得到了指數(shù)為1～4的多項(xiàng)式預(yù)測(cè)結(jié)果，其中指數(shù)等于1 時(shí)為線(xiàn)性預(yù)測(cè)結(jié)果；而實(shí)例二采用前7 期擬合函數(shù)，后2 期對(duì)比分析，隨著函數(shù)指數(shù)增加，得到指數(shù)為1 ～6 的多項(xiàng)式預(yù)測(cè)結(jié)果，其中指數(shù)等于1 時(shí)為線(xiàn)性預(yù)測(cè)結(jié)果。 每個(gè)實(shí)例各取2 項(xiàng)最好的預(yù)測(cè)結(jié)果與誤差較小的改進(jìn)灰色GM（1，1）模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較，見(jiàn)表5。

表5 與多項(xiàng)式擬合預(yù)測(cè)結(jié)果比較

根據(jù)表5 數(shù)據(jù)可知，實(shí)例一的預(yù)測(cè)結(jié)果中，模型四對(duì)于多項(xiàng)式擬合預(yù)測(cè)具有明顯優(yōu)勢(shì)，而在實(shí)例二的預(yù)測(cè)結(jié)果中，模型六的預(yù)測(cè)結(jié)果與多項(xiàng)式擬合達(dá)到的最優(yōu)預(yù)測(cè)結(jié)果精度相近。 因此，認(rèn)為修正GM（1，1）模型針對(duì)適用的數(shù)據(jù)序列能夠達(dá)到較高的預(yù)測(cè)精度，并且具有一定的穩(wěn)定性。

2.4 綜合分析

對(duì)實(shí)例一及實(shí)例二進(jìn)行比較分析，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)GM（1，1）模型、對(duì)數(shù)變換后建立的GM（1，1）模型以及以x（1）（n）為初始值的均值GM（1，1）模型針對(duì)不同數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度并不相同。 在實(shí)例一中對(duì)數(shù)變換后建立的GM（1，1）模型較傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)精度高而在實(shí)例二中則相反，而比較其后驗(yàn)差比值（C）及小誤差概率（P），除了小誤差概率（P）均為1 外，后驗(yàn)差比值（C）在兩個(gè)實(shí)例中均表現(xiàn)為對(duì)數(shù)變換后的模型較傳統(tǒng)模型的小，也即對(duì)數(shù)變換后建模方法更具優(yōu)勢(shì)。 分析后驗(yàn)差比值公式可知，其計(jì)算僅涉及建模序列，因此應(yīng)用于預(yù)測(cè)序列存在不足。 實(shí)例一與實(shí)例二選取的最佳模型也不同，究其原因有兩點(diǎn)：其一是不同建模方法以及不同序列的一次累加序列后期增長(zhǎng)率具有差異性，若后期增長(zhǎng)率突變則擬合函數(shù)擬合效果較好，其預(yù)測(cè)效果反而可能較差；其二是旋轉(zhuǎn)夾角的取值直接影響后期預(yù)測(cè)精度，因不同建模方法所得夾角值具有差異性，故預(yù)測(cè)效果不同。 但是無(wú)論傳統(tǒng)模型還是改進(jìn)模型，采用時(shí)間響應(yīng)函數(shù)修正的方法進(jìn)行改進(jìn)后預(yù)測(cè)精度均有所提高。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)GM（1，1）模型時(shí)間響應(yīng)函數(shù)與實(shí)測(cè)一次累加序列不完全重合的情況，從一次累加擬合殘差修正的角度，提出對(duì)單調(diào)曲線(xiàn)進(jìn)行平移旋轉(zhuǎn)以校正一次累加擬合函數(shù)，從而使其靠近實(shí)測(cè)累加曲線(xiàn)，并采用校正后的函數(shù)作為新的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將此方法推廣至改變序列光滑度和初始值等部分的改進(jìn)GM（1，1）模型。 采用實(shí)例對(duì)模型算法進(jìn)行驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：①對(duì)模型進(jìn)行時(shí)間響應(yīng)函數(shù)修正后，其預(yù)測(cè)精度較改進(jìn)前提高；②采用后驗(yàn)差比值（C）以及小誤差概率（P）進(jìn)行預(yù)測(cè)模型選取存在不足；③修正模型依然繼承了GM（1，1）模型指數(shù)函數(shù)的凹曲線(xiàn)特性，因此適用于近似單調(diào)遞增凹序列，而對(duì)于近似線(xiàn)性、凸增長(zhǎng)、非單一趨勢(shì)及預(yù)測(cè)期突變數(shù)據(jù)序列，可能出現(xiàn)修正過(guò)量或修正較小的情況；④針對(duì)預(yù)測(cè)函數(shù)進(jìn)行變換修正的方法可以向其他以單一趨勢(shì)為前提的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行推廣。