采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識的柔性機(jī)械臂抑振控制策略

尚東陽,李小彭,尹猛,李凡杰,楊賀緒

(1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院,110819,沈陽;2.中國科學(xué)院深圳先進(jìn)技術(shù)研究院,518055,廣東深圳)

柔性機(jī)械臂是一個非線性的復(fù)雜系統(tǒng),它廣泛的應(yīng)用于航天探索[1]、工業(yè)裝配[2]等領(lǐng)域。相比較于傳統(tǒng)的剛性機(jī)械臂,柔性機(jī)械臂具有回轉(zhuǎn)半徑更大和輕質(zhì)的特點(diǎn)[3]。目前,關(guān)于柔性機(jī)械臂建模的方法主要分為假設(shè)模態(tài)法和有限元法兩大類。文獻(xiàn)[4-6]使用假設(shè)模態(tài)法建立了轉(zhuǎn)角與模態(tài)坐標(biāo)相耦合的柔性機(jī)械臂的動力學(xué)方程;文獻(xiàn)[7-8]使用有限元法建立包含柔性關(guān)節(jié)的柔性機(jī)械臂動力學(xué)方程。在柔性機(jī)械臂的動力學(xué)建模過程中,往往假設(shè)柔性機(jī)械臂在水平面運(yùn)動[9-10]。但是,在一些實(shí)際的柔性機(jī)械臂應(yīng)用過程中需要考慮重力因素。文獻(xiàn)[11]在雙柔性機(jī)械臂建模過程中將重力因素予以考慮。文獻(xiàn)[12]在含有柔性關(guān)節(jié)的機(jī)械臂伺服系統(tǒng)建模過程中將重力因素予以考慮。重力被引入動力學(xué)方程,因此在柔性機(jī)械臂動力學(xué)建模的過程中需要考慮重力因素。

關(guān)于柔性機(jī)械臂動力學(xué)系統(tǒng)的控制策略,主要包括主動控制和被動控制兩大類。主動控制策略主要包括PID控制[13-14]、滑?？刂芠15-17]等。柔性機(jī)械臂相比較于剛性機(jī)械臂需要考慮更多的非線性因素。這種柔性耦合的非線性因素為動力學(xué)系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)帶來了困難。文獻(xiàn)[10,18]在設(shè)計(jì)控制律過程中忽略了柔性耦合非線性因素的影響。若在柔性機(jī)械臂動力學(xué)建模過程中考慮重力因素,則又一次引入了非線性因素。由此,控制器設(shè)計(jì)的難度進(jìn)一步增大。文獻(xiàn)[19]通過增加具有非線性項(xiàng)的內(nèi)控回路補(bǔ)償重力因素對于剛性機(jī)械臂的影響。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)廣泛地應(yīng)用于系統(tǒng)不確定項(xiàng)的辨識。文獻(xiàn)[20]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對時變的機(jī)械臂動力學(xué)系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)進(jìn)行了辨識,由此提高了控制精度;文獻(xiàn)[21]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對套索傳動系統(tǒng)進(jìn)行辨識,調(diào)高了套索傳動的跟蹤精度。因此,可以使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對柔性機(jī)械臂動力學(xué)系統(tǒng)中的柔性耦合非線性項(xiàng)進(jìn)行辨識,然后以內(nèi)控回路的方式對輸入力矩進(jìn)行補(bǔ)償。

根據(jù)文獻(xiàn)[22-23],本文將柔性機(jī)械臂等效為柔性梁模型。使用假設(shè)模態(tài)法建立了柔性機(jī)械臂伺服系統(tǒng)的動力學(xué)方程。在動力學(xué)的建模過程中將重力因素加以考慮。本文使用徑向基(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對柔性機(jī)械臂動力學(xué)系統(tǒng)的不確定項(xiàng)進(jìn)行辨識,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識的控制策略減弱柔性機(jī)械臂的振動。

1 柔性機(jī)械臂動力學(xué)建模

柔性機(jī)械臂在靜態(tài)坐標(biāo)系XOY所在的豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動,它的質(zhì)量用m表示,長度用l表示。在驅(qū)動力矩Γdrive的作用下,柔性機(jī)械臂任意一點(diǎn)會出現(xiàn)微小的變形w(x,t)。為了便于準(zhǔn)確地描述柔性機(jī)械臂任意一點(diǎn)位置,構(gòu)建隨動坐標(biāo)系x0Oy0。隨動坐標(biāo)系和靜態(tài)坐標(biāo)系之間的角度θ表示表示柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)角。柔性機(jī)械臂在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)的過程中還會受到重力mg的影響。柔性機(jī)械臂豎直面轉(zhuǎn)動示意如圖1所示。

圖1 柔性機(jī)械臂豎直面轉(zhuǎn)動示意Fig.1 Schematic diagram of vertical rotation of flexible manipulator

根據(jù)文獻(xiàn)[10,24],在運(yùn)動過程中的t時刻,柔性機(jī)械臂x處的變形可以用模態(tài)坐標(biāo)和模態(tài)函數(shù)來描述

(1)

式中:φi(x)表示模態(tài)函數(shù);δi(t)表示模態(tài)坐標(biāo)。

根據(jù)式(1)可知,柔性機(jī)械臂的變形量是機(jī)械臂長度和時間的二維函數(shù)。其中,模態(tài)函數(shù)的取值與柔性機(jī)械臂的邊界條件密切相關(guān)。忽略柔性機(jī)械臂末端質(zhì)量影響,當(dāng)柔性機(jī)械臂以一端固定、一端自由方式連接時,其邊界條件為

(2)

式中:E表示彈性模量;I表示截面慣性矩。

根據(jù)柔性梁的振動理論,由文獻(xiàn)[10]可推導(dǎo)出模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式

(3)

式中βi表示模態(tài)函數(shù)特征根,表達(dá)式為

cos(βil)ch(βil)=-1

(4)

模態(tài)函數(shù)特征根與柔性機(jī)械臂的固有頻率之間存在關(guān)系

(5)

式中:ωi表示柔性機(jī)械臂的第i階固有頻率;ρ表示柔性機(jī)械臂的體密度;A表示柔性機(jī)械臂的橫截面積。

柔性機(jī)械臂上任意一點(diǎn)的向量可表示為

(6)

由此,得到柔性機(jī)械臂的動能

(7)

柔性機(jī)械臂的勢能可以近似地表示為

(8)

根據(jù)拉格朗日動力學(xué)方程,可得到

(9)

根據(jù)式(9)可得考慮重力影響的柔性機(jī)械臂動力學(xué)方程

(10)

為簡化柔性機(jī)械臂的動力學(xué)方程,本文定義式(11)成立。

(11)

式中:Jl表示柔性機(jī)械臂的轉(zhuǎn)動慣量;Fai表示柔性機(jī)械臂的柔性耦合系數(shù)。

將式(11)代入式(10),可將豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動的柔性機(jī)械臂的動力學(xué)方程改寫為

(12)

2 非線性項(xiàng)對于變形的影響

柔性機(jī)械臂的動力學(xué)方程中含有兩種類型的非線性項(xiàng):一種是轉(zhuǎn)角和模態(tài)坐標(biāo)耦合的弱非線性項(xiàng);另一種由于重力因素而引起的強(qiáng)非線性項(xiàng)。文獻(xiàn)[10]為了獲得柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)角與力矩之間的傳遞函數(shù),不考慮轉(zhuǎn)角和模態(tài)坐標(biāo)耦合的非線性項(xiàng),忽略了弱非線性項(xiàng)的影響。此時,柔性機(jī)械臂動力學(xué)的動力學(xué)方程為

(13)

弱非線性項(xiàng)會對柔性機(jī)械臂的動力學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生一定的影響。為了探究弱非線性項(xiàng)對于柔性機(jī)械臂動力學(xué)系統(tǒng)的影響,本文使用文獻(xiàn)[25]提出的單桿演繹算法作為柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)角的運(yùn)動規(guī)律。

本文使用角度獨(dú)立方法[24]對柔性機(jī)械臂動力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真分析。以此說明弱非線性項(xiàng)對于柔性機(jī)械臂動力學(xué)系統(tǒng)的影響規(guī)律。

在考慮重力的情況下,桿長、彈性模量、最大轉(zhuǎn)速等會對于柔性機(jī)械臂的末端變形量產(chǎn)生影響。在低速情況下,最大轉(zhuǎn)速設(shè)定為3 rad/s;在高速情況下,最大轉(zhuǎn)速設(shè)定為6 rad/s。在只考慮一階模態(tài)的情況下,可以得到柔性機(jī)械臂末端變形量的分布情況和非線性項(xiàng)對于變形的誤差,如圖2所示。

為了清晰地描述桿長對于柔性機(jī)械臂變形的影響,本文使用末端變形量與機(jī)械臂長的比值表征變形能力。根據(jù)圖2可以得出如下結(jié)論。

(1)柔性機(jī)械臂末端的單位長度變形量隨著桿長的增加而增大、隨著彈性模量的增大而逐漸減小。在高速和低速運(yùn)動狀態(tài)下都可以得到相同的結(jié)論。

(a)低速情況下單位長度變形量分布

(b)低速情況下單位長度變形量分布的局部放大

(c)低速情況下變形誤差分布

(d)高速情況下單位長度變形量分布

(e)低速情況下變形誤差分布圖2 柔性機(jī)械臂末端變形量及誤差分布Fig.2 Deformation and error distribution of the flexible manipulator

(2)柔性機(jī)械臂末端的單位長度變形量在高速運(yùn)動狀態(tài)下更為顯著。其主要原因在于高速運(yùn)動所需的外加力矩更大,使得柔性機(jī)器臂變形更加明顯。

(3)無論是考慮還是忽略非線性項(xiàng),都能得到相同的結(jié)論——柔性機(jī)器臂末端的單位長度變形量隨著桿長的增加和彈性模量的減小而增大。

(4)在低速運(yùn)動狀態(tài)下可以忽略弱非線性項(xiàng)引起的誤差,而在柔性機(jī)械臂長度較長且處于高速運(yùn)動狀態(tài)下不能忽略。

綜上可知,當(dāng)柔性機(jī)械臂的長度較長且處于高速運(yùn)動工況下,由弱非線性項(xiàng)引起的誤差不能忽略。

3 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制策略

本文在柔性機(jī)械臂的內(nèi)控制回路中引入非線性補(bǔ)償?shù)窒亓Φ挠绊?使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對柔性機(jī)械臂動力學(xué)系統(tǒng)的不確定部分進(jìn)行辨識。

3.1 動力學(xué)模型的不確定性

根據(jù)式(11)可得到柔性機(jī)械臂動力學(xué)方程的一般形式

(14)

式中d可以認(rèn)為是柔性引發(fā)的干擾。

前饋控制策略比反饋控制策略更及時、有效[26]。前饋PD控制策略的控制律為

(15)

針對柔性機(jī)械臂的名義動力學(xué)模型,控制律為

(16)

根據(jù)式(16),可以得到

(17)

由式(17)可得到考慮動力學(xué)模型不確定性情況下的閉環(huán)方程

(18)

式中f表示不確定項(xiàng)。

3.2 具有RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識的控制律設(shè)計(jì)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法為

(19)

根據(jù)式(19),柔性機(jī)械臂動力學(xué)模型的誤差狀態(tài)空間方程可以寫成

(20)

應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識不確定項(xiàng)后,柔性機(jī)械臂的控制律為

(21)

本文做如下假設(shè):

(2)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出逼近連續(xù)函數(shù)不確定項(xiàng),存在一個極小的正數(shù)ε0滿足

(22)

(23)

現(xiàn)實(shí)情況下無法獲得最優(yōu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重系數(shù)。因此,只能用最優(yōu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重系數(shù)的估計(jì)值進(jìn)行代替。此時,柔性機(jī)械臂的控制律為

(24)

使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識不確定項(xiàng)后,柔性機(jī)械臂的控制回路示意如圖3所示。

圖3 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的柔性機(jī)械臂控制框圖Fig.3 Control block diagram of the flexible manipulator based on the RBF neural network

3.3 穩(wěn)定性證明

使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識不確定項(xiàng)部分后得到如式(24)所示的控制律。將式(24)代入式(14)中,得到

(25)

根據(jù)式(25)可得到誤差狀態(tài)空間方程

(26)

定義Lyapunov函數(shù)

(27)

式中:γ>0;P是一個正定矩陣且滿足Lyapunov方程

PA+ATP=-Q

(28)

其中Q是一個正定矩陣。

將式(27)寫成

(29)

根據(jù)式(29),有式(30)成立。

(30)

式中M表達(dá)式為

(31)

式(31)可以寫成

(32)

權(quán)重系數(shù)的自適應(yīng)律為

(33)

將式(33)代入式(32)后,可以得到Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(34)

4 柔性機(jī)械臂控制實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)原理

圖4 柔性機(jī)械臂控制實(shí)驗(yàn)平臺 Fig.4 Control experimental platform of the flexible manipulator

本文搭建了驗(yàn)證柔性機(jī)械臂控制策略的實(shí)驗(yàn)平臺,如圖4所示。該實(shí)驗(yàn)平臺由伺服電機(jī)、傳動套索、柔性機(jī)械臂組成。柔性機(jī)械臂在豎直面轉(zhuǎn)動,套索將電機(jī)產(chǎn)生的力矩傳送到柔性機(jī)械臂,驅(qū)動其轉(zhuǎn)動?？梢酝ㄟ^套索上的拉力傳感器,準(zhǔn)確地計(jì)算出柔性機(jī)械臂的輸入力矩?？刂破脚_使用cRIO-9053作為下位機(jī),將采集到的反饋信號輸入控制程序。同時,將控制程序的輸出信號傳入Ni-9246模塊,控制電機(jī)的輸出力矩。反饋信號通過磁編碼器采集。其中,磁編碼器安裝在柔性機(jī)械臂后端,用以采集柔性機(jī)械臂的轉(zhuǎn)角信號。

4.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

分別采用長度為0.8、1.1、1.5 m的柔性梁模擬不同長度的柔性機(jī)械臂。3種不同長度柔性梁的物理參數(shù)如表1所示。

以正弦信號作為柔性機(jī)械臂轉(zhuǎn)角的輸入信號。分別使用兩種不同的控制策略開展柔性梁的轉(zhuǎn)角控制實(shí)驗(yàn)。其中,一種控制策略是PD控制策略,另一種控制策略是使用具有RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識的控制策略。由此可得不同長度柔性梁的轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)角誤差、末端振動敏感方向的加速度,如圖5所示。對不同長度柔性梁的轉(zhuǎn)角誤差和末端加速度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

根據(jù)表2可知:使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制策略在柔性機(jī)械臂長度較長時能夠使轉(zhuǎn)角誤差絕對值的平均值下降49.6%、轉(zhuǎn)角誤差的方差下降76%,柔性負(fù)載末端加速度絕對值的平均值下降27.3%、加速度的方差下降5.8%。由此說明,使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制策略能有效地提高柔性機(jī)械臂的轉(zhuǎn)動精度,并且利于抑制機(jī)械臂的振動。

表1 不同長度柔性梁的物理參數(shù)

(a)l=0.8 m

(b)l=1.1 m

(c)l=1.5 m圖5 l=0.8,1.1,1.5 m時的轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)角誤差和柔性負(fù)載末端振動敏感方向的加速度Fig.5 Rotation angle, rotation angle error, acceleration in vibration-sensitive direction at the end of the flexible load when l=0.8,1.1 and 1.5 m

表2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

由圖5可知,使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制策略擁有更小的轉(zhuǎn)角誤差,并且在機(jī)械臂長度較長時具有明顯的優(yōu)勢。在機(jī)械臂長度較長時,使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制策略能夠有效減少機(jī)械臂末端的加速度波動。使用傳統(tǒng)的PD控制策略無法應(yīng)對弱非線性項(xiàng)的影響,由此導(dǎo)致在柔性機(jī)械臂長度增加時無法獲得準(zhǔn)確的跟蹤效果。這間接說明了弱非線性項(xiàng)對于柔性機(jī)械臂的影響在機(jī)械臂長度較長的情況下無法忽略。

5 總 結(jié)

本文建立了考慮重力因素的柔性機(jī)械臂動力學(xué)模型,并應(yīng)用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略減小機(jī)械臂輸出轉(zhuǎn)角的波動,進(jìn)而抑制振動。本文結(jié)論如下。

(1)重力因素會嚴(yán)重影響柔性機(jī)械臂輸入力矩。若柔性機(jī)械臂在豎直面內(nèi)運(yùn)動,則需要將重力因素加以考慮。

(2)柔性機(jī)械臂動力學(xué)方程中含有柔性耦合的弱非線性項(xiàng)。在機(jī)械臂長度較長且高速的情況下,應(yīng)考慮非線性項(xiàng)的影響。

(3)對于柔性機(jī)械臂,在轉(zhuǎn)速相同的情況下,RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制策略與傳統(tǒng)比例微分控制策略相比,使機(jī)械臂末端振動敏感方向的加速度方差降低了27.3%。由此說明本文方法對于振動敏感方向的加速度波動的抑制具有更好的效果,進(jìn)而說明本文方法能夠更好地抑制柔性機(jī)械臂的振動。