基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解＊

郭煜

（陜西郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

1 引言

代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解的研究背景具體如下：代數(shù)方程組的相關(guān)問題及其求解一直是一個重要而又基礎(chǔ)的問題[1]。這是由于在多個領(lǐng)域包括動力學(xué)、信息安全學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、工程技術(shù)學(xué)等領(lǐng)域，很多實際問題的解決最終都需要轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程組的求解問題，其中較為常用的是非線性多變元代數(shù)方程組[2]。對實系數(shù)高次代數(shù)方程組的根進行求解，對綜合設(shè)計以及分析控制系統(tǒng)有重大意義；在很多實際應(yīng)用與數(shù)學(xué)理論中，求解代數(shù)方程組則是一個基礎(chǔ)的步驟[3]。對于代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解的研究，近年來，很多學(xué)者都將具備高度全局性、并行性、魯棒性、適應(yīng)性的算法引入了代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法的研究中[4]。國內(nèi)外已有相關(guān)學(xué)者提出了代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法。Praks P 等人提出基于蟻群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法，主要通過蟻群算法實現(xiàn)代數(shù)方程組的參數(shù)迭代求解[5]。王曉雷等人提出基于支持向量機的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法，主要通過支持向量機算法及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)代數(shù)方程組的參數(shù)迭代求解[6]。

由于在利用以上方法進行代數(shù)方程組的參數(shù)迭代求解時，在迭代次數(shù)為20次-90次的范圍內(nèi)存在求解速度較慢的問題，因此將人工魚群算法引入代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解中，提出基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法。

2 設(shè)計基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法

2.1 構(gòu)建代數(shù)方程組模型

將代數(shù)方程組中包含的方程組個數(shù)設(shè)為n個，也就是求解中涉及的未知量個數(shù)為n個，構(gòu)建代數(shù)方程組模型[5-6]如式(1)：

式(1)中fn(X)=An代表多元代數(shù)方程；X代表代數(shù)方程組內(nèi)的未知向量集合，其表達式具體如式(2)所示；An代表代數(shù)方程內(nèi)的常數(shù)項[7]。

式(2)中xn代表未知向量集合中第n個未知向量。

令下式成立：

式(3)中i代表正整數(shù)；F(X)代表代數(shù)方程。

則代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解問題即可轉(zhuǎn)化為求X使代數(shù)方程具備最小值的一種優(yōu)化類型問題[8]。

2.2 行為描述

利用人工魚群算法對代數(shù)方程組求解中的行為進行描述，包括隨機行為、覓食行為、聚群行為、追尾行為。首先對人工魚群算法內(nèi)具體人工魚狀態(tài)進行定義：利用X=[x1，x2，…，xn]表示人工魚狀態(tài)。用F(X)代表食物濃度函數(shù)，將Xi人工魚與Xj人工魚的距離定義為：

式(4)中di，j代表Xi人工魚與Xj人工魚的距離；xik代表第k群人工魚。通過人工魚群算法優(yōu)化求X使代數(shù)方程具備最小值的問題。

對隨機行為進行的描述具體如下：

將當前人工魚的狀態(tài)設(shè)為Xi，當該人工魚為當前魚群內(nèi)的最優(yōu)狀態(tài)，那么采取個體最優(yōu)保留策略后下一狀態(tài)是：

否則下一狀態(tài)是：

式(6)中Step代表最大人工魚移動步長；(-Step，Step)代表實數(shù)區(qū)間；Random(-Step，Step)代表該區(qū)間中隨機數(shù)構(gòu)成的隨機n維向量。

對覓食行為進行的描述具體如下：

將當前人工魚的狀態(tài)設(shè)為Xi，在它的可視域范圍中對某一狀態(tài)進行隨機選擇，將該狀態(tài)表示為Xj，也就是二者的距離小于人工魚的實際可視距離。當：

則表示選擇的隨機狀態(tài)優(yōu)于當前人工魚的狀態(tài)。接著使用選擇的隨機狀態(tài)將當前人工魚的狀態(tài)替換掉，也就是：

當：

則在當前人工魚的可視域范圍中重新對某一狀態(tài)進行隨機選擇，繼續(xù)進行判斷。

當試探Try_number以后還是無法滿足式(7)的Xj狀態(tài)，那么對隨機行為進行執(zhí)行。

對聚群行為進行的描述具體如下：

將當前人工魚的狀態(tài)設(shè)為Xi，在它的可視域范圍中對其中的伙伴個數(shù)nf與全部伙伴的中心位置Xc進行尋找。當：

則表示中心位置Xc比當前人工魚的狀態(tài)優(yōu)越。此時中心位置Xc與當前人工魚的狀態(tài)距離滿足下式：

式(11)中di，c代表中心位置Xc與當前人工魚的狀態(tài)距離；Visual代表人工魚的實際可視距離。

則下式成立：

否則對覓食行為進行執(zhí)行。

對追尾行為進行的描述具體如下：

將當前人工魚的狀態(tài)設(shè)為Xi，在它的可視域范圍中對最優(yōu)群體狀態(tài)Xmin及其其周邊伙伴數(shù)量mf進行尋找。當：

則表示最優(yōu)群體狀態(tài)Xmin比當前人工魚的狀態(tài)優(yōu)越。此時，如果最優(yōu)群體狀態(tài)Xmin與當前人工魚狀態(tài)的距離滿足下式：

式(14)中di，min代表最優(yōu)群體狀態(tài)Xmin與當前人工魚狀態(tài)的距離。

則下式成立：

否則對覓食行為進行執(zhí)行。

2.3 分段優(yōu)化及終止條件

將執(zhí)行人工魚群算法的過程分成前期與后期，在前期采取較大的可視距離與移動步長，以獲取較優(yōu)的結(jié)果；而在后期則選擇較小的可視距離與移動步長，以獲取較高精度的結(jié)果，實施分段優(yōu)化。在前期取的可視距離是Visualf，移動步長是Stepf。將η作為后期與前期的分界線，當分界線大于公告板時，進入后期的階段，取的可視距離是Visuals，移動步長是Steps。

終止條件設(shè)為精度的求解值，當公告板記錄符合精度求解要求則終止算法。

2.4 實現(xiàn)參數(shù)迭代求解

通過六個步驟實現(xiàn)代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解，具體執(zhí)行步驟如下：

(1)對人工魚群算法的參數(shù)進行輸入：可視距離、移動步長、群體規(guī)模、擁擠度因子、試探次數(shù)、初始人工魚群體數(shù)。

(2)尋找當前群體內(nèi)的最優(yōu)狀態(tài)并將其記入公告板。

(3)對公告板記錄中食物濃度狀態(tài)進行判斷，判斷其是否滿足下式：

式(16)中F(XO)代表公告板記錄中食物濃度；η代表群體規(guī)模。當滿足則進入后期階段；當不滿足則繼續(xù)此階段中的優(yōu)化。

(4)對是否符合終止條件進行判斷。當滿足，則對公告板記錄XO進行輸出并對算法進行終止；當不滿足，則進入第五個步驟。

(5)分別對每條人工魚實施追尾行為與模擬聚群行為，將最優(yōu)行為當作最終執(zhí)行行為。而隨機行為與覓食行為則屬于缺省行為。

(6)找到最優(yōu)群體狀態(tài)并將比較其與公告板記錄。當其優(yōu)于后者，則對其進行替換，并轉(zhuǎn)向第三個步驟。

3 代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解實驗

3.1 實驗設(shè)計

為證明設(shè)計的基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法的性能，對其進行代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解實驗驗證。在實驗中，通過Matlab6．0對基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法進行編程實現(xiàn)，使用的編程程序具體如圖1所示。

圖1 使用的編程程序

實驗中使用的兩個例子具體如下：

第一個例子：

此處參數(shù)取值具體如下式：

式(18)中δ 代表擁擠度因子；Try_number 代表試探次數(shù)；N代表初始人工魚群體數(shù)。

設(shè)定的最大迭代次數(shù)是一百次。

第二個例子：

其終止條件具體如下式：

此處參數(shù)取值具體如下式：

利用基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法對實驗中的例子進行參數(shù)迭代求解。獲取迭代次數(shù)為20次-90 次范圍內(nèi)的求解速度作為實驗數(shù)據(jù)。為避免本次實驗結(jié)果較為單一、缺乏對比性，將原有的三種參數(shù)迭代求解方法作為實驗中的對比方法，分別為基于蟻群算法、基于支持向量機、基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法。同樣利用這三種方法進行實驗例子的參數(shù)迭代求解。獲取迭代次數(shù)為20 次-90 次范圍內(nèi)的求解速度數(shù)據(jù)作為對比實驗數(shù)據(jù)。

3.2 實驗結(jié)果分析

在求解方程組的取值在迭代次數(shù)為20 次-90 次的范圍內(nèi)，基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法與基于蟻群算法、基于支持向量機、基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法第一個例子的求解速度對比實驗數(shù)據(jù)具體如表1所示。

表1 第一個例子的求解速度對比實驗數(shù)據(jù)

根據(jù)表1中第一個例子的求解速度對比實驗數(shù)據(jù)可知，基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法的求解速度高于基于蟻群算法、基于支持向量機、基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法。

在迭代次數(shù)為20次-90次的范圍內(nèi)，基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法與基于蟻群算法、基于支持向量機、基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法第二個例子的求解速度對比實驗數(shù)據(jù)具體如表2所示。

表2 第二個例子的求解速度對比實驗數(shù)據(jù)

根據(jù)表2中第二個例子的求解速度對比實驗數(shù)據(jù)可知，基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法的求解速度高于基于蟻群算法、基于支持向量機、基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法。

4 結(jié)束語

基于人工魚群算法的代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法實現(xiàn)了求解速度的提升，對于代數(shù)方程組參數(shù)迭代求解方法局限性的突破有很大啟示意義。