二維狄拉克費(fèi)米子及其拓?fù)鋺B(tài)

邢燕霞，梁鈺林

（北京理工大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100081）

0 引言

拓?fù)湎嘧兪浅嚼实老嘧兊囊环N新的物態(tài)。朗道相變是對(duì)稱破缺引起的相變，核心在于對(duì)稱破缺［1-2］。在朗道相變的理論框架下，只要對(duì)稱性相同，物質(zhì)狀態(tài)便相同。但是事實(shí)并非總是如此！在很多情況下，即便對(duì)稱性相同，物質(zhì)仍然可以有不同的相，這種相變被稱作拓?fù)湎嘧儯?］。拓?fù)湎嘧兊谋举|(zhì)是相互作用構(gòu)架的改變，包括能級(jí)構(gòu)架，量子糾纏的形態(tài)，等等。拓?fù)湎嘧兎浅Ｆ毡?，不管體系有多體相互作用體系，比如分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)［4］、奇數(shù)自旋態(tài)［5］，還是沒(méi)有多體相互作用體系，比如整數(shù)量子霍爾效應(yīng)［6］、拓?fù)浣^緣體［7-11］，都可能發(fā)生拓?fù)湎嘧?。不管發(fā)生在哪種體系，所有的拓?fù)鋺B(tài)都展現(xiàn)了拓?fù)淙⒃恚?2］，一句話概括，邊界決定體系拓?fù)鋺B(tài)。邊界可以形象地理解為地表地形地貌，這也是英文topology的本意。

拓?fù)湎嘧儺a(chǎn)生的拓?fù)浞瞧接箲B(tài)分為兩大類，一類是對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)浞瞧接箲B(tài)，拓?fù)浣^緣體的邊緣態(tài)屬于此類；另一類拓?fù)鋺B(tài)則不必考慮對(duì)稱保護(hù)，典型例子是整數(shù)量子霍爾態(tài)，又被稱作陳拓?fù)浣^緣體。這種拓?fù)鋺B(tài)在任何情況下都具有魯棒性，不像第一類拓?fù)鋺B(tài)，必須在對(duì)稱性保護(hù)下才具有魯棒性。拓?fù)湎嘧冇袃蓪雍x：第一層，連續(xù)形變下的不變性；第二層，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改變引起的性質(zhì)躍變。要想表征這種拓?fù)湮镄裕仨氄乙粋€(gè)物理量，能夠全面體現(xiàn)以上兩層含義，這個(gè)量我們稱之為拓?fù)洳蛔兞浚?3-14］。拓?fù)洳蛔兞烤哂腥缦滦再|(zhì)：第一，能區(qū)分拓?fù)淦接购头瞧接?，這是0和1的差別；第二，在連續(xù)形變作用下，值不變，0永遠(yuǎn)是0，1永遠(yuǎn)是1。無(wú)需對(duì)稱性保護(hù)的陳絕緣體，其拓?fù)洳蛔兞渴顷悢?shù)［15］，陳數(shù)源于量子力學(xué)的幾何相（貝利相）［16］。需要對(duì)稱性保護(hù)的拓?fù)浣^緣體，通常使用Z2拓?fù)洳蛔兞浚?7］，用纏繞數(shù)的奇偶性表征拓?fù)湫裕?8-19］。本文不涉及Z2拓?fù)洳蛔兞?，只關(guān)注由貝利相定義的拓?fù)潢悢?shù)。對(duì)于某些特殊的拓?fù)浣^緣體，比如時(shí)間反演對(duì)稱保護(hù)的拓?fù)浣^緣體，如果互為時(shí)間反演對(duì)稱的兩部分可以互相解耦，那么每一部分都相當(dāng)于一個(gè)獨(dú)立的陳絕緣體，這樣的拓?fù)浣^緣體也可以用拓?fù)潢悢?shù)來(lái)表征其拓?fù)湫?。事?shí)上，對(duì)稱性保護(hù)下的兩個(gè)手性相反的拓?fù)鋺B(tài)總是成對(duì)出現(xiàn)，且在倒空間彼此相距較遠(yuǎn)，一般都處于相互解耦狀態(tài)，可分別用拓?fù)潢悢?shù)單獨(dú)表征這兩個(gè)手性相反的拓?fù)鋺B(tài)。比如，石墨烯中互為時(shí)間反演對(duì)稱的K能谷和K’能谷、外爾半金屬中空間反演對(duì)稱的一對(duì)外爾點(diǎn)，都可以作為獨(dú)立的拓?fù)鋺B(tài)，用貝利相定義的拓?fù)潢悢?shù)表征其拓?fù)湫浴?/p>

貝利相就是貝利曲率的通量。一般來(lái)講，判斷體系的拓?fù)湫?，最直接的方法就是?jì)算拓?fù)洳蛔兞?，根?jù)拓?fù)洳蛔兞繉?duì)體系拓?fù)湫赃M(jìn)行分類。但是對(duì)于二能級(jí)系統(tǒng)，無(wú)需計(jì)算貝利曲率和貝利相，直接根據(jù)系統(tǒng)哈密頓量結(jié)構(gòu)便可判斷體系拓?fù)湫?。二能?jí)系統(tǒng)之所以這么神奇，是因?yàn)樗械亩芗?jí)系統(tǒng)都可以表示為二維狄拉克方程。通過(guò)參數(shù)映射，二維狄拉克方程可以連續(xù)形變成為理想的各向同性的二能級(jí)模型。各向同性的二能級(jí)模型可看做倒空間的單極點(diǎn)，貝利曲率等效于實(shí)空間的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，根據(jù)高斯定理，不管封閉曲面如何形變，其通量都不會(huì)變，所有可能的通量分為兩類：第一類，封閉曲面包含奇點(diǎn)，角通量等于4π立體角，拓?fù)浞瞧接?，拓?fù)潢悢?shù)=1；第二類，封閉曲面不包含奇點(diǎn)，角通量為零，拓?fù)淦接梗負(fù)潢悢?shù)=0。所有的二能級(jí)模型，根據(jù)映射后參數(shù)空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可直接判斷體系的拓?fù)湫?。二能?jí)模型雖然簡(jiǎn)單，但是它所包含的深刻物理，幾乎可以用于所有凝聚態(tài)新材料的理論分析。

本文內(nèi)容安排如下：第1節(jié)，系統(tǒng)闡述拓?fù)潢悢?shù)的背景和物理含義，并說(shuō)明在凝聚態(tài)能帶理論框架下，如何運(yùn)用拓?fù)潢悢?shù)分析系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)；進(jìn)一步分析貝利曲率的單極點(diǎn)，在不計(jì)算貝利曲率貝利相的前提下，直接根據(jù)參數(shù)結(jié)構(gòu)，定性判斷二能級(jí)體系的拓?fù)湫?；最后，聚焦二維狄拉克方程所描述的二能級(jí)系統(tǒng)，通過(guò)參數(shù)映射，再結(jié)合單極點(diǎn)模型，直接利用狄拉克方程的質(zhì)量項(xiàng)，判斷體系的拓?fù)湫?。?、3、4節(jié)，分別以石墨烯、拓?fù)浣^緣體、外爾半金屬為例，展示并驗(yàn)證此方法。

1 貝利相和拓?fù)湫?/h2>

1.1 布洛赫波函數(shù)

考慮V(r)=0的極簡(jiǎn)模型。如果不考慮元胞內(nèi)的勢(shì)場(chǎng)分布，參數(shù)k空間的晶體哈密頓量將不顯含動(dòng)量算符p，算符型哈密頓量H(k)退化為參數(shù)型哈密頓量h(k)。這種情況下，只考慮元胞內(nèi)部結(jié)構(gòu)（比如復(fù)式晶格的子晶格，或者晶格內(nèi)原子軌道之間的耦合，等等），相應(yīng)的布洛赫能帶將會(huì)非常簡(jiǎn)單。

1.2 貝利相

如果哈密頓量顯含某參數(shù)R，理論上可以假設(shè)參數(shù)隨時(shí)間緩慢變化，則體系滿足含時(shí)薛定諤方程

絕熱近似下，可引入正交歸一的，滿足瞬時(shí)定態(tài)薛定諤方程的基組

稱為貝利連接，可類比磁矢勢(shì)。至此，參數(shù)R(t)隨時(shí)間變化的時(shí)間變量作為輔助變量，現(xiàn)已完全消失。以下只需關(guān)注參數(shù)空間R即可。

幾何相具有拓?fù)渥儞Q不變性，正是我們千方百計(jì)要尋找的拓?fù)洳蛔兞?。所謂的拓?fù)渥儞Q不變可作如下簡(jiǎn)要分析：An(R)依賴于波函數(shù)的規(guī)范。如果波函數(shù)取不同的規(guī)范，，則貝利連接必定改變，改變量 δAn(R)=??Rζ(R)。一般來(lái)講，貝利相也會(huì)跟著改變，有 δγn(R)=δAn?dR。但是，幾何相是實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)量，理應(yīng)是規(guī)范不變的。為了抵消規(guī)范變換對(duì)貝利連接的影響，特選擇封閉演化路徑“C”。封閉路徑下，R(0)=R(T)。波函數(shù)在規(guī)范變化前后都必須滿足單值、連續(xù)性，即，必然導(dǎo)致，即 δγn=ζ(R(0))?ζ(R(T))=Δγn(R)=2πm，m=0，1，…。換句話說(shuō)，無(wú)論規(guī)范怎么變換，幾何相的取值都不會(huì)變，永遠(yuǎn)是2π的整數(shù)倍，其中m=0代表拓?fù)淦接?，m=1，…，代表拓?fù)浞瞧接梗酥^變換不變。

以上分析意味著連續(xù)的規(guī)范變換不改變貝利相γn。但如果規(guī)范不連續(xù)，則會(huì)產(chǎn)生2πm的相位變化。換句話說(shuō)，貝利相不依賴于規(guī)范，但其取值依賴于規(guī)范的類別。具體地，如果能找到一個(gè)規(guī)范，這個(gè)規(guī)范在整個(gè)參數(shù)空間都有良定義，那么這個(gè)體系就是拓?fù)淦接沟模瑹o(wú)論對(duì)這個(gè)規(guī)范做什么樣的連續(xù)變換，體系都能維持拓?fù)浞瞧接範(fàn)顟B(tài)，δγ=0。對(duì)于某些特殊體系，無(wú)論取什么樣的規(guī)范，都不可能做到波函數(shù)un(R)單值、連續(xù)，這樣的體系是拓?fù)浞瞧接沟摹＿@種情況下，需要對(duì)波函數(shù)的奇異點(diǎn)的鄰域和鄰域以外的參數(shù)空間取不同的規(guī)范，才能保證波函數(shù)單值、連續(xù)，這種不連續(xù)的規(guī)范使得δγ=2πm，對(duì)這種不連續(xù)規(guī)范做連續(xù)變換，貝利相不變。因此，貝利相可作為拓?fù)洳蛔兞?，表征體系在特定分類（拓?fù)淦接够蚍瞧接梗┫碌囊?guī)范不變性。

1.3 貝利曲率

貝利連接An(R)依賴于規(guī)范，不是物理可觀測(cè)量。參考磁場(chǎng)和磁矢勢(shì)的定義，可以引入對(duì)標(biāo)磁場(chǎng)的貝利曲率Ω(R)。利用斯托克斯公式，封閉路徑的環(huán)量積分可化作有限面積的通量積分：

上式表明，貝利曲率Ω(R)在參數(shù)空間的每一點(diǎn)都不依賴于規(guī)范，等效于磁場(chǎng)，是可觀測(cè)的局域變量。貝利相和貝利曲率都是規(guī)范不變的可觀測(cè)量，但是貝利相只有在封閉路徑下才有意義，貝利曲率則無(wú)此限制，故貝利曲率比貝利相更基礎(chǔ)，也更重要。

1.4 單極點(diǎn)

由于體系哈密頓量空間各向同性，因此任何一個(gè)矢量方向R0都可以被指定作為自旋z方向。這意味著，方程（19）所表示的z分量就是事實(shí)上的R方向的分量由于貝利曲率守恒，對(duì)于二能級(jí)系統(tǒng)，只需一個(gè)能帶的貝利曲率，選低能帶，貝利曲率可寫作

此貝利曲率是一個(gè)類似點(diǎn)電荷電場(chǎng)的輳力場(chǎng)，在場(chǎng)的源點(diǎn)R=0處，場(chǎng)函數(shù)發(fā)散，這樣的貝利曲率是類似于電單極的單極點(diǎn)。根據(jù)貝利曲率寫出貝利相

綜上所述，通過(guò)定義在參數(shù)空間的規(guī)范無(wú)關(guān)的局域貝利曲率可以定義體系的貝利相，封閉曲面積分得到的貝利相直接反應(yīng)體系的拓?fù)湫?。根?jù)電場(chǎng)的高斯定律，封閉曲面可以不是球形，只要曲面封閉，形狀可以任意。如果三維參數(shù)空間的封閉曲面內(nèi)包含貝利曲率極點(diǎn)，則體系拓?fù)浞瞧接梗绻话惱实臉O點(diǎn)，則拓?fù)淦接埂＿@種對(duì)無(wú)規(guī)封閉曲面的通量積分，反應(yīng)的正是立體方位角，也就是三維參數(shù)空間的自旋指向。只要自旋指向四面八方，則體系一定拓?fù)浞瞧接?。在σz表象下，自旋指向四面八方意味著，自旋z可正可負(fù)。根據(jù)哈密頓量中自旋耦合形式σ?R，自旋z分量的正負(fù)取決于Rz，故Rz是體系拓?fù)湫再|(zhì)的決定性因素。

需要說(shuō)明的是，以上構(gòu)建的各向同性的磁場(chǎng)和自旋耦合的哈密頓量是一個(gè)假想的、并不真的存在的理想玩具模型，構(gòu)建此玩具模型旨在引入?yún)?shù)球和單極點(diǎn)，以便通過(guò)幾何視角（球內(nèi)還是球外）直觀地表示拓?fù)湫?。盡管玩具模型所反映的參數(shù)球并不真的存在，我們依然可以通過(guò)參數(shù)映射，構(gòu)建連續(xù)形變后的三維參數(shù)空間的封閉曲面。本文只關(guān)注二能級(jí)系統(tǒng)，所有二能級(jí)系統(tǒng)的參數(shù)空間都可以點(diǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)地映射到參數(shù)球R，這種映射不改變系統(tǒng)的拓?fù)湫?。因此，只要找出映射關(guān)系，以上關(guān)于體系拓?fù)湫缘姆治隹梢灾苯佑糜谒卸芗?jí)系統(tǒng)。

1.5 狄拉克方程

其中，矢量α和標(biāo)量β均為歸一化的狄拉克矩陣，α和β遵守Clifford代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，滿足反對(duì)易關(guān)系，據(jù)此定義高維參數(shù)空間，其參數(shù)分別代表動(dòng)量項(xiàng)和質(zhì)量項(xiàng)。為方便起見(jiàn)，用矢量α的維度定義狄拉克方程的維度。一維、二維體系，狄拉克矩陣可直接用泡利矩陣σ代替：αx=σx，αy=σy，β=σz。三維狄拉克矩陣為泡利矩陣的直積：

其中，i=x，y，z。

本文關(guān)注二維、三維體系的二能級(jí)模型，矢量α和標(biāo)量β均為泡利矩陣，所有模型均可歸為二維狄拉克方程。低能模型，用費(fèi)米速度vF代替光速c，考慮到p=?k，質(zhì)量項(xiàng)中的常數(shù)全部歸入m，二維狄拉克費(fèi)米子哈密頓量H=h(k)?σ 寫作

這是我們熟知的AB子格勢(shì)作用下的單層石墨烯的哈密頓量。如果把質(zhì)量項(xiàng)稍作變形，m→mk=m0?k2，便得到二維拓?fù)浣^緣體哈密頓量的一般形式，寫作

以上所有狄拉克方程形式的哈密頓量均屬于方程（18）所表示的二能級(jí)系統(tǒng)的一般形式。雖然哈密頓量（24）和（25）的參數(shù)空間是二維倒空間[kx，ky]，無(wú)法形成1.4小節(jié)中的封閉曲面。然而，通過(guò)函數(shù)映射：k→R(k)，可以把二維倒空間k映射到三維參數(shù)空間R。略掉無(wú)關(guān)緊要的常數(shù)，方程（24）和（25）均可通過(guò)參數(shù)映射定義新的三維參數(shù)空間 R=[kx，ky，m]，其中對(duì)體系的拓?fù)湫云痍P(guān)鍵作用的是質(zhì)量項(xiàng)［參看1.4小節(jié)］。如果質(zhì)量項(xiàng)m換成kz，便得到外爾半金屬哈密頓量，寫作倒空間的單極點(diǎn)H=?vF(k?σ)，這意味著，外爾半金屬必定拓?fù)浞瞧接埂?/p>

基于二維狄拉克方程構(gòu)架的方程（24）和（25）是兩種典型的二能級(jí)系統(tǒng)，分別代表實(shí)空間的自然疇界型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和通常意義下的體邊對(duì)應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。所有的二能級(jí)系統(tǒng)都可以表示為參數(shù)k空間的狄拉克方程，通過(guò)參數(shù)映射k→R，可構(gòu)建R空間的參數(shù)球，利用1.4小節(jié)介紹的特殊貝利相，可以方便地分析體系的拓?fù)湫?。下面我們分別以單層石墨烯、二維拓?fù)浣^緣體、外爾半金屬為例，分析體系拓?fù)湫院蛥?shù)空間R的深刻聯(lián)系。核心思想有兩個(gè)，第一，依托貝利相，結(jié)合狄拉克方程，分析幾個(gè)典型的、已知的狄拉克費(fèi)米子系統(tǒng)的拓?fù)湫?。第二，?gòu)建并預(yù)測(cè)新體系的拓?fù)湫浴?/p>

2 石墨烯拓?fù)鋺B(tài)

石墨烯是二維平面上的三角復(fù)式晶格，每個(gè)原胞內(nèi)有兩個(gè)碳原子，對(duì)應(yīng)兩套子晶格，分別標(biāo)記為A子格和B子格。單層石墨烯有AB兩套子晶格，同時(shí)倒空間還有一對(duì)等效的狄拉克點(diǎn)，分別位于K、K′點(diǎn)，因此它具有多種二態(tài)內(nèi)稟自由度。除了電子自旋，石墨烯還具有很多贗自旋，比如A/B子格、K/K′谷自旋，如果考慮多層石墨烯，外場(chǎng)對(duì)上下層的能量修正亦可構(gòu)成贗自旋。這些因素為外部調(diào)控并修飾能帶提供了非常豐富和便利的條件。不考慮元胞內(nèi)的 勢(shì) 能 分 布 V(r)，H(k)=e?ik?rH(r)eik?r將 退 化為自旋σz表象下形如方程（22）的狄拉克費(fèi)米子哈密頓量。并且，在加入各種外場(chǎng)和自旋軌道耦合后，單層、雙層石墨烯經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臍w一化變換后，都可以變?yōu)榉匠蹋?2）。1.4小節(jié)已給出定論：參數(shù)空間的z分量Rz是體系拓?fù)湫再|(zhì)的決定性因素。對(duì)于二維狄拉克費(fèi)米子體系，Rz就是非零質(zhì)量項(xiàng)。下面，將從狄拉克方程出發(fā)，分析幾種典型的石墨烯模型，通過(guò)構(gòu)造并調(diào)控狄拉克方程中的非零質(zhì)量項(xiàng)，構(gòu)建各種一維拓?fù)鋺B(tài)，并簡(jiǎn)要研究一維拓?fù)鋺B(tài)的輸運(yùn)性質(zhì)。

2.1 AB子格勢(shì)m

石墨烯置于氮化硼襯底上，AB子格感受到不同的范德瓦爾斯力的作用，在垂直電場(chǎng)作用下產(chǎn)生不同的感應(yīng)勢(shì)能，形成AB子格勢(shì)，設(shè)UA?UB=m，即可引入狄拉克方程的質(zhì)量項(xiàng)mσz。不考慮元胞內(nèi)的勢(shì)能分布V(r)，略掉無(wú)關(guān)緊要的常數(shù)，H(k)退化為最簡(jiǎn)潔的二維狄拉克方程，寫作

這是一個(gè)典型的自旋1/ 2的二能級(jí)系統(tǒng)。這里的自旋代表AB子格所張的希爾伯特空間的1/ 2贗自旋。固定m，哈密頓量的參數(shù)空間為二維體系的倒空間構(gòu)成的二維平面，無(wú)論m取正還是取負(fù)，這樣的參數(shù)空間都無(wú)法形成封閉曲面，自旋無(wú)法穿越參數(shù)空間的赤道面，自旋指向只能局限在上半球（m>0）或下半球（m<0），如圖1（b）、（c）所示。因此，具有常數(shù)質(zhì)量項(xiàng)的狄拉克費(fèi)米子體系，必定拓?fù)淦接埂?/p>

圖1 單層石墨烯中由AB子格勢(shì)構(gòu)建的質(zhì)量項(xiàng)。（a）質(zhì)量項(xiàng)呈階梯函數(shù)型，贗自旋指向四面八方；（b）質(zhì)量項(xiàng)恒正，贗自旋z分量朝上；（c）質(zhì)量項(xiàng)恒負(fù)，贗自旋z分量朝下Fig.1 Mass terms constructed byAB sublattice potential in monolayer graphene.(a)Mass term in staircase function form,pseudo-spin points to all directions;(b)Mass term remains positive with pseudo-spin's zcomponent all pointing up;(c)Mass term remains negative with pseudo-spin's z-component all pointing down

如何構(gòu)建拓?fù)浞瞧接沟倪吘墤B(tài)呢？關(guān)鍵在質(zhì)量項(xiàng)！哈密頓量（26）的參數(shù)空間R=[kx，ky，m]，質(zhì)量項(xiàng) m 構(gòu)成參數(shù)空間的第三個(gè)維度。如果質(zhì)量項(xiàng)不是常數(shù)，而是隨空間變化，比如設(shè)m=sgn(x)m，如圖1（a）所示，則在三維參數(shù)空間任意取一個(gè)包圍貝利曲率單極點(diǎn)R=0的封閉曲面，對(duì)貝利曲率作通量積分，都可得到非平庸的特殊貝利相γ=∮dS?Ω=2π。推而廣之，只要質(zhì)量項(xiàng)有明確的正負(fù)毗鄰的邊界，貝利曲率就一定會(huì)出現(xiàn)單極點(diǎn)，有幾個(gè)單極點(diǎn)，便有幾個(gè)拓?fù)鋺B(tài)。質(zhì)量為正的區(qū)域和質(zhì)量為負(fù)的區(qū)域交替在實(shí)空間出現(xiàn)，類似于鐵磁物質(zhì)中的磁疇，正負(fù)質(zhì)量毗鄰的邊界被稱作疇壁或疇界，局域拓?fù)鋺B(tài)只出現(xiàn)在疇界處。下面，通過(guò)定量化計(jì)算貝利相驗(yàn)證此結(jié)論。

利用貝利連接A和貝利曲率Ω求貝利相γ=∮dS?Ω=∮dS??A。所要積分的封閉曲面如圖2所示，為無(wú)窮薄的柱體，柱體的表面為垂直于Rz的，向內(nèi)和向外的兩個(gè)Rx∧Ry平面。因此只需求貝利曲率的Rz分量，寫作Ωkxky=的布洛赫本征模，

圖2 實(shí)空間正負(fù)質(zhì)量疇界形成的拓?fù)浞瞧接箲B(tài)。（a）函數(shù)映射后的參數(shù)空間的閉曲面；（b）手性相反毗鄰而居的疇形成的拓?fù)洚牻鐟B(tài)Fig.2 Topological-nontrivial states formed by the domain boundary of positive and negative mass in real space.(a)Closed surface after mapping the function to a parameter space;(b)Topological domain boundary states formed by two adjacent domains with opposite chirality

理論上可以通過(guò)構(gòu)建區(qū)域性的具有相反符號(hào)的質(zhì)量疇［21］，自由建設(shè)拓?fù)鋺B(tài)的傳播通道。圖3展示了幾種典型的拓?fù)渫ǖ?，這種拓?fù)渫ǖ乐辉试S能隙內(nèi)的拓?fù)鋺B(tài)通過(guò)，能夠規(guī)避體態(tài)電子的雜質(zhì)散射，大大降低體系的耗散性，通過(guò)疇界設(shè)計(jì)可以控制電子的傳播方向，因此，這種疇界型拓?fù)鋺B(tài)在電子電路方面有巨大的應(yīng)用潛力［22-23］。

圖3 通過(guò)疇界設(shè)計(jì)構(gòu)造幾種典型拓?fù)渫ǖ?。其中，?”表示手性為正的疇區(qū)，“-”表示手性為負(fù)的疇區(qū)Fig.3 Several typical topological channels built by designing the domain boundary,where "+" represents domain with positive chirality and "?" represents domain with negative chirality

下面用緊束縛模型［24-26］展示單層石墨烯體能隙中的拓?fù)洚牻鐟B(tài)最基本的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系?？紤]最近鄰耦合，實(shí)空間緊束縛哈密頓量

當(dāng)AB子格勢(shì)取常數(shù)，則質(zhì)量項(xiàng)m為非零常數(shù)，非零質(zhì)量項(xiàng)導(dǎo)致體能隙。進(jìn)一步，考慮寬度有限的無(wú)窮長(zhǎng)一維條帶，條帶有兩個(gè)無(wú)窮長(zhǎng)的鋸齒形邊界，上邊界全部為A原子，下邊界全部為B原子。沿兩個(gè)鋸齒形邊界各有一條由不飽和C鍵貢獻(xiàn)的，色散系數(shù)為零的平帶，由于群速度為零，此平帶對(duì)輸運(yùn)無(wú)貢獻(xiàn)，如圖4（a）所示。設(shè)總體質(zhì)量項(xiàng)m為正數(shù)，即，所有A原子在位能為正值（實(shí)心圓），B子格為負(fù)值（空心圓），在此基礎(chǔ)上，重置兩個(gè)邊界C原子的在位能。設(shè)上邊界的A子格在位能=?1.0 t，下邊界的B子格在位能=1.0 t，相當(dāng)于在臨近上下邊界的實(shí)空間分別構(gòu)建了一條分別由A子格和B子格貢獻(xiàn)的正負(fù)交錯(cuò)的質(zhì)量邊界［27］。相應(yīng)地，如圖4（b）所示，原先分別由邊界的A類碳原子和B類碳原子貢獻(xiàn)的拓?fù)淦接沟钠綆?，現(xiàn)變?yōu)閮蓚€(gè)能谷處的拓?fù)浞瞧接沟模ㄙ|(zhì)量）邊界態(tài)。兩能谷互為時(shí)間反演對(duì)稱，故手性相反。由于，邊界態(tài)的手性取決于質(zhì)量項(xiàng)的符號(hào)，而A子格和B子格貢獻(xiàn)質(zhì)量項(xiàng)的在位能正好相反，故兩個(gè)質(zhì)量邊界處的拓?fù)鋺B(tài)手性也相反（參考圖4（b）中的紅色線和藍(lán)色線）。如果y>0和y<0的區(qū)域AB勢(shì)符號(hào)相反，則會(huì)形成如圖4（c）中黑色短橫線所示的正負(fù)質(zhì)量界面，每個(gè)能谷處均有一個(gè)單極點(diǎn)，能帶圖中在兩個(gè)能谷處自然會(huì)呈現(xiàn)手性相反的一對(duì)邊緣態(tài)，文獻(xiàn)中稱之為零模態(tài)或kink態(tài)［28-31］。

圖4 單層石墨烯條帶的疇界拓?fù)淠軒В╝）AB子格勢(shì)，即質(zhì)量項(xiàng)恒正，體系有體能隙但無(wú)邊緣態(tài)或疇界態(tài)；（b）通過(guò)邊緣修飾在兩個(gè)邊界處形成兩個(gè)質(zhì)量疇界，對(duì)應(yīng)能帶圖能谷處的兩條邊緣態(tài)（紅、藍(lán)線）；（c）AB子格勢(shì)取階梯函數(shù)，在中心位置構(gòu)建正負(fù)質(zhì)量疇界，對(duì)應(yīng)能谷處的一條邊緣態(tài)（黑色線）Fig.4 Domain boundary's topological band in monolayer graphene ribbon.(a)The system inAB sublattice potential where the mass term keeps positive only has body energy gap with no edge state or domain boundary state;(b)Edge modifying formed two mass domain boundaries along the two edge,corresponding to the two edge states(red and blue line)in the valley of the band picture;(c)AB sublattice potential is chosen to be staircase function form and its domain boundary of positive and negative mass is in the center,corresponding to an edge state(black line)in the valley

需要說(shuō)明的是，AB子格勢(shì)不破壞時(shí)間反演對(duì)稱性，兩類互為時(shí)間反演對(duì)稱的狄拉克點(diǎn)附近的貝利曲率互為相反數(shù)，

因此，線性狄拉克費(fèi)米子在K和K′點(diǎn)所能形成的拓?fù)鋺B(tài)手性相反，可形成谷自旋霍爾態(tài)［32-35］。鋸齒型邊界的石墨烯條帶具有K和K′點(diǎn)分離的特點(diǎn)，是觀測(cè)谷自旋霍爾效應(yīng)的首選材料。

2.2 AB堆垛雙層石墨烯拓?fù)鋺B(tài)

雙層石墨烯中也存在類似的疇界拓?fù)鋺B(tài)，而且物理更加豐富。兩層單層石墨烯堆垛構(gòu)成雙層石墨烯，可以有不同的堆垛方式。兩層原子完全重合的堆垛型稱為AA堆垛。在此基礎(chǔ)上，上下兩層原子沿某一個(gè)最近鄰方向相互位錯(cuò)一個(gè)最近鄰的身位，使得某一層的A子格和另一層的B子格重疊，剩下的原子正對(duì)異層六角格子的正中心，如圖5所示。

圖5 雙層石墨烯晶格結(jié)構(gòu)：（a）AA堆疊；（b）AB堆疊Fig.5 Double-layer graphene's lattice structures(a)AA-stacking;(b)AB-stacking

和單層石墨烯一樣，雙層石墨烯的AB子晶格也可以構(gòu)成子格贗自旋σ的希爾伯特空間，此外，上下兩層層指標(biāo)還可以構(gòu)成層贗自旋τ的希爾伯特空間，整個(gè)哈密頓量寫在σ×τ的4×4的希爾伯特空間，頂層（t）和底層（b）的AB原子構(gòu)成哈密頓量基底，

在合適的垂直電場(chǎng)作用下，上下層在位能可以相反，設(shè)Ut?Ub=2Ut=u。AB堆垛的上下兩層石墨烯彼此空間反演對(duì)稱。綜合考慮單層石墨烯層內(nèi)耦合，上下兩層層間耦合，及層內(nèi)AB子格勢(shì)，并設(shè)層內(nèi)耦合強(qiáng)度為t1，層間耦合強(qiáng)度為t2，哈密頓量寫作

緊束縛模型能帶圖如圖6（a）所示。緊束縛模型和低能有效模型有兩點(diǎn)不同：（1）緊束縛模型不僅包含狄拉克點(diǎn)附近的低能線性區(qū)，也包含遠(yuǎn)離狄拉克點(diǎn)的非線性區(qū)；（2）兩類不同的K點(diǎn)會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在緊束縛模型倒空間，因此緊束縛能帶有一條四重簡(jiǎn)并的、從K能谷到K′能谷的零能平帶。在方程（32）的基礎(chǔ)上，作歸一化變換，用新基底

如果u=0，以上哈密頓量塊對(duì)角，可看作兩個(gè)相互獨(dú)立無(wú)耦合的、具有等效于AB子格勢(shì)的非零質(zhì)量的、分別相對(duì)狄拉克點(diǎn)平移了±、消除了能量簡(jiǎn)并的“單層石墨烯”。兩個(gè)單層石墨烯疊加，質(zhì)量帶隙消除，能帶圖如圖6（b）所示，除了谷間平帶，圖6（b）的能帶圖和圖6（a）的能帶圖完全相同①歸一化變換僅適用于低能有效模型，低能線性區(qū)不包含谷間平帶，圖中已忽略谷間非零能平帶。根據(jù)2.1小節(jié)的推斷，常數(shù)型非零質(zhì)量項(xiàng)［這里指σz項(xiàng)］必不能產(chǎn)生拓?fù)溥吔鐟B(tài)，但是，如果u≠0，兩個(gè)獨(dú)立的狄拉克費(fèi)米子互相耦合，帶隙重新打開(kāi)，形成反帶隙，產(chǎn)生拓?fù)浞瞧接瓜嘧?。AB堆疊層間耦合只對(duì)上層A原子和下層B原子作用，這導(dǎo)致四條平帶中只有兩條實(shí)現(xiàn)能級(jí)反轉(zhuǎn)，最終形成體帶隙中的邊緣態(tài)［28，36］。每個(gè)能谷，每個(gè)物理邊界都有一個(gè)邊界態(tài)，如圖6（c）所示。

圖6 具有鋸齒型邊界的雙層石墨烯條帶的能帶（a-b）不考慮層間勢(shì)（即U=0），（a）原始哈密頓量能帶和（b）歸一變換后的哈密頓量能帶；（c-d）考慮層間勢(shì)：（c）常數(shù)型層間勢(shì)和（d）階梯函數(shù)型層間勢(shì)構(gòu)成的異質(zhì)結(jié)條帶的能帶Fig.6 Band of double-layer graphene ribbon with zig-zag edge.(a-b)Ignoring interlayer potential(U=0):(a)band of original Hamilton and(b)band of Hamilton after normalized transform;(c-d)Considering interlayer potential:Band of het‐erojunction ribbon under(c)constant interlayer potential and(d)staircase function form of interlayer potential

雙層石墨烯哈密頓量是4能級(jí)哈密頓量，無(wú)法用前面所講的參數(shù)映射方法通過(guò)理論分析判定它是否具有拓?fù)湎?，必須?shù)值求解貝利曲率，數(shù)值結(jié)果表明?Ω(U)=Ω(?U)。層間勢(shì)差U由堆疊方式?jīng)Q定，如果AB堆疊的層間勢(shì)差為U，那么BA堆疊的層間勢(shì)差就是?U。這意味著如果用AB堆疊型雙層石墨烯和BA堆疊型雙層石墨烯構(gòu)建異質(zhì)結(jié)，樣品中將會(huì)有兩塊具有不同手性邊緣態(tài)的物理區(qū)域，它們的分界線便是拓?fù)洚牻?，在拓?fù)洚牻缣帟?huì)有兩個(gè)邊緣態(tài)［28］，如圖 6（d）所示。

圖7 幾種典型的疇界態(tài)和拓?fù)溥吘墤B(tài)的分布情況。（a）單層石墨烯疇界拓?fù)鋺B(tài)，由相鄰疇區(qū)各貢獻(xiàn)半個(gè)拓?fù)鋽?shù)；（b）雙層石墨烯+常數(shù)型層間勢(shì)形成的拓?fù)溥吘墤B(tài)；（c）正負(fù)層間勢(shì)疇區(qū)邊緣態(tài)+手性相反的疇界形成的拓?fù)洚牻鐟B(tài)Fig.7 Distribution of several typical domain boundary states and topological edge states.(a)Monolayer graphene domain boundary states,two adjacent domains each devote half topological number;(b)Topological edge states formed by double-layer graphene with constant interlayer potential;(c)Edge states on the edge of positive and negative inter‐layer potential domain and topological domain boundary states formed by domain boundary with opposite chirality

2.3 次近鄰耦合m(k)

在AB子格贗自旋的希爾伯特空間，AB子格相互作用貢獻(xiàn)泡利矩陣的非對(duì)角項(xiàng)，也就是σx和σy結(jié)構(gòu)參量的系數(shù)。AB子格內(nèi)部互作用貢獻(xiàn)泡利矩陣的對(duì)角項(xiàng)，也就是σz和σ0參量的系數(shù)，如果A子格內(nèi)部作用和B子格內(nèi)部作用相同，則此作用為σ0的系數(shù)，如果相反則為σz的系數(shù)，也就是狄拉克方程的質(zhì)量項(xiàng)。AB子格勢(shì)UA=?UB，貢獻(xiàn)常數(shù)型質(zhì)量項(xiàng)，如2.1小節(jié)所述，如果實(shí)空間存在正負(fù)質(zhì)量界面，AB子格勢(shì)便可以引起界面拓?fù)鋺B(tài)。事實(shí)上，倒空間的正負(fù)質(zhì)量界面也可以引起（真空）邊界拓?fù)鋺B(tài)，次近鄰耦合剛好可以擔(dān)任此角色。下面以Kane-Mele模型和更早的Haldane模型為例，說(shuō)明次近鄰耦合如何產(chǎn)生拓?fù)湎嘧儭?/p>

單層石墨烯，考慮最近鄰耦合和Kane-Mele次近鄰耦合，緊束縛模型哈密頓量寫作：

其中，第一項(xiàng)是發(fā)生在距離最近的不同子格間的最近鄰相互作用，第二項(xiàng)是發(fā)生在距離最近的 同 類 子 格 之 間 的 次 近 鄰 作 用 。是從同一個(gè)原子位置出發(fā)，分別終止于i和j的兩個(gè)最近鄰矢量的單位方向。由于A子格和B子格互為鏡像，故A子格和B子格的次近鄰作用符號(hào)相反，天然便是狄拉克方程中的非零質(zhì)量項(xiàng)。緊束縛模型作傅里葉變換，可寫出倒空間Kane-Mele模型的最近鄰哈密頓量［17］

需要注意的是，Kane-Mele模型的次近鄰耦合和Rashba自旋軌道耦合不同。Rashba自旋軌道耦合破壞結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，是SU（2）型。而Kane-Mele自旋軌道耦合不破壞體系的結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，是SU（1）型內(nèi)稟自旋軌道耦合，并且它不破壞時(shí)間反演對(duì)稱性，因此，sz=1的上自旋自旋軌道耦合和sz=?1的下自旋自旋軌道耦合互軛。此外，為保證鏡面反射對(duì)稱，A子格的自旋軌道耦合和B子格的自旋軌道耦合也要互軛。

綜合最近鄰和次近鄰耦合，總的哈密頓量寫作含質(zhì)量項(xiàng)的狄拉克方程，H(k)=h(k)?σ，其中，h(k)=[tkx，tky，mKM(k)]。質(zhì)量項(xiàng) m(k)在倒空間正負(fù)交錯(cuò)，倒空間必有單極點(diǎn)，參看1.4小節(jié)。自旋上和自旋下的質(zhì)量構(gòu)型正好相反，二者對(duì)應(yīng)的單極點(diǎn)的極性相反，拓?fù)溥吘墤B(tài)的手性相反。一對(duì)具有不同自旋的手性相反的邊緣態(tài)，構(gòu)成時(shí)間反演對(duì)稱保護(hù)的Z2拓?fù)浣^緣體。

Haldane次近鄰和Kane-Mele次近鄰形式類似，描述的都是不同子格間互為共軛的次近鄰耦合作用，但是二者的物理起源完全不同。Haldane模型是一個(gè)假想的玩具模型，Haldane次近鄰類似于假想的贗磁場(chǎng)的作用效果，這個(gè)贗磁場(chǎng)對(duì)A子格和B子格的磁通剛好相反，可以理解為凈磁通為零的周期贗磁場(chǎng)。贗磁場(chǎng)的磁矢勢(shì)產(chǎn)生的磁通相位只出現(xiàn)在次近鄰耦合項(xiàng)上，且A子格和B子格次近鄰的磁通相位正好相反。設(shè)次近鄰耦合強(qiáng)度為tn，Haldane模型次近鄰哈密頓量寫作［39-41］

形式上，Haldane模型和Kane-Mele模型也有兩點(diǎn)不同：（1）Kane-Mele模型中，對(duì)于不同的自旋，次近鄰作用相反，H2，KM∝σzsz；而在 Haldane模型中，不同的自旋，其次近鄰作用相同，H2，Hd∝σzs0。（2）Kane-Mele 模 型次近鄰作用只包含質(zhì)量項(xiàng)mKMσz；而在Haldane模型中，除了質(zhì)量項(xiàng) mHdσz，次近鄰還可以包括常數(shù)項(xiàng) ?kσ0，但此常數(shù)項(xiàng)不影響體系的拓?fù)湫?，無(wú)需關(guān)注。非平庸能帶如圖8（a）所示，有明確的體帶隙及拓?fù)溥吘墤B(tài)。

圖8 單層石墨烯次近鄰耦合能帶圖。（a）Haldane模型，不考慮AB子格勢(shì)，體帶隙最大，帶隙內(nèi)有魯棒性邊緣態(tài)；（b）AB子格勢(shì)|M|=[2tnmax(|sin?sin(k?bn)|)=3 tn|sin?|]，帶隙關(guān)閉，但魯棒性邊緣態(tài)仍存Fig.8 Band of monolayer graphene considering next-nearest coupling.(a)Haldane model,neglectingAB sublattice potential.The body gap is widest with robust edge states;(b)ConsideringAB sublat‐tice potential,the gap is closed but robust edge states still exists

在次近鄰作用的基礎(chǔ)上，再考慮AB子格勢(shì)，設(shè)為UA=?UB=M，Haldane模型質(zhì)量項(xiàng)寫作

3 拓?fù)浣^緣體

拓?fù)浣^緣體是受時(shí)間反演對(duì)稱保護(hù)的陳絕緣體。最簡(jiǎn)單的情況，自旋上和自旋下時(shí)間反演對(duì)稱，且相互無(wú)耦合，相當(dāng)于兩個(gè)手性相反的陳絕緣體的合體。單看自旋上或自旋下的部分，和陳絕緣體無(wú)異，前面所有的推演全部適用。如果只考慮一種自旋，以HgTe/CdTe為代表的二維拓?fù)浣^緣體，以及以（Bi，Sb）2Te3為代表的三維拓?fù)浣^緣體，全部可以用狄拉克方程描寫，

哈密頓量包含動(dòng)量項(xiàng)和質(zhì)量項(xiàng)。

3.1 二維拓?fù)浣^緣體

以HgTe/CdTe為代表的二維拓?fù)浣^緣體，哈密頓量表示為二維狄拉克方程形式，H(k)=?k+Ak?σ+Mkσz，矩陣形式如下［40，44-47］：

圖9 二維拓?fù)浣^緣在低能線性近似下的贗自旋分布。（a）M<0，質(zhì)量項(xiàng)M?Bk2恒負(fù)；（b）M>0，質(zhì)量項(xiàng)M?Bk2正負(fù)交錯(cuò)Fig.9 2-D topological insulator's spin distribution under low-energy linear approximation.(a)M<0,the mass termM?Bk2keeps negative;(b)M<0,the symbol of the mass termM?Bk2staggers

波矢k算符化，k→?i?，用差分操作代替倒空間哈密頓量參數(shù)k，得到無(wú)窮長(zhǎng)有限寬帶邊界的條帶能帶圖 10。圖 10（a）和圖 10（b）分別展示了拓?fù)淦接购屯負(fù)浞瞧接沟哪軒ЫY(jié)構(gòu)，可以看出，不管是拓?fù)淦接惯€是拓?fù)浞瞧接?，拓?fù)浣^緣體的能帶結(jié)構(gòu)都存在體能隙，這也是它之所以被稱作“絕緣體”的根本原因。二者的區(qū)別僅在于是否存在帶隙內(nèi)的拓?fù)溥吘墤B(tài)。質(zhì)量項(xiàng)恒正（或恒負(fù)）的拓?fù)淦接菇Y(jié)構(gòu)沒(méi)有邊緣態(tài)，是真正的絕緣體。質(zhì)量項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)的拓?fù)浞瞧接菇Y(jié)構(gòu)具有非局域的邊緣態(tài)，被稱為拓?fù)浣^緣體。拓?fù)浣^緣體的帶隙源于投影后的參數(shù)空間h(k)的特殊的第三維，也就是哈密頓量中的質(zhì)量項(xiàng)。

圖10 二維拓?fù)浣^緣體能帶圖。（a）M<0，拓?fù)淦接?；（b）M>0，拓?fù)浞瞧接笷ig.10 Band of 2-D topological insulator.(a)M<0,topological trivial;(b)M>0,topological nontrivial

綜上，無(wú)論是石墨烯，還是拓?fù)浣^緣體，所有用二維體系的線性狄拉克方程表示的體系，其拓?fù)湫再|(zhì)都取決于質(zhì)量項(xiàng)，一旦質(zhì)量項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)，不管是在倒空間還是在實(shí)空間，體系必定拓?fù)浞瞧接?，表現(xiàn)為具有魯棒性的邊緣態(tài)或疇界態(tài)。

3.2 三維拓?fù)浣^緣體

如果把二維拓?fù)浣^緣體進(jìn)行簡(jiǎn)單堆疊，便可以構(gòu)成三維拓?fù)浣^緣體，但一般都是弱拓?fù)浣^緣體［19］。如果沿x方向堆疊，那么只有(ky，kz)平面具有非零陳數(shù)，其他方向的陳數(shù)均為零。最直接的表現(xiàn)就是費(fèi)米球不封閉，內(nèi)含偶數(shù)個(gè)時(shí)間反演不動(dòng)點(diǎn)，如圖11（a）所示。以(Bi，Sb)2Te3為代表的三維強(qiáng)拓?fù)浣^緣體則不同，從參數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)看，它的三個(gè)方向結(jié)構(gòu)相同，沿每一個(gè)方向構(gòu)建的二維參數(shù)空間都能計(jì)算得到非零陳數(shù)。

圖11 （a）弱拓?fù)浣^緣體；（b）強(qiáng)拓?fù)浣^緣體Fig.11 (a)Weak topological insulator;(b)Strong topological insulator

(Bi，Sb)2Te3系列材料的標(biāo)志性哈密頓量結(jié)構(gòu)如下［48-50］：

每一個(gè)塊對(duì)角元都是一個(gè)二維拓?fù)浣^緣體哈密頓量，體能隙內(nèi)存在一維線性色散的邊緣態(tài)。如果考慮kz分量，一維線性色散邊緣態(tài)將演變?yōu)槎S線性色散的狄拉克錐表面態(tài)。

綜上，石墨烯和拓?fù)浣^緣體在低能近似下都可以看作狄拉克費(fèi)米子，但二者有幾點(diǎn)不同：（1）石墨烯有一對(duì)等效狄拉克點(diǎn)，拓?fù)浣^緣體只有一個(gè)；（2）石墨烯是二維狄拉克費(fèi)米子，拓?fù)浣^緣體不僅限于二維，理論上，一維、二維、三維均可。

3.3 量子反常霍爾效應(yīng)

當(dāng)三維拓?fù)浣^緣體薄到極限，以至于上下表面的表面態(tài)可以直接耦合，形成兩個(gè)相互耦合的狄拉克錐，以自旋上和自旋下的頂層表面態(tài)和底層表面態(tài)，，作為基底，哈密頓量進(jìn)一步簡(jiǎn)化為［51］

塞曼場(chǎng)直接影響兩個(gè)塊對(duì)角的質(zhì)量項(xiàng)，一個(gè)質(zhì)量項(xiàng)增加另一個(gè)減少。當(dāng)Δ>M時(shí)，其中一個(gè)塊對(duì)角的質(zhì)量項(xiàng)發(fā)生拓?fù)滢D(zhuǎn)變，從恒正變?yōu)檎?fù)交錯(cuò)，對(duì)應(yīng)的塊對(duì)角哈密頓量完全等效于方程（43），相當(dāng)于只考慮一種自旋的二維拓?fù)浣^緣體，體系進(jìn)入量子反?；魻栂啵?fù)潢悢?shù)等于1，此拓?fù)潢悢?shù)由上下表面共同貢獻(xiàn)，如圖12（a）所示。這種邊緣態(tài)和石墨烯的質(zhì)量疇界態(tài)類似，源于兩個(gè)手性相反的毗鄰而居的拓?fù)鋮^(qū)域。已表明法向作為參考坐標(biāo)，上下表面邊緣態(tài)手性相反，側(cè)表面相當(dāng)于上下表面構(gòu)成的相鄰疇的疇界，如圖12（b）所示。和石墨烯中通過(guò)AB子格勢(shì)構(gòu)建的拓?fù)洚牻珙愃?，參?.1小節(jié)。側(cè)表面彼此相距較遠(yuǎn)，不發(fā)生相互耦合，仍然保持線性色散關(guān)系。受面內(nèi)塞曼場(chǎng)的影響，側(cè)表面狄拉克錐發(fā)生平移，但依然維持零帶隙的線性色散，上下表面態(tài)的邊緣態(tài)可以在側(cè)表面自由傳播，如圖12（c）所示。側(cè)表面就是量子霍爾邊緣態(tài)的實(shí)際傳輸通道，因此，側(cè)表面的形貌將會(huì)深刻影響邊緣態(tài)的品質(zhì)［52-53］。

圖12 （a）垂直塞曼場(chǎng)作用下的三維拓?fù)浣^緣體薄層的手性邊緣態(tài)；（b）半無(wú)窮薄層上下表面展開(kāi)后構(gòu)成的側(cè)表面疇界態(tài)；（c）上下表面和側(cè)表面態(tài)示意圖，其中，側(cè)表面無(wú)帶隙，上下表面帶隙內(nèi)的邊緣態(tài)可以在側(cè)表面自由傳播Fig.12 (a)Chiral edge states in 3-D topological insulator sheet under vertical Zeeman field;(b)Lateral surface domain boundary states formed by expanding half-infinite sheet's top and bottom surfaces;(c)Sketch of top,bottom and lateral surface states,where the lateral surface is gapless,edge states in top and bottom surface gap can freely transmit on lateral surface

4 外爾半金屬

外爾半金屬是表示在三維空間的二維狄拉克費(fèi)米子［54-55］，這里所謂的二維狄拉克費(fèi)米子特指狄拉克方程的矢量參數(shù)α的維度（參考1.5小節(jié)）。由于體系受時(shí)間反演或空間反演對(duì)稱保護(hù)，外爾半金屬的能量節(jié)點(diǎn)必成對(duì)出現(xiàn)。如果體系同時(shí)具有時(shí)間反演對(duì)稱性和空間反演對(duì)稱性，體系將產(chǎn)生四重簡(jiǎn)并的外爾點(diǎn)，這種體系被稱作狄拉克半金屬，相當(dāng)于兩個(gè)外爾半金屬的合體。石墨烯就是一種特殊的二維狄拉克半金屬。外爾半金屬和石墨烯有很多相同點(diǎn)：同屬二能級(jí)系統(tǒng)，哈密頓量均可用二維狄拉克方程描述，并且二者的能量節(jié)點(diǎn)（狄拉克點(diǎn)或外爾點(diǎn)）均成對(duì)出現(xiàn)。但二者又有本質(zhì)不同：首先，二者空間維度不同，石墨烯是二維系統(tǒng)的線性狄拉克費(fèi)米子，外爾半金屬是三維系統(tǒng)的線性狄拉克費(fèi)米子，這將導(dǎo)致二者拓?fù)浞瞧接沟谋憩F(xiàn)也大不相同。

針對(duì)某一個(gè)外爾點(diǎn)k0，設(shè)有效動(dòng)量q=k?k0，在外爾點(diǎn)附近針對(duì)有效動(dòng)量作線性展開(kāi)，得到外爾點(diǎn)附近的低能哈密頓量的一般形式［56］：

這是一個(gè)二能級(jí)哈密頓量，能級(jí)包含線性動(dòng)能項(xiàng)和結(jié)構(gòu)性各向同性的勢(shì)能項(xiàng)。

其中，線性動(dòng)能項(xiàng)T(k)不改變二能級(jí)之差，但會(huì)改變各個(gè)方向的群速度，破壞洛倫茲對(duì)稱性，使得原先各向同性的狄拉克錐發(fā)生傾斜，變成各向異性。如果T(k)

圖13 （a）第一類普通型外爾半金屬；（b）第二類外爾半金屬Fig.13 (a)The first type as long as the common type of Weyl semi-metal;(b)The second type of Weyl semi-metal

下面以第一類外爾半金屬為例，分析體系拓?fù)湫浴楹?jiǎn)便計(jì)，直接略掉動(dòng)能項(xiàng)。哈密頓量寫作狄拉克方程的形式H(q)=h(q)?σ，其中，h(q)為動(dòng)量空間的三維矢量，寫作h(q)=[v1?q，v2?q，v3?q]。相當(dāng)于沿 v?1，v?2，v?3三個(gè)方向重新構(gòu)建了新的動(dòng)量參數(shù)空間。根據(jù)單極點(diǎn)理論，新參數(shù)空間的陳數(shù)可直接寫出：C=sgn[v1?(v2×v3)]。如果三個(gè)方向和xyz坐標(biāo)軸手性相同，貝利曲率閉積分為2π，對(duì)應(yīng)陳數(shù)C=1，否則，如果二者手性相反，則陳數(shù)C=?1。這說(shuō)明，外爾半金屬天然便是拓?fù)浞瞧接沟摹?/p>

此外，由于外爾半金屬的質(zhì)量項(xiàng)同動(dòng)量項(xiàng)一樣，也是線性的，作為各項(xiàng)同性的單極點(diǎn)，外爾半金屬不存在體帶隙，這和前面講過(guò)的石墨烯及拓?fù)浣^緣體都不同，后兩者均有體帶隙。這表明三維空間的二維狄拉克方程和石墨烯以及二維拓?fù)浣^緣體所代表的二維參數(shù)空間的二維狄拉克方程完全不同。后者需通過(guò)參數(shù)映射，用質(zhì)量項(xiàng)構(gòu)建映射后的參數(shù)空間的第三個(gè)維度，才能形成三維參數(shù)空間的單極點(diǎn)。外爾半金屬哈密頓量原本就表示在三維參數(shù)空間，無(wú)需再通過(guò)質(zhì)量項(xiàng)構(gòu)建參數(shù)空間的第三維。

圖14 外爾點(diǎn)及貝利曲率通量積分面。（a）倒空間能夠完全分開(kāi)兩個(gè)外爾點(diǎn)的閉曲面，其貝利曲率通量貢獻(xiàn)一個(gè)拓?fù)鋽?shù)；（b）兩類平面：一類能夠把外爾點(diǎn)完全分開(kāi)，對(duì)應(yīng)陳數(shù)C=1，另一類，不能分離兩個(gè)外爾點(diǎn)，對(duì)應(yīng)陳數(shù)C=0Fig.14 Weyl points and the integral surface of Berry curvature flux.(a)Closed surface in reciprocal space being able to fully separating two Weyl points,whose Berry curvature flux devotes to topologi‐cal number 1;(b)Two kind of surfaces:one can entirely separate the Weyl points,having Chern number 1 while the other can't,hav‐ing Chern number 0

至此，通過(guò)參數(shù)空間的單極點(diǎn)理論，我們成功地分析了石墨烯、拓?fù)浣^緣體、外爾半金屬的拓?fù)湫浴？梢酝茰y(cè)，所有能夠用二維狄拉克方程描寫哈密頓量的新材料，都可以通過(guò)參數(shù)空間的貝利曲率的單極點(diǎn)理論分析材料的拓?fù)湫?。外爾半金屬和石墨烯、拓?fù)浣^緣體都具有拓?fù)浞瞧接剐?，但他們的能帶結(jié)構(gòu)完全不同，前者沒(méi)有體能隙，后者有帶隙，這種能帶結(jié)構(gòu)的異同決定了它們的拓?fù)鋺B(tài)的表現(xiàn)形式也必不相同。如前所述［2.1，2.3，3.1］，石墨烯、拓?fù)浣^緣體的拓?fù)鋺B(tài)存在體能隙，因此，可以很好地定義具有明確的體邊對(duì)應(yīng)關(guān)系的邊界態(tài)或表面態(tài)。外爾半金屬無(wú)能隙，并不存在真正意義上的表面態(tài)，因?yàn)椴煌谋砻鎽B(tài)之間總是可以通過(guò)外爾點(diǎn)實(shí)現(xiàn)互通。即便如此，我們依然可以定義表面上的投影態(tài)。

一般來(lái)說(shuō)，固定能量的費(fèi)米面在倒空間表現(xiàn)為封閉曲面，投影到某個(gè)方向的表面，其二維倒空間的費(fèi)米面將變?yōu)榉忾]曲線，如圖15（a）所示，這是普通的體態(tài)投影。如果費(fèi)米面剛好穿過(guò)一對(duì)外爾點(diǎn)，體態(tài)對(duì)應(yīng)的費(fèi)米面從兩個(gè)球面退化為倒空間一對(duì)孤立點(diǎn)，即外爾點(diǎn)。除了體態(tài)費(fèi)米面，外爾半金屬在外爾點(diǎn)之外的體帶隙內(nèi)還存在拓?fù)浔砻鎽B(tài)，投影到樣品表面，成為連接兩個(gè)外爾點(diǎn)的費(fèi)米弧。如圖15（b）所示，二維表面的倒空間的投影態(tài)上，所有的點(diǎn)都是真正的表面態(tài)，除了兩個(gè)外爾點(diǎn)。兩個(gè)外爾點(diǎn)所代表的態(tài)函數(shù)是體態(tài)，可以深入體內(nèi)，同時(shí)在表面也有投影態(tài)。一對(duì)外爾點(diǎn)手性相反，相當(dāng)于貝利流的源和漏，隨著動(dòng)量波矢參數(shù)演化，所有可能的態(tài)，包括體帶隙內(nèi)的表面投影態(tài)，必始于源終于漏，所有可能的表面態(tài)連成表面倒空間連接兩個(gè)外爾點(diǎn)的費(fèi)米弧。考慮到體系的空間反演對(duì)稱性，固定[qx，qy]≠0的表面態(tài)總是成對(duì)出現(xiàn)，分別位于z方向的上表面和下表面，因此，每一個(gè)表面都有一條連接外爾點(diǎn)的費(fèi)米弧。當(dāng)費(fèi)米面偏離外爾點(diǎn)，體態(tài)范圍擴(kuò)大，呈閉曲面，其表面投影態(tài)由兩個(gè)孤立外爾點(diǎn)擴(kuò)展為兩條封閉曲線，即聯(lián)通表面態(tài)的源和漏由外爾點(diǎn)變?yōu)榉忾]曲線，與此同時(shí)，體帶隙范圍縮小，但連接兩片單連通區(qū)域的費(fèi)米弧仍存在，甚至當(dāng)源和漏的范圍繼續(xù)擴(kuò)大以至于局域相互融合，連接源和漏的費(fèi)米弧也依然存在，如圖 15（c）、（d）所示。費(fèi)米弧連接源和漏，是無(wú)能隙的外爾半金屬的拓?fù)渲刚鳎?7］，不同類型的費(fèi)米弧可作為表征不同外爾半金屬材料的指紋。

圖15 在二維倒空間表示的實(shí)空間的表面投影態(tài)。（a）普通費(fèi)米球的表面投影態(tài)，拓?fù)淦接?，無(wú)費(fèi)米弧；（b-d）外爾半金屬的表面投影態(tài)，拓?fù)浞瞧接梗匈M(fèi)米弧。（b）費(fèi)米面在外爾點(diǎn)；（c）費(fèi)米面偏離外爾點(diǎn)；（d）費(fèi)米面嚴(yán)重偏離外爾點(diǎn)，以至于兩個(gè)外爾點(diǎn)的體態(tài)部分融合Fig.15 Surface projected states of real space expressed in 2-D reciprocal space.(a)Normal Fermi sphere's surface projected state,topological trivial,no Fermi arc;(b-d)Weyl semi-metal's surface projected state,topological nontrivial,with Fermi arc;(b)Weyl points are right on the Fermi surface;(c)Fermi surface deviate from Weyl points;(d)Fermi surface severely deviate from Weyl points so that the two Weyl points'body states are partly fused

5 結(jié)論

二能級(jí)系統(tǒng)看似簡(jiǎn)單，卻包含了豐富的物理。大多數(shù)凝聚態(tài)拓?fù)洳牧献詈诵牡奈锢矶伎梢詺w結(jié)為簡(jiǎn)單的二能級(jí)模型。所有二能級(jí)模型都可以表示成二維狄拉克方程的形式，通過(guò)參數(shù)映射，可以把所有的二能級(jí)系統(tǒng)等效為倒空間的單極點(diǎn)。通過(guò)判斷單極點(diǎn)的方位，無(wú)需計(jì)算貝利曲率，只要單極點(diǎn)位于封閉參數(shù)空間內(nèi)部，便可直接判定體系的拓?fù)浞瞧接剐浴?/p>

我們選取三類典型材料：石墨烯、拓?fù)浣^緣體、外爾半金屬，展示如何通過(guò)參數(shù)映射后的單極點(diǎn)模型，直接判斷體系的拓?fù)湫?。結(jié)果顯示，對(duì)于二維體系，比如石墨烯和拓?fù)浣^緣體，二能級(jí)系統(tǒng)拓?fù)浞瞧接沟年P(guān)鍵在于質(zhì)量項(xiàng)，只要質(zhì)量項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)，便可以在正負(fù)兩個(gè)方向上構(gòu)成參數(shù)空間至關(guān)重要的第三維，從而形成包含單極點(diǎn)的封閉曲面，這樣的體系一定拓?fù)浞瞧接?。質(zhì)量項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)可以發(fā)生在正空間，比如石墨烯的AB勢(shì)構(gòu)成的質(zhì)量疇界，也可以發(fā)生在倒空間，比如石墨烯的次近鄰作用、拓?fù)浣^緣體的非平庸質(zhì)量項(xiàng)。對(duì)于三維體系，比如外爾半金屬，三個(gè)方向均滿足線性色散，質(zhì)量項(xiàng)一定是正負(fù)交錯(cuò)的，因此，外爾半金屬天生便是拓?fù)浞瞧接共牧稀?/p>

石墨烯和拓?fù)浣^緣體可歸結(jié)為二維參數(shù)空間的二維狄拉克方程，外爾半金屬則歸為三維參數(shù)空間的二維狄拉克方程。盡管同屬拓?fù)浞瞧接共牧希鉅柊虢饘俸褪?、二維拓?fù)浣^緣體的表現(xiàn)大不相同。二維參數(shù)空間的二維狄拉克方程的拓?fù)浞瞧接箲B(tài)有明確的體邊對(duì)應(yīng)的邊界態(tài)，這種邊界態(tài)可以是毗鄰而居的、具有不同手性的疇域構(gòu)成的毗鄰疇界態(tài)，或者是居于物理邊界的邊界態(tài)。與此形成鮮明對(duì)比的是三維參數(shù)空間的二維狄拉克方程，它的拓?fù)浞瞧接箲B(tài)不是邊界態(tài)，而是二維表面的費(fèi)米弧。

通過(guò)參數(shù)映射后的單極點(diǎn)模型，可以方便快捷地判斷新材料的拓?fù)湫再|(zhì)。不僅如此，還可以借鑒點(diǎn)電荷場(chǎng)分布，通過(guò)場(chǎng)通量快速計(jì)算貝利相。單極點(diǎn)模型簡(jiǎn)單、易行、方便、快捷，是研究二能級(jí)系統(tǒng)不可或缺的利器。充分利用單極點(diǎn)模型可以刪繁就簡(jiǎn)，有助于深刻理解二能級(jí)系統(tǒng)的拓?fù)湫浴?/p>