基于樣本信息的振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的響應(yīng)預(yù)測(cè)

劉迪，劉曉婷，李晶

（1.山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006；2.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024）

0 引言

近年來(lái)，振動(dòng)能作為綠色可再生的清潔能源受到了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。振動(dòng)能量采集系統(tǒng)是由一個(gè)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)耦合一個(gè)電路系統(tǒng)構(gòu)成，實(shí)現(xiàn)了將環(huán)境中的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，進(jìn)而為低功率的小型便攜設(shè)備供電。目前，振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換機(jī)制主要有三種，分別是壓電［1］，電磁［2］，和靜電［3］，其中壓電和電磁振動(dòng)能量采集系統(tǒng)由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和能量密度高等優(yōu)點(diǎn)受到了廣泛的研究。

在早期的研究中，研究者主要關(guān)注結(jié)構(gòu)頻率簡(jiǎn)單的線性振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)［4-6］。而現(xiàn)存環(huán)境中的振動(dòng)源的頻率大多復(fù)雜多變，因而為了可以有效地捕獲環(huán)境中的這些振動(dòng)能，研究者將非線性結(jié)構(gòu)引入到能量采集裝置中。根據(jù)非線性振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，可以分為單穩(wěn)態(tài)［7］、雙穩(wěn)態(tài)［8］和多穩(wěn)態(tài)［9］系統(tǒng)。眾所周知，隨機(jī)激勵(lì)系統(tǒng)存在于現(xiàn)實(shí)環(huán)境中且可激發(fā)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。因此，為了理解其對(duì)能量采集性能的影響，一些隨機(jī)方法被發(fā)展，用于研究隨機(jī)作用下模型結(jié)構(gòu)和采集性能之間的關(guān)系。例如，Zhou等［10］利用諧波平衡法研究了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)非線性三穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，并發(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)可以提高低水平環(huán)境激勵(lì)下能量采集性能。Wang等［11］使用細(xì)致平衡法研究了高斯白噪聲激勵(lì)下具有非對(duì)稱勢(shì)能的多穩(wěn)態(tài)能量采集器的隨機(jī)響應(yīng)特性。此外，Jin等［12］利用多尺度方法得到了窄帶隨機(jī)激勵(lì)下的遲滯雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在主共振附近的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解析表達(dá)式及其穩(wěn)定的條件。

Shannon信息熵描述了與隨機(jī)變量相關(guān)的全局不確定性，并量化了與隨機(jī)現(xiàn)象相關(guān)的信息內(nèi)容。最大熵原理是在約束條件下，通過(guò)求解最大熵函數(shù)來(lái)確定未知的概率分布［13］。它可以實(shí)現(xiàn)在已知部分信息的情況下推斷出未知的分布，因而得到了廣泛的應(yīng)用［14-15］。對(duì)于描述隨機(jī)現(xiàn)象的系統(tǒng)，Trebicki等［16］利用最大熵方法，在矩約束條件下求解平穩(wěn)概率分布。接著，Ricciardi等［17］基于最大熵原理建立一種局部隨機(jī)線性化方法。隨后，Tian等［18］利用最大熵原理和機(jī)器學(xué)習(xí)獲得了系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)概率密度函數(shù)。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文基于系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)程的樣本信息，利用最大熵原理提出了一種基于部分響應(yīng)信息的響應(yīng)概率密度函數(shù)預(yù)測(cè)方法，并詳細(xì)研究了單穩(wěn)態(tài)，雙穩(wěn)態(tài)及三穩(wěn)態(tài)非線性振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)。本文結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)提出了基于樣本信息預(yù)測(cè)響應(yīng)概率密度函數(shù)的理論方法，利用Euler-Maruyama方法得到隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)信息，進(jìn)而得到高階中心矩信息，在此基礎(chǔ)上，使用最大熵原理和高階中心矩信息對(duì)響應(yīng)概率密度函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。第2節(jié)中介紹了三種不同結(jié)構(gòu)勢(shì)函數(shù)的振動(dòng)能量采集系統(tǒng)，并應(yīng)用上一節(jié)所提出方法得出了概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式，然后使用直接蒙特卡洛模擬驗(yàn)證了所提出方法的有效性。最后給出相關(guān)結(jié)論。

1 基于響應(yīng)過(guò)程信息的概率密度預(yù)測(cè)

本文將提出一種基于隨機(jī)非線性振動(dòng)能量采集系統(tǒng)樣本信息的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)概率密度函數(shù)的預(yù)測(cè)方法，并將其應(yīng)用到三種不同非線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)系統(tǒng)中。

1.1 非線性振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及樣本信息

考慮一類質(zhì)量為M的機(jī)電耦合的振動(dòng)能量采集系統(tǒng)，其耦合方式主要分為壓電式或電磁式，相應(yīng)地?cái)?shù)學(xué)模型可以表示為：

最后，利用多目標(biāo)粒子群（PSO）算法，通過(guò)求解式（12）的最優(yōu)解，得到拉格朗日乘子λk，進(jìn)而獲得響應(yīng)過(guò)程的概率密度函數(shù)。在下一節(jié)中，我們通過(guò)三種不同結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)能量采集系統(tǒng)驗(yàn)證上述方法的有效性。

2 三種不同非線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)系統(tǒng)的概率密度函數(shù)預(yù)測(cè)

假設(shè)振動(dòng)能量采集系統(tǒng)（2）的勢(shì)函數(shù)U(X)具有如下一般形式解

這里參數(shù)r，k3和k5的不同組合可以形成三種不同的勢(shì)函數(shù)，如圖1所示，其中圖1（a）中的藍(lán)色，綠色和黃色分別表示單穩(wěn)態(tài)，雙穩(wěn)態(tài)和三穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù)。隨后，給定參數(shù)r和k5的情況下，圖1（b?d）展示了勢(shì)能函數(shù)隨參數(shù)k3的變化，并用紅線標(biāo)出相應(yīng)勢(shì)函數(shù)的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)變化。當(dāng)r=0，k5=1時(shí)，穩(wěn)態(tài)點(diǎn)個(gè)數(shù)從1到3，當(dāng)r=1，k5=1時(shí)，穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的個(gè)數(shù)從1到3，而r=2，k5=1時(shí)，只有兩個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)。觀察式（13），可以發(fā)現(xiàn)勢(shì)函數(shù)的最高次冪為六次，并且對(duì)于最大熵原理，我們?cè)谝阎到y(tǒng)前8階中心矩的情況下，基本可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出系統(tǒng)響應(yīng)的概率密度函數(shù)。因此在下面的研究中，我們分別基于單穩(wěn)態(tài)，雙穩(wěn)態(tài)和三穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù)的前8階樣本中心矩信息，利用多目標(biāo)PSO算法預(yù)測(cè)相應(yīng)的概率密度函數(shù)。

2.1 非線性單穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的概率密度函數(shù)預(yù)測(cè)

在這種情況下，我們?cè)趫D1（a）中的藍(lán)色區(qū)域任意選取一個(gè)點(diǎn)，即r=?1，k3=?4.6，k5=4。利用Euler-Maruyama方法，我們可以分別得到5 000個(gè)系統(tǒng)（2）三個(gè)響應(yīng)過(guò)程X，X?和Y的樣本點(diǎn)信息，如圖2所示，基于這些樣本點(diǎn)信息，由式（5）獲得各響應(yīng)過(guò)程的前8階樣本中心矩信息，通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題（12），進(jìn)而計(jì)算得到響應(yīng)過(guò)程的概率密度函數(shù)（10）的拉格朗日乘子。此時(shí)，三個(gè)響應(yīng)過(guò)程的概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式分別為

圖1 （a）穩(wěn)定點(diǎn)個(gè)數(shù)與參數(shù)的關(guān)系；（b）當(dāng)r=0，k5=1時(shí)，穩(wěn)態(tài)點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化；（c）當(dāng)r=1，k5=1時(shí)，穩(wěn)態(tài)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化；（d）當(dāng)r=2，k5=1時(shí)，只有兩個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)Fig.1 (a)Relationship between the number of steady points and parameters;(b)Change of steady state points whenr=0and k5=1;(c)Change of steady state points whenr=1andk5=1;(d)Whenr=2andk5=1,there are only two steady state points

圖2 單穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的響應(yīng)樣本信息。（a）位移X，（b）速度dX/dt，（c）感應(yīng)電壓YFig.2 Response samples information of monostable energy harvesting system.（a）Displacement X；（b）Velocity dX/dt；（c）Induced voltage Y

隨后，通過(guò)直接蒙特卡洛數(shù)值模擬法驗(yàn)證了預(yù)測(cè)解（14）的準(zhǔn)確性，圖3展示了預(yù)測(cè)解與直接蒙特卡洛數(shù)值模擬對(duì)比的結(jié)果，其中藍(lán)色的實(shí)線和紅色的星號(hào)分別表示由式（14）和直接蒙特卡洛數(shù)值模擬所獲得的結(jié)果。通過(guò)對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)它們之間存在很高的一致性。通過(guò)觀察式（14）中響應(yīng)過(guò)程 X 的概率密度函數(shù)的拉格朗日乘子，可以發(fā)現(xiàn)其中|λ2|，|λ4|和|λ6|遠(yuǎn)大于其他|λi|，是概率密度函數(shù)的主要部分，這與勢(shì)函數(shù)中的系數(shù)r，k3，k5?0一致，而其他λi較小則是由多目標(biāo)PSO算法求解目標(biāo)函數(shù)（12）的誤差引起的。

圖3 預(yù)測(cè)結(jié)果和直接蒙特卡洛模擬結(jié)果的比較。（a）位移X，（b）速度dX dt，（c）感應(yīng)電壓YFig.3 Comparison between predict results and direct Monte Carlo results.（a）DisplacementX；（b）VelocitydX dt；（c）Induced voltageY

2.2 非線性雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的概率密度函數(shù)預(yù)測(cè)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證方法的有效性，我們預(yù)測(cè)雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量采集系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)程的概率密度函數(shù)。在這種情況下，我們?cè)趫D1（a）中的綠色區(qū)域任意選取一個(gè)點(diǎn)，即r=2，k3=?4.6，k5=3。同樣利用Euler-Maruyama方法，我們可以分別得到5 000個(gè)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)（2）的三個(gè)響應(yīng)過(guò)程X，X?和Y的樣本點(diǎn)信息，如圖4所示，基于這些樣本點(diǎn)信息，利用式（5）計(jì)算獲得各響應(yīng)過(guò)程的前8階樣本中心矩信息，并通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題（12），進(jìn)而計(jì)算得到響應(yīng)過(guò)程的概率密度函數(shù)（10）的拉格朗日乘子。此時(shí)，預(yù)測(cè)的三個(gè)響應(yīng)過(guò)程的概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式分別為

圖4 雙穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的響應(yīng)樣本信息。（a）位移X，（b）速度dX/dt，（c）感應(yīng)電壓YFig.4 Response samples information of bistable energy harvesting system.（a）Displacement X；（b）Velocity dX/dt；（c）Induced voltage Y

隨后，通過(guò)直接蒙特卡洛數(shù)值模擬驗(yàn)證預(yù)測(cè)結(jié)果式（15）的準(zhǔn)確性，圖5展示了預(yù)測(cè)結(jié)果與直接蒙特卡洛數(shù)值模擬對(duì)比的結(jié)果，其中藍(lán)色的實(shí)線和紅色的星號(hào)分別表示由式（15）和直接蒙特卡洛數(shù)值模擬所獲得的結(jié)果。通過(guò)對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)在雙穩(wěn)態(tài)情況下存在很好的一致性，同時(shí)響應(yīng)過(guò)程X的概率密度函數(shù)具有雙峰，這與相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)存在2個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。此外，通過(guò)觀察式（15）中響應(yīng)過(guò)程X的概率密度函數(shù)的拉格朗日乘子，可以發(fā)現(xiàn)其中|λ2|，|λ4|和|λ6|同樣是概率密度函數(shù)的主要部分，其他|λi|?1，它們是由多目標(biāo)PSO算法求解目標(biāo)函數(shù)（12）的誤差引起的。

圖5 分析結(jié)果和直接蒙特卡洛模擬結(jié)果的比較。（a）位移X，（b）速度dX dt，（c）感應(yīng)電壓YFig.5 Comparison between analytical results and direct Monte Carlo results.（a）DisplacementX；（b）VelocitydX dt；（c）Induced voltageY

2.3 非線性三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的概率密度函數(shù)預(yù)測(cè)

最后，我們預(yù)測(cè)更為復(fù)雜的三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的概率密度函數(shù)，我們?cè)趫D1（a）中的黃色區(qū)域任意選取一個(gè)點(diǎn)，即r=0，k3=?4.6，k5=3。同樣利用Euler-Maruyama方法，可以分別獲得5 000個(gè)三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)（2）的響應(yīng)過(guò)程X，X?和Y的樣本點(diǎn)信息，如圖6所示，基于這些樣本點(diǎn)信息，利用式（5）計(jì)算獲得各響應(yīng)過(guò)程的前8階樣本中心矩信息，并通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題（12），進(jìn)而計(jì)算得到三穩(wěn)態(tài)響應(yīng)過(guò)程的概率密度函數(shù)（10）的拉格朗日乘子。此時(shí)，相應(yīng)的概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式分別為

圖6 三穩(wěn)態(tài)能量采集系統(tǒng)的響應(yīng)樣本信息。（a）位移X，（b）速度dX/dt，（c）感應(yīng)電壓YFig.6 Response samples information of tristable energy harvesting system.（a）DisplacementX；（b）Velocity dX dt；（c）Induced voltageY

通過(guò)直接蒙特卡洛數(shù)值模擬法驗(yàn)證預(yù)測(cè)解式（16）的準(zhǔn)確性，圖7展示了預(yù)測(cè)結(jié)果與直接蒙特卡洛數(shù)值模擬對(duì)比，其中藍(lán)色的實(shí)線和紅色的星號(hào)分別表示由式（16）和直接蒙特卡洛數(shù)值模擬所獲得的結(jié)果。通過(guò)對(duì)比，我們發(fā)現(xiàn)響應(yīng)過(guò)程的概率密度函數(shù)存在一致性，同時(shí)響應(yīng)過(guò)程X的概率密度函數(shù)具有三個(gè)峰，這與相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)存在3個(gè)穩(wěn)態(tài)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。通過(guò)觀察式（16）中響應(yīng)過(guò)程X的概率密度函數(shù)的拉格朗日乘子，同樣可以發(fā)現(xiàn)|λ2|，|λ4|和|λ6|是概率密度函數(shù)的主要部分，但其他|λi|是O(10?1)的同階或高階無(wú)窮小，它們同樣是由多目標(biāo)PSO算法求解目標(biāo)函數(shù)（12）的誤差引起的，但是它們相對(duì)于前兩種情況偏大，這就意味著三穩(wěn)態(tài)情況下的概率密度函數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果相對(duì)另外兩種情況較差。這就意味著，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，所需要的預(yù)測(cè)信息也就越多。

圖7 分析結(jié)果和直接蒙特卡洛模擬結(jié)果的比較。（a）位移X，（b）速度dX dt，（c）感應(yīng)電壓YFig.7 Comparison between analytical results and direct Monte Carlo results.（a）DisplacementX；（b）VelocitydX dt；（c）Induced voltageY

3 結(jié)論

本文提出了一種基于非線性能量采集系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)程樣本信息的響應(yīng)概率密度函數(shù)預(yù)測(cè)方法。首先，利用Euler-Maruyama方法得到隨機(jī)系統(tǒng)響應(yīng)樣本信息，進(jìn)而得到各響應(yīng)樣本的高階中心矩信息。其次，利用最大熵原理預(yù)測(cè)得到響應(yīng)過(guò)程的概率密度函數(shù)的表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上與高階中心矩信息結(jié)合，將響應(yīng)過(guò)程的概率密度函數(shù)的預(yù)測(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解多目標(biāo)函數(shù)最小值的優(yōu)化問(wèn)題，并通過(guò)多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法確定了概率密度函數(shù)的表達(dá)式。最后，分別以高斯白噪聲激勵(lì)下具有單穩(wěn)態(tài)，雙穩(wěn)態(tài)，三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的高階中心矩信息為例，得到了相應(yīng)地概率密度函數(shù)的表達(dá)式，并用直接蒙特卡洛模擬進(jìn)行了驗(yàn)證。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，概率密度函數(shù)指數(shù)部分的系數(shù)與勢(shì)函數(shù)的系數(shù)密切相關(guān)，而概率密度函數(shù)的部分指數(shù)系數(shù)較小是因?yàn)橛?jì)算優(yōu)化函數(shù)時(shí)的誤差所引起的，同時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)越簡(jiǎn)單，在同樣信息的條件下預(yù)測(cè)效果越好，因此對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的非線性隨機(jī)系統(tǒng)，將需要更多的樣本信息去提高預(yù)測(cè)精度。