算子代數(shù)上保持高維數(shù)值域的映射

齊霄霏，孫少星，胥兵，陳少波

（山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006）

0 引言

令B(H)是復(fù)Hilbert空間H上所有有界線性算子全體組成的代數(shù)，k為小于H維數(shù)的任意正整數(shù)。設(shè)A∈B(H)，回憶A的k-維數(shù)值域定義為或等價(jià)地定義為

近年來，算子代數(shù)上保持各種乘積k-維數(shù)值域映射的研究受到了國內(nèi)外許多學(xué)者的關(guān)注。記A=B(H)或者Bs(H)（H上所有自伴算子組成的Jordan代數(shù)），A°B表示A，B∈A的某種乘積。稱映射Φ：A→A保持算子乘積°的k-維數(shù)值域，若對(duì)任意A，B∈A有Wk(A°B)=Wk(Φ(A)°Φ(B))成立。對(duì)于k=1的情形，文獻(xiàn)［5］給出了B(H)與Bs(H)上分別保持算子乘積A°B=AB數(shù)值域的滿射的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，以及B(H)上保持算子Jordan半三重斜乘積A°B=BA*B數(shù)值域的滿射的具體刻畫形式。文獻(xiàn)［6］得到了B(H)和Bs(H)上分別保持Jordan乘積A°B=AB+BA數(shù)值域的映射的完全刻畫。文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］分別獲得了B(H)和Bs(H)上保持Lie乘積A°B=AB?BA數(shù)值域滿射的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。對(duì)于k>1的情形，文獻(xiàn)［9］給出了B(H)上保持Jordan乘積k-維數(shù)值域的滿射的具體刻畫。

另一方面，回憶數(shù)域F上的代數(shù)中任意兩個(gè)元A，B的ξ-Lie乘積定義為[A，B]ξ=AB?ξBA，其中ξ∈F（見文獻(xiàn)［10］）。顯然，ξ=0，1，?1的情形分別對(duì)應(yīng)于通常的乘積，Lie乘積和Jordan乘積。算子代數(shù)上與ξ-Lie乘積相關(guān)的各類保持問題也被許多學(xué)者研究（如見文獻(xiàn)［11-14］及里面的參考文獻(xiàn)）。關(guān)于k-維數(shù)值域的相關(guān)結(jié)果，文獻(xiàn)［15］給出了Bs(H)上保持算子ξ-Lie乘積（ξ≠1）數(shù)值域的一般滿射的刻畫。

本文的目的是研究B(H)上保持算子ξ-Lie乘積以及Jordan半三重斜乘積k-維數(shù)值域的一般映射的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。本文結(jié)構(gòu)如下。第1節(jié)給出了本文用到的B(H)中算子k-維數(shù)值域的一些重要性質(zhì)。第2節(jié)給出了B(H)上保持算子ξ-Lie乘積（ξ≠±1）k-維數(shù)值域的滿射的具體刻畫形式。第3節(jié)則給出了B(H)上保持算子Jordan半三重斜乘積k-維數(shù)值域的一般映射的結(jié)構(gòu)刻畫。

1 有界線性算子k-維數(shù)值域的性質(zhì)

本節(jié)給出復(fù)Hilbert空間上有界線性算子k-維數(shù)值域的相關(guān)性質(zhì)。

命題1［9，16-17］令H是復(fù)Hilbert空間，k是一個(gè)正整數(shù)，且滿足k

（1）若 U∈B(H)是酉算子，那么 Wk(UAU*)=Wk(A)；若 U∈B(H)是共軛酉算子，那么Wk(UAU*)=Wk(A*)=Wk(A)*，其中 Wk(A)*={-λ：λ∈Wk(A)}。

（2）對(duì)任意的λ∈?，我們有Wk(λA)=λWk(A)。

（3）Wk(A)={λ}當(dāng)且僅當(dāng)A=λI。

2 B(H)上保持ξ-Lie乘積k-維數(shù)值域的映射

3 B(H)上保持Jordan三重斜乘積k-維數(shù)值域的映射