一類帶阻尼項(xiàng)和負(fù)質(zhì)量項(xiàng)的波動(dòng)方程解的破裂

范雄梅， 明 森*， 韓 偉， 蘇業(yè)芹

(1.中北大學(xué)數(shù)學(xué)系， 太原 030051； 2.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)證券與期貨學(xué)院， 成都 611130)

本文在外區(qū)域上研究一類帶阻尼項(xiàng)和負(fù)質(zhì)量項(xiàng)的變系數(shù)波動(dòng)方程的初邊值問題

(1)

其中，

b1(t)∈C[0，∞)∩L1[0，∞)，

b2(t)∈C[0，∞)，tb2(t)∈L1[0，∞)，

b1(t)≥0，b2(t)>0，p，q>1．

近來，非線性波動(dòng)方程解的破裂及其生命跨度估計(jì)被廣泛關(guān)注[1-9].1981年，Strauss[1]研究了非線性波動(dòng)方程的小初值問題，得到其解具有Strauss臨界指數(shù)pc(n) (n≥2)，其中pc(n)是二次方程

r(p，n)=-[(n-1)p2-(n+1)p-2]=0

的正根.當(dāng)1pc(n)時(shí)，問題存在整體解.并且pc(1)=∞.文獻(xiàn)[2]在外區(qū)域上研究了帶小初值的變系數(shù)波動(dòng)方程，其中非線性項(xiàng)分別為|u|p與|ut|p.文獻(xiàn)[5]在n維全空間中研究了次臨界指數(shù)與散射阻尼情形的波動(dòng)方程，其中非線性項(xiàng)為|u|p.利用檢驗(yàn)函數(shù)方法與迭代方法得到解的生命跨度的上界估計(jì).文獻(xiàn)[6]分別研究了帶散射阻尼與尺度不變阻尼的波動(dòng)方程，其中非線性項(xiàng)為|ut|p.當(dāng)1

本文擬結(jié)合文獻(xiàn)[2，6-8，10]，在外區(qū)域上研究帶阻尼項(xiàng)、負(fù)質(zhì)量項(xiàng)與組合非線性項(xiàng)的變系數(shù)問題(1).主要結(jié)果如下．

定理1設(shè)n≥1.f∈H1(Ωc)，g∈L2(Ωc)為具有緊支集的非負(fù)光滑函數(shù).g(x)不恒等于0，

supp(f(x)，g(x))?BR(0)∩Ωc，R>2.

假設(shè)問題(1)的解滿足

suppu?{(x，t)∈Ωc×[0，T)| |x|≤t+R}.

若p>1且

則問題(1)的解u會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂.并且生命跨度T(ε)的上界估計(jì)為

T(ε)≤Cε-2p(q-1)/[2q+2-(n-1)p(q-1)]，

其中，C是與ε無關(guān)的正常數(shù)，

0<ε≤ε0=

ε0(f，g，n，p，q，R，b1(t)，b2(t))>0．

定理2假設(shè)n≥2，f，g具有與定理1相同的條件.設(shè)問題(1)的解滿足suppu?{(x，t)∈Ωc×[0，T)| |x|≤t+R}.當(dāng)p>2n/(n-1)，1

T(ε)≤Cε-(q-1)/[q+1-n(q-1)]．

定理3設(shè)n≥1，f，g滿足與定理1相同的條件.假設(shè)問題(1)的解滿足suppu?{(x，t)∈Ωc×[0，T)| |x|≤t+R}，則生命跨度T(ε)的上界估計(jì)滿足

注1文獻(xiàn)[8]在Rn中研究波動(dòng)方程的小初值問題，其中非線性項(xiàng)為|u|p.本文結(jié)合文獻(xiàn)[2，6-8，10]，在外區(qū)域上研究帶組合非線性項(xiàng)|ut|p+|u|q的變系數(shù)問題.通過引入乘子，將文獻(xiàn)[7]中的結(jié)果推廣到外區(qū)域上帶負(fù)質(zhì)量項(xiàng)的變系數(shù)情形，并且阻尼系數(shù)為b1(t)，而文獻(xiàn)[7]中b1(t)=μ/(1+t)β(β>1).本文利用檢驗(yàn)函數(shù)方法與迭代方法，得到問題(1)解的生命跨度的上界估計(jì).另外，可選取具體徑向?qū)ΨQ檢驗(yàn)函數(shù)φ0(x)=φ0(|x|)，見引理1．

注2當(dāng)q>2p-1，

2p(q-1)/[2q+2-(n-1)p(q-1)]> 2(p-1)/[2-(n-1)(p-1)]，

故定理3中的結(jié)果優(yōu)于定理1中的結(jié)果.當(dāng)p=pG(n)=(n+1)/(n-1)時(shí)，q>2p-1等價(jià)于q>1+4/(n-1)．

下面給出證明定理1～3時(shí)需用到的引理．

引理1[2]引入兩個(gè)檢驗(yàn)函數(shù)φ0(x)，φ1(x)∈C2(Ωc)，并且

另外，

其中，φ1(x)滿足?C1>0，使得

0<φ1(x)≤C1(1+|x|)-(n-1)/2e|x|，?x∈Ωc．

現(xiàn)記ψ(x，t)=e-tφ1(x)，其中φ1(x)如引理1中所述．

引理2[2]設(shè)p>1，φ0(x)與φ1(x)滿足引理1中的條件.則?t≥0，有

其中,C為正常數(shù)．

引理3[11]設(shè)b1(t)∈C[0，∞)∩L1[0，∞)是非負(fù)函數(shù)，且滿足

則有

m1(0)≤m1(t)≤1，

m′1(t)/m1(t)=b1(t)，?t≥0．

1定理1的證明

首先，給出問題(1)弱解的定義．

定義1設(shè)u是問題(1)在[0，T)上的弱解，

且滿足

(2)

證明記

其中，u是問題(1)在[0，T)上的解.此處ψ(x，t)=φ1(x)e-t，其中φ1(x)如引理1中所述.則有ψt=-ψ，ψtt=ψ=?j(aij(x)?iψ).

下面建立F0(t)的估計(jì)．

在式(2)中令φ(x，s)=φ0(x)，

(x，s)∈Ωc×[0，t]， |x|≤s+R，

并利用引理1，得到

(3)

其次，建立F1(t)的下界估計(jì)．

在(2)中令φ=ψ，并利用ψtt=?j(aij(x)?iψ)=ψ，ψt=-ψ，可得

此處已利用

從而

其中，

因此，利用F1(0)>0和F1(t)>0，則有

(4)

現(xiàn)建立F2(t)的估計(jì)．

直接計(jì)算得到

(5)

利用(2)和ψtt=?j(aij(x)?iψ)=ψ，ψt=-ψ，可得

(6)

結(jié)合(4)、(5)和(6)，則有

(7)

利用(2)可知

(8)

結(jié)合(4)、(7)和(8)，可得

(9)

設(shè)

ψ(x，s)dx，

G(t)≥e-2tG(0)>0，?t≥0.

因此

(10)

即

(11)

運(yùn)用Holder不等式，引理2及(11)，得到

(12)

其中，

將(12)代入(3)，并積分可得

F0(t)>C3εp(t+R)-(n-1)p/2tn+1，

其中，C3=m1(0)C2/[n(n+1)].利用Holder不等式及(3)，可知

(13)

下面利用迭代方法建立問題(1)解的生命跨度T(ε)的上界估計(jì)．

首先，對(duì)于t≥0，j∈N*，假設(shè)F0(t)滿足

F0(t)≥Dj(R+t)-ajtbj，

(14)

其中，Dj，aj，bj將在下文給出其定義，并且

D1=C3εp，a1=(n-1)p/2，b1=n+1.

(15)

將(14)代入(13)中，得到

F0(t)≥Dj+1(R+t)-n(q-1)-qajtqbj+2.

現(xiàn)定義序列{Dj}，{aj}，{bj}，滿足

aj+1=qaj+n(q-1)，bj+1=qbj+2.

(16)

則有F0(t)≥Dj+1(R+t)-aj+1tbj+1.利用(15)和(16)得到

于是，

F0(t)≥(t+R)nt-2/(q-1)exp(qj-1J(t)).

(17)

由于t≥R>2，可知

J(t)≥log (D1t1+2/(q-1)-(n-1)p/2)-C6，

其中，

C6=((n-1)p/2+n)log 2+Sq(∞)>0.

由于1

2定理2和定理3的證明

2.1定理2的證明

利用p>2n/(n-1)，結(jié)合(3)和引理3，得到

F0(t)≥C9ε(R+t)，

(18)

類似于定理1的證明過程，則有

F0(t)≥C11εq(R+t)-n(q-1)tq+2.

由于1

2.2定理3的證明

結(jié)合定理1的證明過程，在(10)中令

H′(t)≥C1-pHp(t)/[2(t+R)(n-1)(p-1)/2]，

(19)

其中，H(0)=[(m1(0)/2)C0，g]ε>0.通過求解不等式(19)，即得定理3中的生命跨度估計(jì)．