阿基米德的報(bào)復(fù)

保羅·霍夫曼

當(dāng)那位偉大的印度數(shù)學(xué)家斯里尼瓦薩羅摩奴阇得了結(jié)核病住在倫敦醫(yī)院時(shí)，他的同事G.H.哈迪去看望他。這位哈迪從來就不善于激起談興，他對(duì)羅摩奴阇說：“我是乘坐出租車來的，車的牌號(hào)為1729。對(duì)我來說，這個(gè)數(shù)字似乎很枯燥，我希望它不是個(gè)兇兆?！?/p>

“胡說，”羅摩奴阇回答說，“這個(gè)數(shù)字一點(diǎn)也不枯燥，相反它非常有趣。它是可以用兩種不同方式表示的作為兩個(gè)3次方之和的最小數(shù)。”（羅摩奴阇不知怎么立即就辨別出1729=13+123和93+103。）

羅摩奴阇死于1920年，年僅32歲。他是一位數(shù)論學(xué)家，是研究整數(shù)屬性的數(shù)學(xué)奇才。數(shù)論是數(shù)學(xué)中最古老的領(lǐng)域之一，在一定程度上說也是最簡單的領(lǐng)域。數(shù)當(dāng)然是數(shù)學(xué)最普遍的基礎(chǔ)材料，然而，關(guān)于它們?nèi)匀贿€有許多根本問題沒有解答。

公元前3世紀(jì)，當(dāng)波加的阿波羅尼奧斯天真地繼續(xù)研究阿基米德的大數(shù)時(shí)，可能不知曉等待他以及數(shù)代數(shù)學(xué)家的將是什么。“我要讓你們看一看誰懂得大數(shù)，”阿基米德想。據(jù)說，他出于報(bào)復(fù)之心而虛構(gòu)出關(guān)于牧牛的計(jì)算問題，解決這一問題所需的數(shù)字是如此龐大，以致直到最近才得以解決。而且，解決這一問題的并不是人而是機(jī)器：世界上最快的電腦。

提出類似牧牛這類極其困難的問題只不過是阿基米德許多令人難以置信的功績之一，這些功績使他在他那個(gè)時(shí)代就成了一個(gè)傳奇式人物。公元前212年，羅馬將軍馬塞盧斯圍困了西西里的敘拉古港，該城之王希倫請(qǐng)求王親阿基米德驅(qū)逐60艘敵艦。阿基米德不久前發(fā)明了杠桿（他因此說了這句名言：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我會(huì)搬動(dòng)整個(gè)地球。”），他將杠桿和滑輪結(jié)合在一起制成巨大的吊車，這些吊車將那些入侵的戰(zhàn)船吊出了港口。在戰(zhàn)斗中，吊車還得到弩石彈射器和凸面鏡的協(xié)助，凸面鏡把陽光聚焦到船上使船著火。結(jié)果，羅馬艦隊(duì)遭到了毀滅。馬塞盧斯說：“我們不要和這個(gè)幾何怪物進(jìn)行戰(zhàn)斗了，他拿我們的船當(dāng)杯子，從海中舀水?！?/p>

阿基米德使敵人3年不敢接近。后來，有一個(gè)晚上，當(dāng)敘拉古人忙于宗教慶典時(shí)，羅馬士兵攀上城墻并打開城門。當(dāng)馬塞盧斯的軍隊(duì)蜂擁而入時(shí)，他告訴部下說：“任何人都不得斗膽對(duì)阿基米德妄動(dòng)一個(gè)手指頭，這人是我們的座上賓?！?/p>

馬塞盧斯的一個(gè)士兵在庭院中找到阿基米德，其時(shí)，阿基米德正在沙地上畫幾何圖形，這位士兵違抗指令而拔出了劍。阿基米德請(qǐng)求說：“我的朋友，在你殺死我之前，請(qǐng)讓我把我的圓畫好?！边@位士兵沒有等待就把劍刺向阿基米德，阿基米德躺倒在地，喃喃地說：“他們奪走了我的軀體，但我將取走我的靈魂?！闭f完安然死去。

按照阿基米德的愿望，人們?cè)谒哪贡峡塘艘粋€(gè)圓柱體，柱體里面是一個(gè)球體——象征著他的驕傲的發(fā)現(xiàn)：球的體積是裝下該球的最小的圓柱體體積的三分之二。

這個(gè)傳說有多少是真的呢？阿基米德無疑是位機(jī)械天才。有充分證據(jù)表明他設(shè)計(jì)出能將50磅弩石拋出300英尺遠(yuǎn)的弩石彈射器。但近來對(duì)技術(shù)史的研究排除了他建造了能從海中吊起敵船的吊車的可能性。這種神話的根據(jù)可能是他發(fā)明過一種將他自己（不動(dòng)的）的船吊到岸上來的吊車式的裝置。

許多科學(xué)巨匠包括加利萊奧·伽利略和法國博物學(xué)家布豐伯爵，喬治-路易斯·萊克勒都對(duì)阿基米德用鏡子焚燒敵船感興趣，它與兒童用放大鏡點(diǎn)燃紙片非常相似。理論上說這種鏡子是可以制造的，但它要有一個(gè)保持太陽光線聚焦于移動(dòng)目標(biāo)上的可變焦距，普通鏡子是做不到這一點(diǎn)的。（1747年，布豐聲稱用一個(gè)復(fù)雜的鏡子使150英尺遠(yuǎn)的木頭著了火，并熔化了140英尺遠(yuǎn)的鉛。）不管怎樣，阿基米德不會(huì)費(fèi)力去制造一個(gè)特別鏡子的，因?yàn)槟菚r(shí)已經(jīng)出現(xiàn)了一種簡單而高效的燃燒武器：將石腦油與一種同水接觸即自動(dòng)燃燒的化學(xué)物質(zhì)相混合裝入罐中，人們把這種罐子擲向敵船。

對(duì)阿基米德之死的生動(dòng)描述可能相當(dāng)真實(shí)，盡管人們會(huì)對(duì)他所說的話表示懷疑。公元前75年，偉大的羅馬演說家西塞羅來到阿基米德的墓旁，發(fā)現(xiàn)墓碑上刻有外切一個(gè)球的圓柱體。

牛群的問題是怎么回事呢？它真是首先由阿基米德提出來的嗎？別管阿基米德是否真是出于一時(shí)賭氣而憑空想出這個(gè)問題的，人們知道他確曾推算過這個(gè)問題，因此至少有2，200年的歷史了。

這個(gè)問題開始是這樣的：“??！朋友，如果你智慧過人，那就專心致志算出那天那群公牛的數(shù)目吧。它們?cè)谖魑骼飴u的大平原上吃草，按毛色它們被分成4組：乳白牛、黑牛、黃牛和花斑牛。每組中的公牛數(shù)占大多數(shù)，它們之間的關(guān)系為：

1、白公牛=黃公牛+（1/2+1/3）黑公牛

2、黑公牛=黃公牛+（1/4+1/5）花斑

3、花斑公牛=黃公牛+（1/6+1/7）白公牛

4、白公牛=（1/3+1/4）黑牛

5、黑公牛=（1/4+1/5）花斑公牛

6、花斑公牛=（1/5+1/6）黃牛

7、黃公牛=（1/6+1/7）白牛

該問題繼續(xù)說：“??！朋友，如果你能算出每群中公牛和母牛的數(shù)目，你還是稱不上無所不知或精通數(shù)字，也不能被列入智者之列?！庇谑窃搯栴}涉及到其數(shù)學(xué)的本質(zhì)部分：解7個(gè)帶有8個(gè)未知數(shù)的等式（4組不同顏色的公牛和4組相應(yīng)顏色的奶牛）。原來，這些等式并不難解。事實(shí)上，它們有無限多的答案，而牛群總頭數(shù)的最小數(shù)值為50，389，082，這些?？梢栽谖魑骼?，358，400公頃的大平原上自由自在地吃草。

然而，阿基米德并未就此停止。他對(duì)公牛數(shù)目另外又提出了兩項(xiàng)限制條件，從而使這問題變得難多了：

8.白公牛+黑公牛=一個(gè)平方數(shù)。

9.花斑公牛+黃公牛=一個(gè)三角數(shù)。

問題最后說：“如果你已算出這群牛的總數(shù)，噢！朋友，你儼然就是一個(gè)征服者了，不消說，你就是數(shù)字科學(xué)方面的專家了。”

阿基米德的牛群問題由于采用了三角數(shù)和平方數(shù)的概念而與華達(dá)哥拉斯的工作有關(guān)。公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯及其追隨者用圓點(diǎn)布置成三角、四方或其他幾何圖形來表示數(shù)。如3、6和10這些數(shù)被稱為三角數(shù)，因?yàn)樗鼈兛捎蓸?gòu)成三角的圓點(diǎn)來表示：5781B761-BDCC-40F5-A383-B2D32341EC63

西門從海中拽出的魚的數(shù)目153也是一個(gè)三角數(shù)。由于同樣的原因，像4，9和16這些數(shù)被稱為平方數(shù)，因?yàn)樗鼈兛梢杂脠A點(diǎn)布置成正方形來表示：

不要以為古人為斷定某個(gè)特定的數(shù)是否可以由特定的幾何圓點(diǎn)圖形表示而耗費(fèi)長時(shí)間去胡寫亂畫，要知道，解決這一問題存在一種純數(shù)的方法。所有三角數(shù)都可由連續(xù)的整數(shù)（從1開始）相加得出;如3=1+2，6=1+2+3，以及10=1+2+3+4。所有的平方數(shù)都可由整數(shù)的平方得出：4=2×2，9=3×3，及16=4×4。

由于用三角數(shù)和平方數(shù)對(duì)公牛進(jìn)行限制，牛問題變得非常棘手，兩千年里沒有取得真正的進(jìn)展。1880年，一位德國研究者在經(jīng)過枯燥計(jì)算之后表明：符合所有8項(xiàng)條件的最小的牛頭數(shù)為一個(gè)有206，545位數(shù)的數(shù)，該數(shù)是以776開頭的。阿基米德可能是一個(gè)有魔力之人，但他決不是個(gè)現(xiàn)實(shí)主義者：西西里小島上決不會(huì)容下這樣一群牛。正如一位數(shù)理論家所說：“即使它們是最小的微生物——不，即使它們是電子，一個(gè)以從地球到銀河的距離為半徑的圓也只能包含這種動(dòng)物的很小一部分?！?/p>

但沒人認(rèn)為缺乏現(xiàn)實(shí)感會(huì)妨礙數(shù)學(xué)研究。20年后的1899年，伊利諾斯希爾斯伯勒的一位土木工程師和他的幾位朋友組成希爾斯伯勒數(shù)學(xué)俱樂部，致力于發(fā)現(xiàn)余下的206，542位數(shù)。經(jīng)過4年運(yùn)算后，他們最后宣布，他們發(fā)現(xiàn)了12位最右邊的數(shù)，又另外發(fā)現(xiàn)了28位最左邊的數(shù)，但后來證明他們算的數(shù)都弄錯(cuò)了。60年后，3位加拿大人運(yùn)用計(jì)算機(jī)首次發(fā)現(xiàn)了全部的答案，但他們從未予以公開發(fā)表。1981年，當(dāng)出自勞倫斯·利弗莫爾國家實(shí)驗(yàn)室的克雷1號(hào)巨型計(jì)算機(jī)的47頁硬拷貝縮印在《趣味數(shù)學(xué)》雜志上時(shí)，全部的206，545位數(shù)才最終公布于世。

當(dāng)時(shí)，克雷1號(hào)是世界上運(yùn)算最快的計(jì)算機(jī)?？死拙扌陀?jì)算機(jī)是昂貴的——最新型號(hào)值2，000萬美元，實(shí)驗(yàn)室和公司不會(huì)買它來解決古老的數(shù)論問題。購買它是用于配制新的藥物，勘探石油，破譯蘇聯(lián)密碼，在好萊塢電影中造成輝煌的特別效果以及模擬太空武器。

然而，人們常常讓巨型計(jì)算機(jī)解決數(shù)論史上棘手的計(jì)算問題，以便證明它們是否運(yùn)轉(zhuǎn)正常。計(jì)算這種問題的好處是可以輕易地對(duì)其答案——即使以前不知道這些答案——進(jìn)行檢驗(yàn)：將它們還原到其等式中去。阿基米德的牛群問題正是在勞倫斯·利弗莫爾實(shí)驗(yàn)室檢驗(yàn)克雷1號(hào)時(shí)得以解決的。這臺(tái)巨型計(jì)算機(jī)僅用10分鐘就發(fā)現(xiàn)了206，545位數(shù)的答案，并兩次檢驗(yàn)了這一問題的運(yùn)算。

讓我們以一個(gè)阿基米德曾處理過而我們也許能解決的問題來結(jié)束本文吧。希倫給金匠一定量的金子（設(shè)其重量為W）制造皇冠。當(dāng)希倫收到那頂皇冠時(shí)，他請(qǐng)阿基米德鑒定它是否含有全部的金子，或金匠是否偷走了一些而代之以較廉價(jià)的金屬。公元前1世紀(jì)著名的羅馬建筑師維特魯威是這樣記載的：“阿基米德反復(fù)琢磨這一問題，一天他偶然來到洗澡間，在那兒，他注意到，當(dāng)他坐進(jìn)浴缸里，漫出浴缸的水的數(shù)量等于他浸在浴缸中的身體所排出的水量。這一點(diǎn)向他暗示了解決這一問題的方法，于是他立即欣喜地跳出浴缸，光著身子向家奔去，并大聲喊著他已發(fā)現(xiàn)了他尋找的東西。因?yàn)楫?dāng)他跑的時(shí)候，他反復(fù)大聲地用希臘語叫道，我找著啦！我找著啦！”

他找到了什么？阿基米德領(lǐng)悟到：既然金是密度最大的金屬，那么，重量為W的純金皇冠的體積會(huì)比同樣重量攙假的金皇冠的體積要小些。他讓一個(gè)容器裝滿水并投進(jìn)重量為W的金子。然后他將溢出來的水收集起來，這些水的體積與該金子的體積相等。下一步他讓另一個(gè)容器裝滿水，皇冠在監(jiān)督之下被放入水中。果然，它排出的水體積較大，證明那位卑劣的金匠偷去了希倫國王的金子。

（吳晶晶摘選自《阿基米德的報(bào)復(fù)》[美]保羅.霍夫曼著）5781B761-BDCC-40F5-A383-B2D32341EC63