基于ARIMA模型對江蘇省GDP的預(yù)測

查 華，石 舢

(1.南京審計(jì)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210031；2.喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844000)

0 引言

GDP數(shù)據(jù)的大小從一個角度反映了這個國家或地區(qū)的經(jīng)濟(jì)狀況，因此預(yù)測和分析GDP數(shù)據(jù)未來的走勢，具有非常重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義.GDP數(shù)據(jù)受多方面的因素影響.江蘇省地區(qū)生產(chǎn)總值自改革開放以來持續(xù)增長，江蘇省GDP總量一直位居全國前幾位.本文以通過江蘇省統(tǒng)計(jì)年鑒獲取了1975-2020年GDP數(shù)據(jù)為樣本，以1975-2017年江蘇省GDP數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集，以2018-2020年江蘇省GDP數(shù)據(jù)為測試集，通過相對性誤差分析，構(gòu)建了可信度較高的ARIMA模型.對江蘇省未來2年的GDP做出了預(yù)測，預(yù)測的結(jié)果為江蘇省制定經(jīng)濟(jì)決策提供了參考.

隨著近些年來對經(jīng)濟(jì)的研究熱度持續(xù)上升，GDP是在經(jīng)濟(jì)研究中的一個重要指標(biāo).目前對GDP數(shù)據(jù)的預(yù)測方法眾多，國內(nèi)目前也有不少學(xué)者通過不同的預(yù)測方法對GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測，也獲得了不同預(yù)測效果.朱佳俊[1]通過選用1978-2018年我國的GDP數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析R軟件先后構(gòu)建了ARIAM模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、組合預(yù)測模型，最終通過構(gòu)建預(yù)測效果較好的改進(jìn)組合模型對我國未來3年的GDP進(jìn)行了預(yù)測.嚴(yán)彥文[2]通過對1975-2015年GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，構(gòu)建了ARIMA(1，1，1)模型，對山東省未來五年的GDP進(jìn)行了預(yù)測.沈秋彤[3]以1978-2013年遼寧省的GDP數(shù)據(jù)為樣本，構(gòu)建了ARIMA(1，1，1)模型并對遼寧省2012-2014年GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測，經(jīng)過對比發(fā)現(xiàn)2012和2013年實(shí)際GDP和預(yù)測GDP相對誤差都控制在5%以內(nèi).同時對遼寧省統(tǒng)計(jì)局當(dāng)年發(fā)布的2014年GDP數(shù)據(jù)和模型預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)預(yù)測誤差控制在5%以內(nèi)，模型短期預(yù)測效果較好.宋平和邱燕玲[4]選取1993-2016年青海省GDP數(shù)據(jù)，通過構(gòu)建ARIMA、最小二乘模型和逐步回歸3個模型分別對青海省2015年和2016年兩年GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，得出了3個模型都有較好的預(yù)測效果，同時ARIMA模型短期預(yù)測效果較好，在預(yù)測10年以及時間更長的長期預(yù)測效果較差.本文選取江蘇省1975-2020年GDP數(shù)據(jù)，通過spss軟件和python軟件數(shù)據(jù)分析的功能構(gòu)建ARIMA模型，對江蘇省未來2年的GDP數(shù)據(jù)做出了預(yù)測.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 ARIMA模型理論基礎(chǔ)

ARIMA是差分自回歸移動平均模型的英文縮寫，其中AR表示的是自回歸模型，MA表示的是移動平均模型，I表示的是差分[5].它針對的是平穩(wěn)的時間序列模型.然而在現(xiàn)實(shí)生活中絕大多數(shù)時間序列都是非平穩(wěn)的.因此可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行差分，使其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時間序列，再用ARIMA模型對其數(shù)據(jù)進(jìn)行建模和預(yù)測.ARIMA模型是根據(jù)過去不同時期數(shù)據(jù)的相關(guān)性，可以進(jìn)行有效和精準(zhǔn)的短期預(yù)測，它彌補(bǔ)了AR和MA進(jìn)行預(yù)測出現(xiàn)的參數(shù)過多問題，在短期預(yù)測領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用.它的基本形式如下：

Φ(B)(1-B)dyt=Θ(B)εt，

E(εk,εt)=0,k≠t,E(εt)=0,Var(εt)=σ2，

E(εt,yk)=0,?k

ARIMA模型是由AR(自回歸)模型和MA(移動平均)模型經(jīng)過差分構(gòu)成的組合模型，一般寫成ARIMA(p，d，q).p和q分別為自回歸階數(shù)和移動平均階數(shù)，d表示差分的次數(shù)，一般可以通過幾階差分將不平穩(wěn)的序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的序列，一般差分的階數(shù)不超過3階.上述公式中{yt}表示需要預(yù)測的時間序列;Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp,表示模型的自回歸多項(xiàng)式;以及Θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq，表示為模型的移動平均多項(xiàng)式;{εt}則為白噪聲序列,d表示差分的次數(shù)[5].

1.2 ARIMA模型建模流程

在對ARIMA模型理論相關(guān)知識了解的基礎(chǔ)上，用ARIMA模型進(jìn)行建模預(yù)測就變得非常容易了.具體建模流程如下所示:

(1)首先需要對需要擬合的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn).

(2)若擬合的樣本數(shù)據(jù)不是平穩(wěn)數(shù)據(jù)，則需要進(jìn)行差分使其平穩(wěn)化.否則進(jìn)行下一步.

(3)對平穩(wěn)的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，若是白噪聲數(shù)據(jù)，則建模結(jié)束；否則進(jìn)行下一步.

(4)對平穩(wěn)非白噪聲的樣本數(shù)據(jù)建立ARIMA模型.

(5)模型的優(yōu)化和應(yīng)用.

具體的ARIMA建模流程圖如圖1所示.

圖1 ARIMA建模流程圖

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)來源

本文以江蘇省1975-2017年的GDP數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，以2018-2020年的GDP數(shù)據(jù)作為測試集構(gòu)建了ARIMA模型，并預(yù)測了江蘇省未來2年的GDP數(shù)據(jù).1975-2020年的GDP數(shù)據(jù)均來自于江蘇省統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站所發(fā)布的江蘇省統(tǒng)計(jì)年鑒，所有GDP數(shù)據(jù)如表1所列.

表1 1975-2020年江蘇省GDP數(shù)據(jù) 單位:億元

2.2 平穩(wěn)性檢驗(yàn)及處理

一般在生活中得到的原始時間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，所以要對數(shù)據(jù)進(jìn)行差分或者取對數(shù)運(yùn)算，使原始時間序列數(shù)據(jù)變成平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù).江蘇省1975-2020年GDP數(shù)據(jù)，選取了1975-2017年數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集，2018-2020年數(shù)據(jù)為測試集，通過時序圖以及平穩(wěn)性檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是非平穩(wěn)的，時間序列圖如圖2所示.

圖2 江蘇省1975-2017年GDP時序圖

經(jīng)過對GDP數(shù)據(jù)取對數(shù)和一次差分后，通過觀察時序圖可以看出數(shù)據(jù)變成了平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)，通過取對數(shù)和一階差分后的GDP數(shù)據(jù)趨勢基本消除，但是這并不能夠精準(zhǔn)地判斷該數(shù)據(jù)為平穩(wěn)時間序列.對GDP數(shù)據(jù)取對數(shù)和一次差分的時間序列圖如圖3所示.

圖3 江蘇省GDP數(shù)據(jù)取對數(shù)一階差分后時序圖

接下來將通過更為嚴(yán)格的單位根檢驗(yàn)來進(jìn)行判斷.

通過單位根檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)p值為0.000 752，分別大于顯著性水平為1%和5%以及10%所對應(yīng)的臨界值，可以判斷不存在單位根，可以判斷出該數(shù)據(jù)為平穩(wěn)時間序列.ADF檢驗(yàn)結(jié)果如表1所列.

表1 取對數(shù)后且一階差分后的GDP序列ADF檢驗(yàn)

同時使用python軟件對該組數(shù)據(jù)使用Q檢驗(yàn)進(jìn)行了白噪聲檢驗(yàn)，結(jié)果返回統(tǒng)計(jì)量和p值，發(fā)現(xiàn)p值全部都小于0.05，表明該平穩(wěn)序列不是白噪聲.

2.3 ARIMA模型的建立及估計(jì)

在通過平穩(wěn)性處理的過程中，模型中的d可以確定為1，模型中的另外兩個參數(shù)p和q通過觀察ACF和PACF圖來確定.使用python軟件繪制的ACF和PACF圖如圖4和圖5所示.

圖4 江蘇省GDP取對數(shù)一階差分后序列自相關(guān)圖

圖5 江蘇省GDP取對數(shù)一階差分后序列偏自相關(guān)圖

從圖中可以看出,自相關(guān)圖經(jīng)過1階延遲之后，ACF均落在于兩倍的標(biāo)準(zhǔn)差范圍之內(nèi).同時取值圍繞0上下波動，呈現(xiàn)出截尾性質(zhì).而PACF衰減到0的速度比較慢,呈現(xiàn)出拖尾的性質(zhì).初步可以判定擬合MA模型.

但是通過ACF和PACF圖對模型進(jìn)行定階主觀性較強(qiáng)，最后通過AIC和BIC準(zhǔn)則來確定.最終通過使用python軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得出當(dāng)p=0，q=1時，AIC值和BIC值均取得最小值.最終模型確定為ARIMA(0，1，1)，模型統(tǒng)計(jì)和參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表2、表3所列.

表2 模型統(tǒng)計(jì)

表3 ARIMA 模型參數(shù)

表2中可以看出相關(guān)系數(shù)為0.998 714，說明模型的擬合效果較好.同時p值為0.995 302，大于顯著性水平0.05，說明殘差序列為白噪聲.同時還沒有離群值的出現(xiàn)，反映出模型整體擬合的效果不錯.從表3的參數(shù)估計(jì)結(jié)果來看，p值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于顯著性水平0.05，說明模型的參數(shù)都是顯著的，通過了參數(shù)的顯著性檢驗(yàn).最終的預(yù)測模型確定為ARIMA(0.1,1)模型.

2.4 ARIMA模型預(yù)測

通過選取江蘇省1975-2020年GDP數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集，建立了ARIMA(0，1，1)模型，同時預(yù)測了2018-2022年江蘇省GDP數(shù)據(jù)，預(yù)測值見表4所列.

從表4可以看出模型預(yù)測的相對誤差均在10%以下，平均相對誤差為3.75%，整體預(yù)測效果較好.同時也給出了江蘇省未來2年的GDP數(shù)據(jù)分別為109 505.67億元，123 192.63億元.但是隨著預(yù)測年份的增加，預(yù)測的GDP數(shù)據(jù)誤差也漸漸變大.也反映出ARIMA模型適合做短期預(yù)測，不適合進(jìn)行長期預(yù)測.

表4 2018-2022年江蘇省GDP預(yù)測值與實(shí)際值對比 單位：億元

3 結(jié)語

本文通過選取江蘇省1975-2017年GDP數(shù)據(jù)為測試集，2018-2020年GDP數(shù)據(jù)為驗(yàn)證集.構(gòu)建了ARIMA(0，1，1)模型，預(yù)測了江蘇省2018-2022年的GDP.可以看出模型在驗(yàn)證集上表現(xiàn)出較好的預(yù)測效果，平均相對誤差在5%以下.最后從結(jié)果可以看出,未來2年江蘇省GDP呈現(xiàn)出穩(wěn)步增長的趨勢，為當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)決策者作出經(jīng)濟(jì)決策提供了一定的參考.同時隨著預(yù)測年份逐漸增加，預(yù)測精度也發(fā)生了下降，也反映出ARIMA模型適合短期預(yù)測.尤其是2020年江蘇省GDP預(yù)測值出現(xiàn)了超過5%的誤差，也有可能和2020年出現(xiàn)的新冠疫情有關(guān).