帶局部交流函數(shù)及自由意志的單領(lǐng)導(dǎo)Cucker-Smale模型的漸近集群分析

趙子玉，劉易成

(國(guó)防科技大學(xué) 文理學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

鳥(niǎo)群、魚(yú)群等自然界的動(dòng)物具有自組織的群體效果，即：使用局部信息和簡(jiǎn)單規(guī)則便可從無(wú)序的狀態(tài)過(guò)渡到有序運(yùn)動(dòng)中。匈牙利著名的生物物理學(xué)家Vicsek[1]率先提出了一種刻畫(huà)集群行為的動(dòng)力學(xué)模型；之后， Jadbabaie等[2]基于一定的假設(shè)條件從數(shù)學(xué)的角度嚴(yán)格證明了上述實(shí)驗(yàn)的正確性，但這樣的行為演化規(guī)則過(guò)于理想化。因此，2007年Cucker和Smale[3-4]提出了一個(gè)非常有實(shí)際意義的集群模型，后來(lái)把它稱為Cucker-Smale模型(簡(jiǎn)稱C-S模型)。這種模型考慮了個(gè)體數(shù)量以及個(gè)體在空間的幾何關(guān)系。Ha等[5]利用Lyapunov泛函的技巧對(duì)C-S模型進(jìn)行了一個(gè)簡(jiǎn)潔的分析并改進(jìn)Cucker[3]和Tadmor[6]的結(jié)果，Ha發(fā)現(xiàn)對(duì)于長(zhǎng)程相互作用的C-S模型，系統(tǒng)會(huì)以指數(shù)收斂速度達(dá)到無(wú)條件的同步，即對(duì)任意給定的初值，所有個(gè)體的速度會(huì)指數(shù)收斂到同一值，但對(duì)于短程相互作用的C-S模型，要想達(dá)到同步性的結(jié)果，就需要對(duì)初值加以限制。此后，出現(xiàn)了大量的數(shù)學(xué)模型來(lái)研究群體行為[7-10]。

生物學(xué)家Ballerin和他的團(tuán)隊(duì)在研究鳥(niǎo)類集群時(shí)發(fā)現(xiàn)每一個(gè)鳥(niǎo)只能夠直接地影響它周圍的六七只鳥(niǎo)，并在一些生物系統(tǒng)比如蟻群、魚(yú)群以及蜂群中發(fā)現(xiàn)每個(gè)個(gè)體主要被其周圍個(gè)體所影響[11-13]。所以，2016年Cucker和Dong[14]提出了受最小鄰居集影響的模型，同年金春銀[15]在其博士論文中研究了局部C-S 模型在同步狀態(tài)附近的大時(shí)間行為。

從20世紀(jì)80年代開(kāi)始，生物學(xué)家揭示了每一個(gè)生命體——小到單細(xì)胞組織大到人類都存在著自由意志[16-18]。在此基礎(chǔ)上的研究工作有：Cucker[19]在C-S模型中增加了自由意志，其定義的自由意志依賴于跟其他個(gè)體的相對(duì)速度；2008年，Shen[20]在他的連續(xù)HL模型中考慮了自由意志；Dong[21]在2013年研究了具有自由意志的離散HL模型；2016年，李樂(lè)[22]在其博士論文中將自由意志引入等級(jí)結(jié)構(gòu)中，研究了具有等級(jí)結(jié)構(gòu)和自由意志的多智能體復(fù)雜系統(tǒng)的集群控制。

除此之外，有科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)在集群運(yùn)動(dòng)中廣泛存在著領(lǐng)導(dǎo)和跟隨關(guān)系，例如，Vicsek發(fā)現(xiàn)鴿子長(zhǎng)途飛行中就存在著這種關(guān)系[23]。其他科學(xué)家也發(fā)現(xiàn)，當(dāng)幾只工蜂發(fā)現(xiàn)蜜源，就會(huì)回來(lái)通知其他蜜蜂一起去采蜜，而這幾只有經(jīng)驗(yàn)的工蜂就會(huì)擔(dān)當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)者的角色[24]。所以基于以上發(fā)現(xiàn)，Li和Xue[25]提出了一個(gè)離散的集群模型，在這個(gè)模型中存在一個(gè)全局領(lǐng)導(dǎo)者，它不受其他個(gè)體的影響，但其直接或間接地影響著其他個(gè)體。

在總結(jié)上述研究后發(fā)現(xiàn)，人們將局部交流函數(shù)引入等級(jí)結(jié)構(gòu)中的研究還很少；再直觀地想，集群的形成應(yīng)該和半徑有關(guān)，而此類結(jié)論同樣也很少見(jiàn)。因此，本文主要考慮帶有局部交流函數(shù)及自由意志的等級(jí)C-S模型。首先討論領(lǐng)導(dǎo)者速度變化的情形，然后考慮領(lǐng)導(dǎo)者速度恒定不變的情形，最后給出數(shù)值仿真。

1 局部交流函數(shù)下的等級(jí)結(jié)構(gòu)

1.1 基本定義

考慮兩個(gè)等級(jí)的局部C-S模型，領(lǐng)導(dǎo)者處于第一層級(jí)，其位移速度描述為：

(1)

第二層級(jí)為N個(gè)追隨者，其位移速度描述為：

(2)

其中：

Ni(t)=card{j:|xj(t)-xi(t)|

xi∈d,vi∈d，α為通信強(qiáng)度，N={1,…,N}，fi(t)為自由意志。 局部交流函數(shù)描述為：對(duì)給定的交流半徑r，小于交流半徑有聯(lián)系，大于交流半徑則失去聯(lián)系，通信函數(shù)φ(s)具體表現(xiàn)形式為φ(s)=1/(1+s2)β(0≤β<0.5)或φ(s)≡1。注意到χr(s)≤1，因此進(jìn)而令對(duì)于φ(s)=1/(1+s2)β(β<0.5),r=∞,由已有結(jié)論可知其無(wú)條件集群[3-6]。

本文主要目的是給出與初值相關(guān)的最小半徑的充分條件并給予證明。 此模型更加貼近現(xiàn)實(shí)，原因?yàn)椋阂皇橇Ｗ硬辉偈侨蚪换ザ蔷植啃畔⒔换?，二是考慮了現(xiàn)實(shí)中廣泛存在的等級(jí)結(jié)構(gòu)，三是考慮了粒子本身固有動(dòng)力學(xué)特性即自由意志。 首先給出集群的定義即位移和速度有界。

定義1多智能系統(tǒng)式(1)和式(2)有漸近解當(dāng)且僅當(dāng)其解{xi,vi}(i=1,…,N)滿足以下兩個(gè)條件：

1)速度差關(guān)于時(shí)間有界，即：

其中vc為一個(gè)常向量，C為一個(gè)常數(shù)。

2)位移差關(guān)于時(shí)間有界，即：

1.2 局部函數(shù)下的一般等級(jí)結(jié)構(gòu)

那么此系統(tǒng)會(huì)形成集群。

證明：由局部交流函數(shù)可知粒子無(wú)法與每個(gè)粒子進(jìn)行交互，因此考慮兩種情形——情形1：i∈εp(t); 情形2：i∈εj(t),j≠p,即i處在領(lǐng)導(dǎo)p半徑內(nèi)或其他粒子j半徑內(nèi)，其中εj(t)=card{i:‖xi-xj‖

dV2p(t)=max{‖vi-vj‖}

dX2p(t)=max{‖xi-xj‖}

dV1(t)=max{‖vi(t)-vj(t)‖}

dX1(t)=max{dX1p(t),dX2p(t)}

首先直接計(jì)算可得：

αvp(t)+fi(t)-fp(t),vi(t)-vp(t)〉

α〈vi(t)-vp(t),vi(t)-vp(t)〉+〈fi(t)-fp(t),

vi(t)-vp(t)〉

(3)

又因?yàn)?/p>

那么可以得到不等式：

‖fi(t)-fp(t)‖-αdV1p(t)

(4)

(5)

首先在情形1中構(gòu)造如下能量函數(shù)：

對(duì)構(gòu)造的能量函數(shù)求導(dǎo)得E′1p(t)≤0，那么有E1p(t)≤E1p(0)，化簡(jiǎn)后有：

對(duì)于情形2，可以找到粒子j使得i∈εj(t)，即i和j可相互聯(lián)系，同理構(gòu)造能量函數(shù)：

可知E′2p(t)≤0?E2p(t)≤E2p(0)，由定理?xiàng)l件得：

式中，CM為系統(tǒng)內(nèi)粒子間的最大距離。

由χr(s)為遞減函數(shù)，故有χ(dX1(t))≥χ(CM)，那么粒子間的最大速度差估計(jì)為：

由Gronwall不等式且當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)有：

即速度有界，至此已證明了速度位移有界，由定義可知式(1)、式(2)有集群行為。

□

1.3 局部函數(shù)下的特殊等級(jí)結(jié)構(gòu)

此小節(jié)考慮式(1)、式(2)退化到特殊情形時(shí)的等級(jí)結(jié)構(gòu)(領(lǐng)導(dǎo)個(gè)體速度恒定不變，追隨者的動(dòng)力學(xué)模型不變)，即：

(6)

處于第二等級(jí)的為追隨者，其位移速度描述為式(2),類似于定理1的結(jié)論，便可得到上述模型的最小半徑估計(jì)。

那么此系統(tǒng)會(huì)形成集群。

證明：類似于定理1中式(3)～(5)的推導(dǎo)過(guò)程有

故構(gòu)造能量函數(shù)

同理對(duì)其求導(dǎo)有：

≤0

故可知E(t)≤E(0)，由此可以得到：

那么有dX1(t)

同樣由Gronwall不等式且當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，粒子最大位移差滿足如下不等式：

□

2 仿真結(jié)果

圖1的初始信息為(xp,x1,…,x7)=(5,15,25,35,45,55,65,75),(vp,v1,…,v7)=(6,8,7,9,8,8.5,7.5,9)，主要說(shuō)明半徑對(duì)集群的形成起著至關(guān)重要的作用。由模型知速度趨向于平均速度，而圖1的平均速度約為7.8，且可知自由意志(v4,v6,v8>7.8)為正起著抑制集群的作用，但圖1(c)依舊能形成集群，說(shuō)明半徑比自由意志的作用更大。圖2的初始信息為(xp,x1,…,x7)=(44,32,20,56,20,56,68,80),(vp,v1,…,v7)=(10,11,10.5,12,11.5,12.5,13,13)，經(jīng)計(jì)算其平均速度約為11.6。由圖2(b)可以發(fā)現(xiàn)其使得粒子群集群，圖2(c)中加入反作用后可以發(fā)現(xiàn)其使得粒子分群數(shù)量更多，進(jìn)一步說(shuō)明了自由意志的作用有正反兩方面。另外，兩個(gè)實(shí)驗(yàn)都可發(fā)現(xiàn)，粒子群最終速度不會(huì)趨于同一值，而是形成一定程度的波動(dòng)，驗(yàn)證了速度的有界性。圖3的初始集同圖1，其有無(wú)自由意志的對(duì)比說(shuō)明增加的自由意志可以使集群的行為更加復(fù)雜，更加貼近現(xiàn)實(shí)的復(fù)雜集群，也說(shuō)明考慮帶有自由意志的等級(jí)結(jié)構(gòu)模型的必要性。圖4對(duì)數(shù)據(jù)xp=(5,6),x1=(15,16),x2=(25,26),x3=(35,36),x4=(45,46),x5=(55,56),x6=(75,76)，x7=(95,96),vp=(6,9),v1=(8,8.5),v2=(7,7.5),v3=(9,8),v4=(8,7),v5=(8.5,9),v6=(7.5,8),v7=(9,6),f1,3,5,7=(sint/8,cost/8)，f2,4,6,8=(cost/8，sint/8) 進(jìn)行三維仿真，發(fā)現(xiàn)最終速度差仍小范圍波動(dòng)。

(a) r=10

(b) r=18

(c) r=18, f4(t)=1/(t+0.1),f6=1/(t2+0.1)， f8(t)=e-t 圖1 式(1)、式(2)的模擬結(jié)果(α=8,φ(s)≡1)Fig.1 Numerical simulation of equation (1) and (2) (α=8,φ(s)≡1)

(a) 無(wú)自由意志(a) No free-will

(b) 自由意志(f6,8(t)=-e-t, f7=-1/(t2+0.1))(b) With free-will(f6,8(t)=-e-t,f7=-1/(t2+0.1))

(c) 反作用自由意志(f6，8(t)=e-t， f7=1/(t2+0.1))(c) Negative free-will(f6,8(t)=e-t, f7=1/(t2+0.1))圖2 式(1)、式(2)的數(shù)值模擬結(jié)果(α=8,r=12.5,φ(s)≡1)Fig.2 Numerical simulation of equation (1) and (2) (α=8,r=12.5,φ(s)≡1)

(a) 行為單一集群(fi(t)=0,i=1,…,8)(a) Simple cluster(fi(t)=0,i=1,…,8)

(b) 復(fù)雜集群(f1,3,5,7(t)=sint;f2,4,6,8(t)=cost)(b) Complex cluster (f1,3,5,7(t)=sint;f2,4,6,8(t)=cost)圖3 式(1)、式(2)的模擬結(jié)果(α=8,r=18, φ(s)=1/(1+s2)β,β=0.2)Fig.3 Numerical simulation of equation (1) and (2) (α=8,r=18, φ(s)=1/(1+s2)β,β=0.2)

圖4 式(1)、式(2)的三維模擬(α=16,r=20,φ(s)≡1)Fig.4 Numerical simulation of equation (1) and (2) (α=16,r=20,φ(s)≡1)

3 結(jié)論

本文利用Lyapunov泛函的方法給出了滿足集群的最小半徑條件，可以看出，其半徑和初始數(shù)據(jù)中相互通信粒子間的最大速度差、粒子間最大速度差以及自由意志有關(guān)，這可以理解為：為滿足粒子間通信，半徑應(yīng)有一定的容錯(cuò)范圍，在一定時(shí)間內(nèi)將邊緣遠(yuǎn)離平均速度的個(gè)體拉回到朝向平均速度運(yùn)動(dòng)的方向上，使粒子群最終形成集群。本文用已有的方法研究更加貼近現(xiàn)實(shí)的模型，通過(guò)分情況討論以及泛函方法給出了與半徑有關(guān)的結(jié)論，達(dá)到了給出半徑范圍刻畫(huà)的目的。若有初始位置及出發(fā)速度，便可以通過(guò)計(jì)算得知集群形成的最小半徑。本文方法的優(yōu)點(diǎn)在于將集群的形成與否反應(yīng)在半徑上，使得集群的刻畫(huà)更加簡(jiǎn)潔明了，但不可否認(rèn)的是這種刻畫(huà)簡(jiǎn)單粗暴，達(dá)不到真正意義上半徑的下確界，所以此證明方法只是給出了半徑的充分條件，且最終速度差有界并不會(huì)趨于0，對(duì)于小于最小半徑的r可能形成集群也可能不會(huì)形成集群，若r→∞則交流函數(shù)全時(shí)域交互，由已有結(jié)論可知其會(huì)形成集群，那么考慮半徑的大小具有一定的合理性，故下一步的工作在于找到其半徑的下界。