基于g-h分布的我國地震巨災(zāi)債券定價(jià)研究

■劉 洋，朱 衡

一、引言與文獻(xiàn)綜述

近年來在世界范圍內(nèi)大型自然災(zāi)害頻頻發(fā)生，并且災(zāi)害類型復(fù)雜多樣，給經(jīng)濟(jì)社會(huì)帶來了巨大的損失。如何分散巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)行科學(xué)有效的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)管理，一直是學(xué)術(shù)界研究的一個(gè)重要課題。巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化的核心就是將傳統(tǒng)保險(xiǎn)公司難以獨(dú)自承保的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)通過保險(xiǎn)資產(chǎn)證券化的方式轉(zhuǎn)嫁給資本市場，讓風(fēng)險(xiǎn)在資本市場進(jìn)行分散，而巨災(zāi)債券是目前市場上發(fā)行規(guī)模最大，應(yīng)用最多也是最為成熟的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)證券化產(chǎn)品。因此，探討地震巨災(zāi)債券在我國的運(yùn)行模式，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定價(jià)研究和產(chǎn)品設(shè)計(jì)，有助于分散地震風(fēng)險(xiǎn)，減輕政府的財(cái)政負(fù)擔(dān)，為人民群眾的生活提供更好的保障。

關(guān)于巨災(zāi)債券定價(jià)模型，國內(nèi)外主要集中在均衡定價(jià)理論模型、損失精算定價(jià)理論模型和無套利定價(jià)理論模型。關(guān)于均衡定價(jià)理論模型的研究：Cox&Pedersen（2000）認(rèn)為傳統(tǒng)債券不能完全對(duì)沖巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)，因此他們假設(shè)市場不完全，以典型代理人理論為基礎(chǔ)，建立無風(fēng)險(xiǎn)利率模型，再結(jié)合巨災(zāi)發(fā)生的概率得到了均衡定價(jià)模型；Zimbidis et al.（2007）利用極值理論建立了地震震級(jí)的風(fēng)險(xiǎn)動(dòng)力學(xué)模型，并將建立的地震風(fēng)險(xiǎn)模型與不完全市場框架下的均衡定價(jià)模型相結(jié)合，得到巨災(zāi)債券定價(jià)模型；Reshetar（2007）考慮巨災(zāi)保險(xiǎn)損失和巨災(zāi)死亡率兩個(gè)觸發(fā)因素，建立了多事件觸發(fā)機(jī)制下的付息巨災(zāi)債券定價(jià)模型；Egami&Young（2008）假設(shè)再保險(xiǎn)索賠遵循泊松跳躍—擴(kuò)散過程，對(duì)結(jié)構(gòu)化巨災(zāi)債券進(jìn)行了無差異定價(jià)；Shao et al.（2015）運(yùn)用均衡定價(jià)理論，結(jié)合利率期限結(jié)構(gòu)和通貨膨脹率動(dòng)態(tài)模型對(duì)加州地震巨災(zāi)債券進(jìn)行了定價(jià)分析。

關(guān)于損失精算定價(jià)理論模型的研究：Lane（2000）把巨災(zāi)債券的價(jià)格組成分為面向投資者的期望損失和非期望損失，用損失頻率和損失程度進(jìn)行分析，結(jié)合歷史數(shù)據(jù)建立了LFC 定價(jià)模型；Wang（2004）在債券定價(jià)模型中增加了概率乘積和參數(shù)不確定性調(diào)整兩個(gè)因素，用t分布代替正態(tài)分布進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，結(jié)合損失超越曲線得到了Wang 兩因素定價(jià)模型；Christofides（2004）發(fā)現(xiàn)不存在系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，可以由Wang概率轉(zhuǎn)換得到巨災(zāi)債券的風(fēng)險(xiǎn)成本，由此提出了基于預(yù)期損失的Christofides 模型；Chen et al.（2013）結(jié)合非壽險(xiǎn)精算方法和Wang 兩因素模型，得到一年期極端洪水巨災(zāi)債券定價(jià)模型；田玲和向飛（2006）對(duì)LFC 模型、Wang 兩因素模型和Christofides 模型進(jìn)行比較研究，發(fā)現(xiàn)Wang 兩因素模型在精度上最優(yōu)；施建祥和鄔云玲（2006）利用非壽險(xiǎn)精算方法和資本資產(chǎn)定價(jià)模型對(duì)我國臺(tái)風(fēng)巨災(zāi)債券進(jìn)行了初步設(shè)計(jì)；劉昕龍等（2017）通過構(gòu)造基于共保體的風(fēng)險(xiǎn)過程模型，應(yīng)用蒙特卡羅方法進(jìn)行地震風(fēng)險(xiǎn)的仿真模擬，探討了不同模式下巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移效率；王力（2018）在考慮破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的情況下建立了巨災(zāi)可轉(zhuǎn)換債券的定價(jià)模型，提出將巨災(zāi)債券與可轉(zhuǎn)換債券相結(jié)合，形成優(yōu)勢互補(bǔ)的創(chuàng)新型金融產(chǎn)品。

關(guān)于無套利定價(jià)理論模型的研究：Cummins & Geman（2009）用確定性利率代替了隨機(jī)利率，用正常數(shù)代替損失建模中的隨機(jī)數(shù)，得到簡化的巨災(zāi)債券無套利定價(jià)模型；Litzenberger et al.（1996）把巨災(zāi)事件是否發(fā)生作為唯一的觸發(fā)條件，通過對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行了損失擬合，并結(jié)合現(xiàn)金流貼現(xiàn)模型進(jìn)行了一年期零息巨災(zāi)債券的定價(jià)；Nowak & Romaniuk（2013）假設(shè)巨災(zāi)的發(fā)生與金融市場的行為無關(guān)，應(yīng)用無風(fēng)險(xiǎn)即期利率模型對(duì)具有不同收益函數(shù)的巨災(zāi)債券進(jìn)行定價(jià)，并利用CIR 模型和Hull-White 模型建立了不同利率動(dòng)態(tài)下的定價(jià)模型。

從現(xiàn)有文獻(xiàn)可以看出，國外學(xué)者在巨災(zāi)債券的制度設(shè)計(jì)和定價(jià)模型方面都已經(jīng)有了比較豐富的研究成果，國內(nèi)學(xué)者大部分研究主要著眼于通過金融經(jīng)濟(jì)理論和風(fēng)險(xiǎn)精算理論進(jìn)行與自然災(zāi)害損失相關(guān)聯(lián)的巨災(zāi)債券模型構(gòu)建和定價(jià)。整體上看，國內(nèi)關(guān)于巨災(zāi)債券研究更偏向于實(shí)證方面，尚無一個(gè)嚴(yán)密完整的理論體系框架，且現(xiàn)有巨災(zāi)債券的定價(jià)研究沒有充分考慮到投資市場的負(fù)擔(dān)能力。對(duì)于類似汶川大地震的部分極端風(fēng)險(xiǎn)，如果完全由巨災(zāi)債券進(jìn)行損失補(bǔ)償那么就有可能使債券投資者喪失全部的本金，這顯然會(huì)及極大地影響巨災(zāi)債券投資者的投資熱情；此外，現(xiàn)有的巨災(zāi)債券定價(jià)研究沒有充分考慮不同我國資本市場上不同投資人群的投資需求，并不利于債券的發(fā)行和推廣。

鑒于此，考慮到定價(jià)過程中市場不完全的問題，本文對(duì)均衡定價(jià)理論模型進(jìn)行簡化和改進(jìn)，構(gòu)建了我國地震巨災(zāi)債券的定價(jià)模型，利用我國1969—2019年間成災(zāi)地震的直接經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)，結(jié)合g-h 分布對(duì)地震損失進(jìn)行分布擬合，并最終結(jié)合地震巨災(zāi)債券定價(jià)模型進(jìn)行定價(jià)分析。本文的貢獻(xiàn)在于：第一，創(chuàng)新性地通過均衡定價(jià)理論與g-h 分布相結(jié)合的方法建立地震巨災(zāi)債券定價(jià)模型，為地震巨災(zāi)債券提供了新的定價(jià)思路；第二，在傳統(tǒng)概率分布的基礎(chǔ)上，引入了g-h 分布對(duì)我國地震巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，為尖峰厚尾型分布提供了新的擬合方法；第三，通過地震巨災(zāi)債券定價(jià)模型進(jìn)行實(shí)證研究，分析討論了道德風(fēng)險(xiǎn)和個(gè)別奇異點(diǎn)對(duì)于地震巨災(zāi)債券定價(jià)的影響，為我國地震巨災(zāi)債券的進(jìn)一步研究提供了理論基礎(chǔ)。

二、研究設(shè)計(jì)

（一）基礎(chǔ)定價(jià)模型選取

金融經(jīng)濟(jì)理論下的定價(jià)模型優(yōu)點(diǎn)在于具有系統(tǒng)的金融理論支撐和嚴(yán)格的推導(dǎo)過程，不需要債券的歷史價(jià)格數(shù)據(jù)就能得到巨災(zāi)債券的公平價(jià)格，能夠比較清晰準(zhǔn)確地反映定價(jià)過程。缺點(diǎn)在于需要的假設(shè)往往比較嚴(yán)苛，使其在實(shí)務(wù)中的應(yīng)用性不夠好，更適合用于進(jìn)行理論分析和研究。保險(xiǎn)精算理論下的定價(jià)模型，如LFC模型、Wang兩因素模型等，其共同點(diǎn)在于都是在完全市場的假設(shè)下運(yùn)用計(jì)量的方法對(duì)巨災(zāi)債券進(jìn)行定價(jià)。由于這類模型從實(shí)證的角度出發(fā)考慮影響債券價(jià)格的主要因素，因此比較注重實(shí)務(wù)，能夠?qū)τ诎l(fā)行人和投資者起到一定的指導(dǎo)作用，并且能夠解釋巨災(zāi)債券的高溢價(jià)現(xiàn)象，而它們的缺點(diǎn)在于缺乏系統(tǒng)的理論支撐，需要考慮大量的影響因素來保證模型的精度，并且完全市場的假設(shè)也限制了此類模型的應(yīng)用。

由于巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)是否發(fā)生與金融市場無關(guān)，所以巨災(zāi)債券的現(xiàn)金流無法由市場已有債券來復(fù)制，定價(jià)過程需要在市場不完全的假設(shè)下進(jìn)行，因此選擇均衡定價(jià)理論模型作為基礎(chǔ)定價(jià)模型，并對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)和簡化，得到更具操作性的我國地震巨災(zāi)債券定價(jià)模型。

表1 巨災(zāi)債券定價(jià)模型對(duì)比

（二）地震巨災(zāi)債券定價(jià)模型構(gòu)建

1.地震巨災(zāi)債券定價(jià)模型

在均衡定價(jià)理論下，投資者可以在市場自由地買入和賣出債券來實(shí)現(xiàn)自身效用的最大化，當(dāng)所有的投資者都實(shí)現(xiàn)了效用最大化時(shí)，他們就不再有動(dòng)機(jī)改變自己的市場行為，市場達(dá)到暫時(shí)的均衡狀態(tài)，此時(shí)的市場價(jià)格即為均衡價(jià)格。假設(shè)市場中每個(gè)投資者都有相同的效用函數(shù)且與狀態(tài)無關(guān)，投資者根據(jù)效用函數(shù)進(jìn)行消費(fèi)相關(guān)決策，那么就可以引入代表性經(jīng)濟(jì)人的概念來對(duì)市場進(jìn)行簡化。在地震巨災(zāi)債券定價(jià)的框架下，可以將地震巨災(zāi)債券的投資者作為代表性經(jīng)濟(jì)人，他們基于同一效用函數(shù)進(jìn)行消費(fèi)決策，此時(shí)保險(xiǎn)公司、投資者、信托機(jī)構(gòu)和SPV 一起構(gòu)成了一個(gè)獨(dú)立金融市場。由于SPV起著金融中介的作用，所有的現(xiàn)金流向都與它有關(guān)，當(dāng)SPV 的資金流入和資金流出達(dá)到均衡時(shí)，市場也達(dá)到均衡狀態(tài)，再結(jié)合地震巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率就可以得到該條件下的地震巨災(zāi)債券定價(jià)模型。

為了簡化計(jì)算，這里假設(shè)特殊目的機(jī)構(gòu)SPV的資金流入來自保險(xiǎn)公司繳納的再保費(fèi)收入B、從投資者處募集到的本金M以及將資金交由信托機(jī)構(gòu)得到的投資收益I；SPV 的資金流出主要用于保險(xiǎn)公司的賠償L、返還給投資者的本金KM以及支付給投資者的利息，其中為對(duì)投資者本金的保證償付比例，取值在0%～100%之間；r為地震巨災(zāi)債券的利率，要通過模型計(jì)算得到。

圖1 地震巨災(zāi)債券運(yùn)作結(jié)構(gòu)圖（簡化）

設(shè)地震發(fā)生的時(shí)間為t，債券到期時(shí)間為T，地震損失的值不超過某一觸發(fā)點(diǎn)的概率為q，巨災(zāi)損失的值在該觸發(fā)點(diǎn)和下一個(gè)觸發(fā)點(diǎn)之間的概率為p，那么可以得到SPV 的期望現(xiàn)金流入E的計(jì)算公式如下所示。

其中，P為風(fēng)險(xiǎn)測度，I為SPV將資金交給信托機(jī)構(gòu)獲得的投資收益，是時(shí)間的函數(shù)。設(shè)信托賬戶中資金的收益率為r，沒有發(fā)生地震巨災(zāi)時(shí)的SPV 獲得的投資收益為I，發(fā)生地震巨災(zāi)時(shí)的SPV獲得的投資收益為I，那么則有：

考慮到地震巨災(zāi)低頻高損的特點(diǎn)以及巨災(zāi)債券的實(shí)際運(yùn)作，這里假定SPV 對(duì)保險(xiǎn)公司和債券投資者都統(tǒng)一在年末進(jìn)行給付，那么此時(shí)可以得到SPV的期望現(xiàn)金流入E的計(jì)算公式如下所示。

同理，可以得到SPV 的期望現(xiàn)金流出E的計(jì)算公式如下所示：

設(shè)地震巨災(zāi)債券的收益率為r，沒有發(fā)生地震巨災(zāi)時(shí)的SPV 的現(xiàn)金流出為C，發(fā)生地震巨災(zāi)時(shí)的SPV的現(xiàn)金流出C，那么則有：

將兩式代入E得到：

當(dāng)市場達(dá)到均衡狀態(tài)時(shí)，SPV的現(xiàn)金流入與現(xiàn)金流出相等，此時(shí)有E=E，將以上各式代入可以得到式（9）。

式（9）為均衡定價(jià)理論框架下的地震巨災(zāi)債券利率計(jì)算公式。

2.道德風(fēng)險(xiǎn)下的模型修正

在實(shí)務(wù)中，地震巨災(zāi)的經(jīng)濟(jì)損失接近或者達(dá)到保險(xiǎn)公司的賠償條件時(shí)，投保人就有動(dòng)機(jī)夸大實(shí)際損失來獲得更多的保險(xiǎn)賠償。由于地震巨災(zāi)債券特殊的運(yùn)行機(jī)制，在發(fā)生地震巨災(zāi)且達(dá)到觸發(fā)條件時(shí)SPV 就可以不再支付債券投資者利息和本金，而是將這筆資金交由作為債券發(fā)起人的保險(xiǎn)公司進(jìn)行賠付，因此保險(xiǎn)公司在理賠時(shí)可能不夠嚴(yán)格，并且在實(shí)際損失接近觸發(fā)條件時(shí)，保險(xiǎn)公司自身也可能為了獲得SPV支付的損失補(bǔ)償來轉(zhuǎn)移風(fēng)險(xiǎn)，從而夸大實(shí)際損失。

綜上所述，在地震巨災(zāi)債券的定價(jià)過程中，道德風(fēng)險(xiǎn)是一個(gè)無法忽略的因素，需要在定價(jià)時(shí)予以考慮和分析。由于道德風(fēng)險(xiǎn)的影響在實(shí)際損失接近觸發(fā)臨界值時(shí)更為明顯，所以假設(shè)損失觸發(fā)值為K，道德風(fēng)險(xiǎn)因子β∈（0，1），在實(shí)際損失達(dá)到K（1-β）時(shí)會(huì)產(chǎn)生道德風(fēng)險(xiǎn)，那么此時(shí)則有SPV對(duì)保險(xiǎn)公式的巨災(zāi)損失補(bǔ)償L如下：

其中，α為實(shí)際的地震巨災(zāi)損失，L為地震巨災(zāi)發(fā)生時(shí)的SPV 對(duì)保險(xiǎn)公司的實(shí)際支付。通過上述公式，可以在考慮道德風(fēng)險(xiǎn)因素的情況下得到巨災(zāi)賠付L，用L代替初始模型中的L就可以對(duì)模型做出初步修正。

3.分布模型選取與參數(shù)估計(jì)

由于地震巨災(zāi)發(fā)生概率低，風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測難度較大，一旦發(fā)生地震災(zāi)害將就會(huì)帶來巨大的損失，損失數(shù)據(jù)存在明顯的尖峰厚尾特點(diǎn)，而g-h分布能通過偏斜參數(shù)、形態(tài)參數(shù)和位置參數(shù)的調(diào)整來得到如正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、拉普拉斯分布、柯西分布等一般分布，具有很好的柔性和靈活度。并且相較于極值理論來說，g-h分布的方法相對(duì)簡單便于理解，對(duì)于數(shù)據(jù)和閾值選取的要求不如極值理論嚴(yán)苛，能夠在不同條件和要求下描述地震損失分布的偏度特征和峰度特征?？紤]到以上因素，本文選取了g-h分布來對(duì)地震巨災(zāi)損失進(jìn)行擬合。

（1）g-h 分布的相關(guān)參數(shù)。假設(shè)z 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，記作z～N（0，1），如果隨機(jī)變量Y 是z 的函數(shù)，且滿足如下關(guān)系式。

那么就稱隨機(jī)變量Y 服從g-h 分布，其中g(shù)和h均為常數(shù)。通過改變偏度參數(shù)g的正負(fù)和大小，可以改變分布的對(duì)稱方向和對(duì)稱程度；通過改變峰度參數(shù)h 的正負(fù)和大小可以改變分布的拉伸方向和拉伸程度。將g分布和h分布結(jié)合起來就可以得到g-h分布的簡單形式，在此基礎(chǔ)上引入位置參數(shù)A 和尺度參數(shù)B 就能得到完整的g-h分布，如下所示。

其中，參數(shù)A，B，g，h 均為常數(shù)，該分布即為完整的g-h 分布。當(dāng)h=0 且g→0 時(shí)，g-h 分布退化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，并且可以通過參數(shù)A，B，g，h的調(diào)整，得到一些在研究中應(yīng)用較多的分布。

（2）g-h分布的參數(shù)估計(jì)方法。陳倩和李金林（2018）利用g-h 分布的分位數(shù)估計(jì)法在風(fēng)險(xiǎn)度量、收益率分布等方面取得了不錯(cuò)的擬合效果，因此本文采用分位數(shù)估計(jì)方法來得到g-h分布的相關(guān)參數(shù)。

假設(shè)隨機(jī)變量X 的p 分位數(shù)為x，則有P（X≤x）=p，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量z的p分位數(shù)為z，其中p∈（0，1），那么可以得到：

步驟1：估計(jì)g-h 分布的位置參數(shù)A。當(dāng)p=0.5時(shí)，有z=0，x=A，因此位置參數(shù)A可以用隨機(jī)變量X的中位數(shù)x進(jìn)行估計(jì)。

步驟2：估計(jì)g-h 分布的偏度參數(shù)g。由于z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，那么則有z=-z，且有x=A，那么當(dāng)p∈（0，0.5）時(shí)有；

步驟3：估計(jì)g-h 分布的尺度參數(shù)B 和峰度參數(shù)h。

聯(lián)立以上兩式可得：

三、我國地震巨災(zāi)債券定價(jià)實(shí)證研究

（一）樣本數(shù)據(jù)選取

本文收集了1969—2019年間我國成災(zāi)地震的直接經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)，并選取其中1億元以上的部分作為樣本數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)主要來自《中國地震年鑒》（1982—2004年）以及《中國大陸地震災(zāi)害損失述評(píng)》（2005—2019 年）?？紤]到通貨膨脹帶來的影響，以2019年的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）作為定基指數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整。其中，2011 年緬甸地震、2011年印度錫金邦地震、2015年尼泊爾地震均屬于境外地震，但對(duì)中國大陸造成了地震災(zāi)害，屬于成災(zāi)事件，且造成了1 億元以上的直接經(jīng)濟(jì)損失，故仍然選取在內(nèi)。

（二）描述性統(tǒng)計(jì)

將通過CPI 定基指數(shù)換算得到的137 組數(shù)據(jù)分別劃分至9個(gè)損失區(qū)間，并算出各個(gè)區(qū)間的損失頻率分布表，見表2。

表2 我國1969—2019年地震損失頻率分布表①數(shù)據(jù)來源：1982—2004年《中國地震年鑒》、2005—2019年《中國大陸地震災(zāi)害損失述評(píng)》。

可以看出，80%的地震損失數(shù)據(jù)在0—30 億元的區(qū)間內(nèi)，并且500億元以下的地震損失數(shù)據(jù)占到了全部數(shù)據(jù)的95%以上，符合地震巨災(zāi)低頻高損的特點(diǎn)。

由表3可知，樣本中地震損失數(shù)據(jù)的偏度為11.48，說明樣本數(shù)據(jù)大多位于均值的左側(cè)，表明樣本數(shù)據(jù)的分布具有右偏態(tài)的特點(diǎn)。樣本中地震損失數(shù)據(jù)的峰度為133.38，這是因?yàn)槿玢氪ǖ卣鸬壬贁?shù)極值點(diǎn)的存在，使得大量其余的值分布在眾數(shù)周圍，使樣本數(shù)據(jù)的分布產(chǎn)生了極為陡峭的尖峰。通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，我國地震巨災(zāi)損失存在尖峰厚尾的特點(diǎn)。

表3 我國1969—2019年地震損失統(tǒng)計(jì)分析表

（三）我國地震損失分布的擬合

Gamma 分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布都能較好描述損失分布的厚尾偏斜特性，被廣泛應(yīng)用于非壽險(xiǎn)、壽險(xiǎn)、健康險(xiǎn)等保險(xiǎn)領(lǐng)域的損失分布擬合，并且能夠較好地契合保險(xiǎn)業(yè)的損失數(shù)據(jù)特征?？紤]到地震風(fēng)險(xiǎn)同樣屬于巨災(zāi)領(lǐng)域可保風(fēng)險(xiǎn)，而Gamma分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布在臺(tái)風(fēng)、洪水等保險(xiǎn)損失領(lǐng)域取得了良好的擬合效果，因此本節(jié)首先選取這三種分布對(duì)地震巨災(zāi)損失進(jìn)行擬合，再通過g-h分布進(jìn)行對(duì)比分析。

1.Gamma分布

假設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為：

當(dāng)α＞0，β＞0，則稱X 為服從參數(shù)為α，β的Gamma 分布。г（α）=∫

t

e

dt 為Gamma 函數(shù)，當(dāng)形態(tài)參數(shù)α=1 時(shí)，Gamma 分布轉(zhuǎn)化為指數(shù)分布。擬合過程如下：

首先根據(jù)極大似然估計(jì)法得到α=0.6198，β=0.0314，擬合圖見圖2。

圖2 Gamma分布擬合QQ圖

從圖2可以看出，Gamma分布擬合的整體效果不夠理想，相對(duì)來說尾部數(shù)據(jù)擬合效果較好，前部和中部數(shù)據(jù)的擬合程度都較低。利用K-S檢驗(yàn)進(jìn)行分布的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，計(jì)算得到K-S統(tǒng)計(jì)量D=0.1586，P=0.0024，小于5%，說明在0.05 的顯著性水平下，樣本數(shù)據(jù)不服從Gamma分布。

2.對(duì)數(shù)正態(tài)分布

如果隨機(jī)變量x的自然對(duì)數(shù)Inx服從正態(tài)分布，則該隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為：

通過極大似然估計(jì)法得到μ=1.9905，σ=1.3061，擬合圖見圖3。

圖3 對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合QQ圖

可以看出，對(duì)數(shù)正態(tài)分布在數(shù)據(jù)前部和中部的擬合情況都比較好，尾部數(shù)據(jù)存在個(gè)別極值點(diǎn)偏離直線較遠(yuǎn)，但整體上來說近似分布在直線周圍。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)計(jì)算得到K-S 統(tǒng)計(jì)量D=0.0995，P=0.1408，大于5%，說明在0.05 的顯著性水平下，樣本數(shù)據(jù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

3.威布爾分布

如果隨機(jī)變量X服從威布爾分布，那么其概率密度函數(shù)為：

通過極大似然估計(jì)法得到形狀參數(shù)k=0.7037，比例參數(shù)λ=14.5132，擬合圖見圖4。

圖4 威布爾分布擬合QQ圖

可以看出，威布爾分布對(duì)數(shù)據(jù)前部和中部的擬合程度整體來說較Gamma 分布稍好，但不如對(duì)數(shù)正態(tài)分布，尾部數(shù)據(jù)仍然存在較大的偏差。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)計(jì)算得到K-S 統(tǒng)計(jì)量D=0.1454，P=0.0069，小于5%，說明在0.05 的顯著性水平下，樣本數(shù)據(jù)不服從威布爾分布。

4.g-h分布

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到A=x=5.4508；g=1.8114，回歸分析得到h=-0.1722，B=9.8345。偏度參數(shù)g＞0，表明分布呈右偏態(tài)，形態(tài)參數(shù)h＜0，表明分布存在厚尾現(xiàn)象，這也和地震損失分布的特點(diǎn)相吻合，因此得到隨機(jī)變量X的表達(dá)式如下。

由擬合圖5 可以看出，g-h 分布對(duì)于樣本數(shù)據(jù)的擬合效果整體較好，明顯優(yōu)于Gamma 分布和威布爾分布。雖然尾部數(shù)據(jù)個(gè)別極值點(diǎn)仍有偏離，但相較于對(duì)數(shù)正態(tài)分布來說其偏離程度更小，樣本數(shù)據(jù)整體基本分布在直線周圍。擬合優(yōu)度檢驗(yàn)計(jì)算得到K-S 統(tǒng)計(jì)量D=0.0672，P=0.5356，大于0.05，說明在5%的顯著性水平下，樣本數(shù)據(jù)服從g-h 分布，因此本文選取g-h 分布作為地震損失數(shù)據(jù)的概率分布。

圖5 g-h分布擬合QQ圖

（四）我國地震巨災(zāi)債券的定價(jià)分析

觀察我國1969—2019 年共51 年的地震損失統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，地震災(zāi)害頻發(fā)的地區(qū)主要集中在新疆、四川、西藏、云南、青海、甘肅、內(nèi)蒙古、吉林、河北這9 個(gè)省份。部分區(qū)域幾乎每年都會(huì)發(fā)生地震，地震災(zāi)害帶來的經(jīng)濟(jì)損失也主要集中在這些地區(qū)，因此可以把以上9個(gè)省份作為地震巨災(zāi)保險(xiǎn)保費(fèi)的主要來源。查閱2020年的《中國保險(xiǎn)年鑒》可以得到9 個(gè)省份的財(cái)產(chǎn)險(xiǎn)保費(fèi)收入總計(jì)為2209.86 億元，地震保險(xiǎn)的保費(fèi)約占全部財(cái)險(xiǎn)保費(fèi)的4%。假設(shè)投保人有50%的概率選擇購買地震巨災(zāi)保險(xiǎn)，可以計(jì)算得到地震保險(xiǎn)的保險(xiǎn)費(fèi)率為50%×4%=2.0%；國外巨災(zāi)債券市場的運(yùn)作過程中，保險(xiǎn)公司一般將約20%的地震保險(xiǎn)保費(fèi)提交給SPV 機(jī)構(gòu)作為再保險(xiǎn)費(fèi)用，那么SPV 機(jī)構(gòu)預(yù)期將收到的再保險(xiǎn)費(fèi)用就為2209.86×20%×2.0%=8.84 億元。假設(shè)地震巨災(zāi)債券發(fā)行總額為100億元，風(fēng)險(xiǎn)期限設(shè)置為1 年，那么T=1；參考中央結(jié)算公司統(tǒng)計(jì)檢測部發(fā)布的2019 年債券市場統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告，設(shè)SPV 的市場平均投資回報(bào)率為2.28%，那么則有r=2.28%。

1.地震巨災(zāi)債券定價(jià)

根據(jù)我國地震巨災(zāi)損失的實(shí)際情況，選取損失金額50 億元、80 億元和100 億元分別作為本金保證型、本金部分保證型和本金沒收型三種地震巨災(zāi)債券的損失觸發(fā)點(diǎn)。根據(jù)上文計(jì)算得到的g-h分布擬合公式，計(jì)算出各個(gè)損失金額的對(duì)應(yīng)概率區(qū)間如下。

將上述數(shù)據(jù)代入模型（26）得到如下計(jì)算結(jié)果。

（1）本金保證型。該類債券的地震損失觸發(fā)點(diǎn)為50 億元，在發(fā)生約定的地震巨災(zāi)時(shí)，保證100%償還本金，得到r=0.0639。因此，本金保證型債券票面年利率為6.39%，高于同期國債利率。

（2）本金部分保證型。該類債券的地震損失觸發(fā)點(diǎn)為80億元，在發(fā)生約定的地震巨災(zāi)時(shí)，保證80%償還本金，得到r=0.0844。因此，本金部分保證型債券票面年利率為8.44%，高于同期國債利率。

（3）本金沒收型。該類債券的地震損失觸發(fā)點(diǎn)為100 億元，在發(fā)生約定的地震巨災(zāi)時(shí)，不保證償還本金，得到r=0.1177。因此，本金沒收型債券票面年利率為11.77%，同樣高于同期國債利率。

通過以上計(jì)算可以看出，三種類型的地震巨災(zāi)債券利率都高于同時(shí)期的一年期國債利率，表明地震巨災(zāi)債券確實(shí)有相對(duì)更高的收益率，這也符合風(fēng)險(xiǎn)越高收益越高的基本規(guī)律。同時(shí)也可發(fā)現(xiàn)，雖然本金沒收型債券的收益率最高，但與其投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)并不夠匹配，原因在于大型地震災(zāi)害發(fā)生的概率總體來說不高，一旦發(fā)生帶來的損失又極為巨大，此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)急劇增大，但SPV 的投資收益卻沒有顯著變化，所以利率漲幅不大。

2.道德風(fēng)險(xiǎn)下的地震巨災(zāi)債券定價(jià)

由于道德風(fēng)險(xiǎn)的存在，發(fā)起人和投保人在地震損失接近臨界值K 時(shí)都有動(dòng)機(jī)夸大損失。因此假設(shè)存在一個(gè)道德風(fēng)險(xiǎn)因子β∈（0，1），由于β的存在，損失觸發(fā)點(diǎn)L 將會(huì)提前為K（1-β），并且為了簡化計(jì)算，取β=0.1，則觸發(fā)點(diǎn)變?yōu)?0×（1-0.1）=45 億元，80×（1-0.1）=72 億元，100（1-0.1）=90億元，損失金額的概率區(qū)間變?yōu)椋?/p>

計(jì)算得到：在考慮道德風(fēng)險(xiǎn)且取道德風(fēng)險(xiǎn)因子β=0.1的情況下，本金保證型利率為6.19%；本部分保證型利率為8.14%；本金沒收型利率為11.65%，均較不考慮道德風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的利率有所下降。

可以看出，道德風(fēng)險(xiǎn)會(huì)使地震巨災(zāi)債券的收益率下降。因?yàn)樵谶@種情況下投資者承擔(dān)了本不應(yīng)承擔(dān)的損失，這種影響反映在巨災(zāi)債券上就是債券利率的下降，但在地震損失較低的情況下，道德風(fēng)險(xiǎn)給債券利率帶來的影響會(huì)更為明顯。這是因?yàn)樵趽p失觸發(fā)點(diǎn)較低的情況下，投保人和發(fā)起人故意夸大損失，帶來的風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)更大，因此對(duì)于定價(jià)的影響也更大，使得利率變化更明顯。在高損失觸發(fā)點(diǎn)的情況下，由于原本發(fā)生的概率就較低，因此在高損失點(diǎn)附近道德風(fēng)險(xiǎn)對(duì)利率的影響會(huì)變小，使得利率的下降幅度相對(duì)降低。

四、結(jié)論與對(duì)策建議

本文通過不完全市場下的均衡定價(jià)理論和g-h 分布理論構(gòu)建了我國地震巨災(zāi)債券的利率定價(jià)模型，并把g-h分布對(duì)地震損失的擬合效果和傳統(tǒng)的Gamma 分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布等進(jìn)行了對(duì)比，最后，在考慮道德風(fēng)險(xiǎn)的情況下進(jìn)行了地震巨災(zāi)債券的初步設(shè)計(jì)和實(shí)證計(jì)算。研究發(fā)現(xiàn)：一是相較于傳統(tǒng)概率分布，g-h 能夠更好地?cái)M合地震損失數(shù)據(jù)尖峰、厚尾、偏態(tài)的分布特征；二是不同本金保障程度的地震巨災(zāi)債券都能給投資者帶來高于普通債券的收益，但本金保障程度高的地震巨災(zāi)債券更有利于投資者；三是整體而言，道德風(fēng)險(xiǎn)的存在會(huì)使得地震巨災(zāi)債券的利率下降，但本金保障程度更高的債券對(duì)于道德風(fēng)險(xiǎn)的影響更為敏感。

由于我國的巨災(zāi)債券市場還處于探索階段，與發(fā)達(dá)國家相比還有許多地方需要完善，為了我國地震巨災(zāi)債券能夠更好地發(fā)展，在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上提出如下對(duì)策建議：

第一，由于現(xiàn)有巨災(zāi)債券主要在國外發(fā)行和交易，我國對(duì)于巨災(zāi)債券的研究還不夠深入，各高校和科研機(jī)構(gòu)的學(xué)者應(yīng)當(dāng)積極進(jìn)行地震巨災(zāi)保險(xiǎn)和巨災(zāi)債券方面的相關(guān)探索，結(jié)合中國的市場特點(diǎn)和地震風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行定價(jià)模型的構(gòu)建和產(chǎn)品設(shè)計(jì)，為地震巨災(zāi)債券的發(fā)行提供理論支持。

第二，作為保險(xiǎn)公司和保險(xiǎn)行業(yè)協(xié)會(huì)，應(yīng)該積極進(jìn)行地震巨災(zāi)模型的搭建和研發(fā)，深化與相關(guān)科研機(jī)構(gòu)、同業(yè)機(jī)構(gòu)的學(xué)習(xí)和交流，在結(jié)合中國地質(zhì)特點(diǎn)的情況下不斷提高模型精確度和可用性，以便于進(jìn)行地震風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估，提高自身的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)管理技術(shù)水平，使保險(xiǎn)市場在面對(duì)巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)具有充足的承保能力。

第三，政府部門和相關(guān)監(jiān)管機(jī)構(gòu)要加快推進(jìn)我國地震巨災(zāi)債券相關(guān)的制度建設(shè)，明確SPV的設(shè)立條件，完善巨災(zāi)債券風(fēng)險(xiǎn)隔離方面的法律法規(guī)，積極推動(dòng)巨災(zāi)債券發(fā)行、流通和監(jiān)管領(lǐng)域的立法進(jìn)程，可以借鑒國外已有的成功經(jīng)驗(yàn)，有針對(duì)性地在我國部分地區(qū)進(jìn)行地震巨災(zāi)保險(xiǎn)和地震巨災(zāi)債券的試點(diǎn)項(xiàng)目，為我國巨災(zāi)債券的發(fā)行和推廣打下良好的基礎(chǔ)。