一類圓錐曲線定點(diǎn)問題的解題策略探究 教學(xué)設(shè)計(jì)

張秀春

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，主要包括圓錐曲線中的動(dòng)直線過定點(diǎn)問題和圓錐曲線中的動(dòng)圓過定點(diǎn)問題。

2.內(nèi)容解析：

內(nèi)容的本質(zhì)：定點(diǎn)問題是在變化中表現(xiàn)出來的不變的量，可以用變化的量（參數(shù)）表示問題中的直線方程，而此直線方程又不受參數(shù)影響的一個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn)。系數(shù)含有參數(shù)的直線方程稱為直線系方程，直線系方程會(huì)隨著參數(shù)的變化而形成一系列直線，稱為直線系。當(dāng)參數(shù)滿足一定條件時(shí)，直線系會(huì)經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)。從代數(shù)的角度來看，將參數(shù)看作主元，分離參數(shù)，令各項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)都為0，得到關(guān)于x，y的方程組，若關(guān)于x，y的方程組有唯一解，則直線系經(jīng)過定點(diǎn)，否則直線系不經(jīng)過定點(diǎn)。

蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法：圓錐曲線中的定點(diǎn)問題蘊(yùn)含了運(yùn)動(dòng)與變化的思想、特殊與一般的思想、數(shù)形結(jié)合的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法。

知識(shí)的上下位關(guān)系：過定點(diǎn)的曲線系方程是上位概念，過定點(diǎn)的直線系方程與圓系方程是下位概念。

育人價(jià)值：通過探究圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察變化中的不變性，發(fā)現(xiàn)特殊中的一般性，學(xué)會(huì)運(yùn)用類比猜想探究問題，并加以拓展與推廣，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3、問題診斷：學(xué)生對(duì)直線系過定點(diǎn)的求解原理與方法不熟悉，對(duì)如何處理圓錐曲線中的定點(diǎn)問題有畏難情緒，對(duì)含有參數(shù)的解析幾何運(yùn)算不過關(guān)。

4、教學(xué)難點(diǎn)：領(lǐng)悟?qū)?shù)的常用處理思路和對(duì)參數(shù)設(shè)而不求的常用運(yùn)算技巧。

二、教學(xué)支持條件分析

（1）學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓錐曲線的方程與性質(zhì)，熟悉直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，具備探究直線系過定點(diǎn)過定點(diǎn)的基本能力。

（2）運(yùn)用“GeoGebra”的畫圖與動(dòng)畫功能，可直觀演示動(dòng)直線與動(dòng)圓的不同位置，幫助學(xué)生觀察、猜想定點(diǎn)的位置，促進(jìn)學(xué)生對(duì)定點(diǎn)問題的直觀理解與拓展推廣。

三、課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)會(huì)觀察動(dòng)直線過定點(diǎn)的幾何特征與代數(shù)特征。

2.學(xué)會(huì)梳理圓錐曲線中動(dòng)直線過定點(diǎn)的常見思路。

3.通過經(jīng)歷設(shè)參、用參、消參的解題過程，不斷積累處理參數(shù)的技巧，提高運(yùn)用類比方法探究一般性問題的能力。

四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

（1）教學(xué)重點(diǎn)：梳理圓錐曲線中動(dòng)直線過定點(diǎn)問題的常見思路。

（2）教學(xué)難點(diǎn)：處理參數(shù)的技巧及求解問題的方法。

五、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1、問題引入。

【問題1】回顧課本：選擇性必修一教材80頁16題：已知λ為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)λ變化時(shí)，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0，表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？

解析：當(dāng)λ變化時(shí)，方程3x+4y-2+λ（2x+y+2）=0）表示直線，這些直線都經(jīng)過直線3x+4y-2=0與直線2x+y+2=0的交點(diǎn)（-2，2）。

師生共同梳理總結(jié)出求解直線過定點(diǎn)問題的基本思路及常用方法：

①幾何方法 ②代數(shù)方法 ③先猜后證法

環(huán)節(jié)2、問題探究。

【問題2】如果直線系方程未知，如何判斷動(dòng)直線是否過定點(diǎn)？

如例1，過橢圓 的上頂點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求證：直線AB恒過y軸上一定點(diǎn)。

【問題2-1】未知直線系方程，如何判斷動(dòng)直線是否過定點(diǎn)？能否先求出直線系方程再進(jìn)行判斷？

【問題2-2】若直線系過定點(diǎn)，則直線方程的系數(shù)有什么特點(diǎn)？直線的斜率是否含有參數(shù)？

【問題2-3】如何選擇合適的參數(shù)求出直線系方程？

師生活動(dòng)：首先教師結(jié)合問題2-1、問題2-2、問題2-3與學(xué)生一起分析例1的解題思路，并展示回答例題的解法，同時(shí)相互交流在解題過程中的一些困惑。

設(shè)計(jì)意圖：通過一系列的問題探究，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探索問題的深度和廣度，引領(lǐng)學(xué)生感悟思想，養(yǎng)成“從思想的高度考察具體事例”的意識(shí)和“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的能力。

環(huán)節(jié)3：課堂小結(jié)。

你能簡要的概括本節(jié)課的學(xué)習(xí)要點(diǎn)嗎？

師生共同概括本節(jié)課的學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1：直線過定點(diǎn)問題

2：主要數(shù)學(xué)方法：數(shù)形結(jié)合法、先猜后證法

3：發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。

【作業(yè)設(shè)計(jì)】（略）