基于量化測(cè)量的前向-后向箱粒子平滑器

孫 文

(中國(guó)西南電子技術(shù)研究所，四川 成都 610036)

0 引言

近年來(lái)，對(duì)量化測(cè)量的關(guān)注越來(lái)越多[1-5]，正如文獻(xiàn)[3]中所指出的，量化是由于通信信道的帶寬有限造成的。由于量化測(cè)量提供了目標(biāo)的區(qū)間描述而不是點(diǎn)描述，傳統(tǒng)的跟蹤方法(如常用的粒子濾波)不能直接用于量化測(cè)量。在文獻(xiàn)[6]中，提出了一種特殊的粒子濾波方法，稱(chēng)作箱粒子濾波算法(Box Particle Filter，BPF)來(lái)解決上述問(wèn)題。其將測(cè)量值作為區(qū)間，而不是傳統(tǒng)的點(diǎn)觀(guān)測(cè)值。BPF 通過(guò)引入?yún)^(qū)間分析方法，為量化測(cè)量提供了一種明確的解決方法。近年來(lái)，其已經(jīng)成功地應(yīng)用于數(shù)量可變多目標(biāo)跟蹤[7-8]和擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤[9-10]。

隨機(jī)評(píng)估需要解決三個(gè)重要的問(wèn)題：濾波、平滑和預(yù)測(cè)[11]，然而過(guò)去幾年，濾波和預(yù)測(cè)經(jīng)常被深入探討，平滑卻經(jīng)常被忽略。聯(lián)合延遲觀(guān)測(cè)和平滑對(duì)預(yù)測(cè)性能的改善會(huì)超過(guò)濾波[12]。對(duì)于線(xiàn)性高斯模型，平滑方法是基于卡爾曼濾波框架提出的[11]。對(duì)于非線(xiàn)性非高斯模型，平滑方法是通過(guò)對(duì)粒子濾波進(jìn)行擴(kuò)展得到的[13]，或者前向-后向平滑方案[14-16]，或者基于塊的粒子方法[17]，或者雙濾波平滑器[18-20]。最近在文獻(xiàn)[21]中提出了一種具有線(xiàn)性復(fù)雜度但不像文獻(xiàn)[13]那樣受粒子損耗影響的SMC平滑器。

本文提出了一種基于量化測(cè)量的前向-后向箱粒子平滑(Forward-Backward Box Particle Smoothing，F(xiàn)B-BPS)算法來(lái)解決上述問(wèn)題，在前向過(guò)程中，濾波密度通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波正向傳播給時(shí)刻，在反向過(guò)程中，根據(jù)BPF的相關(guān)特征推導(dǎo)出平滑公式[13]。為了進(jìn)一步提高狀態(tài)估計(jì)精度，提出了一種新的箱形粒子移動(dòng)步驟。量化測(cè)量的仿真結(jié)果表明，即使是1 階(1-Lag)滯后平滑也能顯著提高測(cè)量精度。

1 背景

1.1 區(qū)間分析的基本概念

箱：屬于Rn的箱[x]定義為由n(實(shí)數(shù))個(gè)區(qū)間組成：[x]=[x1]×[x2]×…×[xn]，這里實(shí)數(shù)區(qū)間定義為實(shí)數(shù)集R 上的閉合和連通子集，和分別表示區(qū)間[xi]的下界和上界。

區(qū)間擴(kuò)展函數(shù)：經(jīng)過(guò)非線(xiàn)性變換后[x]不會(huì)總是箱的形式，區(qū)間擴(kuò)展函數(shù)f 定義為箱函數(shù)[x]的鏡像，新的箱函數(shù)[f]([x])包含f([x])。

約束：定義H 表示約束滿(mǎn)足問(wèn)題(Constraint Satisfaction Problem，CSP)，H 定義為：H:(f(x)=0，x∈[x])。CSP 的目的是找到屬于給定先驗(yàn)域[x]的向量x 集合，滿(mǎn)足一組m 約束f=(f1，f2，…，fm)的最佳箱，其中fi是實(shí)數(shù)函數(shù)。該方法確保所有的[x]滿(mǎn)足f(x)=0，或者寫(xiě)成S={x∈[x]|f(x)=0}。意味著在H 收斂的情況下，滿(mǎn)足約束S?[x]T?[x]時(shí)可以用一個(gè)更小的箱[x]T代替[x]，其中[·]T代表向量的轉(zhuǎn)置。一個(gè)典型3 維CSP 的例子如表1[22]所示。

表1 典型3 維CSP 示例

1.2 量化測(cè)量模型

假設(shè)目標(biāo)的動(dòng)態(tài)函數(shù)為：

其中F 是目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，xk是目標(biāo)在第k 時(shí)刻的狀態(tài)向量，wk是過(guò)程噪聲。目標(biāo)的測(cè)量可以表示為：

其中，g(·)是測(cè)量函數(shù)，vk是測(cè)量噪聲，Δ是量化步進(jìn)，(·)Floor代表向下取整。

1.3 粒子濾波和箱粒子濾波在量化測(cè)量下的比較

根據(jù)貝葉斯理論，在[zk+1]狀態(tài)下xk+1的概率密度p(xk+1|[zk+1])(也稱(chēng)為后驗(yàn)密度)可以通過(guò)下式計(jì)算得到：

由于量化測(cè)量是非線(xiàn)性模型，上述公式?jīng)]有解析解。廣義粒子濾波器[5]可以用來(lái)近似估計(jì)后驗(yàn)密度，但其計(jì)算量是無(wú)法接受的。相反在少量粒子的情況下，BPF 的精度優(yōu)于BF，BPF 和PF 的詳細(xì)對(duì)比如表2 所示。

表2 粒子濾波和箱粒子濾波在量化測(cè)量下的比較

其中φ(·)為高斯分布的累計(jì)分布函數(shù)。

2 箱粒子平滑

前向-后向平滑由前向?yàn)V波和后向平滑組成。在前向過(guò)程中，濾波密度通過(guò)貝葉斯遞歸向前傳遞到時(shí)刻t。在后向過(guò)程中，平滑密度向后傳遞，從時(shí)刻l 到時(shí)刻k＜l，通過(guò)后向平滑傳遞。平滑公式如式(5)所示(詳細(xì)證明見(jiàn)文獻(xiàn)[23])：

對(duì)于BPF，廣義似然函數(shù)已經(jīng)定義了，但是沒(méi)有考慮f(xk+1|xk)的廣義狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)(Generalized State Transition Density，GSTD)?；叵胍幌律鲜霰砀裰械念A(yù)測(cè)公式），在預(yù)測(cè)步驟，k 時(shí)刻的箱粒子被噪聲箱]放大。在約束步驟，重采樣、甚至箱粒子中心，受預(yù)測(cè)過(guò)程噪聲的影響，箱粒子的邊界在預(yù)測(cè)后會(huì)產(chǎn)生移動(dòng)，導(dǎo)致時(shí)刻k+1 的粒子與經(jīng)目標(biāo)動(dòng)態(tài)模型預(yù)測(cè)產(chǎn)生的狀態(tài)不同。為了正確計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率，將廣義狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)定義為：

時(shí)刻k 箱粒子后驗(yàn)密度與其他濾波器相同，平滑后驗(yàn)也可近似為：

因此，將式(7)帶入式(5)可以得到：

表3 所提出箱粒子平滑過(guò)程偽代碼

在跟蹤算法中，估計(jì)精度和計(jì)算量始終是一對(duì)矛盾，BPS 也不例外。隨著平滑時(shí)間的增加，BPS 的計(jì)算量增長(zhǎng)趨勢(shì)非常快，但是精度提升的相對(duì)較慢，這一點(diǎn)將在下一節(jié)中證實(shí)。此外，在文獻(xiàn)[23]中，作者從理論上分析了當(dāng)k=l 時(shí)平滑策略注定會(huì)失敗。這是因?yàn)楹篁?yàn)p(xk|z1:k)具有特殊的角色，它的特征比其他的分布都好。

在文獻(xiàn)[24]中指出，標(biāo)準(zhǔn)FB 平滑具有計(jì)算復(fù)雜度O(TN2)。這導(dǎo)致PF 無(wú)法實(shí)現(xiàn)，因?yàn)橥ǔＪ褂蒙锨€(gè)粒子。但在BPS 中，只有很小的箱粒子(通常不超過(guò)30 個(gè))。因此，BPS 跟蹤仍然是可行的。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 仿真場(chǎng)景和算法參數(shù)設(shè)置

假設(shè)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)初始狀態(tài)向量為x1=[x，，y，]T=[100 m，10 m/s，300 m，8 m/s]T，其 中(x，)，(y，)分別表示x、y 軸的位置和速度。目標(biāo)在勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)上，其狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣為：

其中T 是傳感器的采樣周期。為了簡(jiǎn)化仿真，這里設(shè)置T=1 s，總仿真時(shí)間為60 s。在轉(zhuǎn)移函數(shù)上加入功率密度σw=3 的高斯噪聲。

由于本文考慮的是標(biāo)準(zhǔn)單目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景，因此觀(guān)測(cè)噪聲均為高斯白噪聲，則假設(shè)傳感器直接觀(guān)測(cè)到目標(biāo)被高斯噪聲污染的位置為x，y，其功率密度為，其中σR=2。點(diǎn)的測(cè)量量化步進(jìn)Δ=5 m。圖1 中顯示了帶有區(qū)間和點(diǎn)測(cè)量的真實(shí)目標(biāo)軌跡。

圖1 具有間隔與量測(cè)的真實(shí)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)軌跡

為了全面檢驗(yàn)所提算法的性能，考慮30 個(gè)箱粒子的BPF、1-Lag BPS 和5-Lag BPS 的跟蹤精度，并與廣義的PF[5]、1-Lag前向-后向粒子平滑(Forward-Backward Particle Smoothing，F(xiàn)BPS)和帶2500個(gè)粒子的5-LagFBPS進(jìn)行比較。FBPS由文獻(xiàn)[24]給出，其對(duì)早期粒子的順序更新由核估計(jì)代替，并通過(guò)快速高斯變換進(jìn)行。

箱粒子濾波和平滑器的參數(shù)設(shè)置如下：

由于F 是線(xiàn)性的，因此[F]=F，這里設(shè)置σ=2 m，υ=0.05 m/s。

同樣地，設(shè)置機(jī)動(dòng)目標(biāo)的初始狀態(tài)向量為x2==[300 m，10 m/s，300 m，10 m/s]T，其中，當(dāng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)做勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)時(shí)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

其中，F(xiàn)ct為勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)移矩陣，θ 為轉(zhuǎn)彎速率，由于本文不涉及機(jī)動(dòng)性能較高的目標(biāo)，因此，在機(jī)動(dòng)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型只考慮兩種運(yùn)動(dòng)方式，分別為勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)與勻速轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)，并且轉(zhuǎn)彎速率取為4°/s 的較小速率，目標(biāo)狀態(tài)方程的誤差調(diào)為σw=5，則帶有區(qū)間和點(diǎn)量測(cè)的真實(shí)目標(biāo)軌跡如圖2 所示。

圖2 具有間隔與量測(cè)的真實(shí)機(jī)動(dòng)目標(biāo)軌跡

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析

3.2.1 精度對(duì)比分析

在目標(biāo)作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)軌跡初始算法并不完美，所有的箱粒子和粒子都是從[105 m，9 m/s，295 m，9 m/s]′中采樣，這三種算法的遞歸最小均方估計(jì)(RMMSE)如圖3 所示，結(jié)果在1 000 個(gè)蒙特卡羅模擬下。由于5-Lag BPS 需要固定的5 s 延遲，因此結(jié)果只顯示了1 至65 s的估計(jì)。

圖3 不同算法下的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤RMMSE 對(duì)比圖

作為結(jié)果，可以看到,與BPF 相比，1-Lag BPS 可以實(shí)現(xiàn)更好的精度，5-Lag BPS 的精度優(yōu)于1-Lag BPS，但是在下一小節(jié)會(huì)看到計(jì)算量的增加遠(yuǎn)大于精度的提升，這可能是在真實(shí)應(yīng)用中不推薦5-Lag BPS 的原因。

當(dāng)目標(biāo)為機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)，根據(jù)圖2 仿真的目標(biāo)軌跡，假設(shè)軌跡初始算法并不完美，所有的箱粒子和粒子都是從[305 m，9 m/s，295 m，11 m/s]′中采樣，這三種算法的遞歸最小均方估計(jì)(RMMSE)如圖4 所示，結(jié)果在1 000個(gè)蒙特卡羅模擬下?？梢钥闯觯惴ǖ男阅芫兴档停怯捎谠撍惴ㄊ窃趧蛩僦本€(xiàn)運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)模型推導(dǎo)出來(lái)的，最佳適用勻速直線(xiàn)目標(biāo)，對(duì)于機(jī)動(dòng)能力弱的目標(biāo)會(huì)導(dǎo)致算法性能下降，但未導(dǎo)致曲線(xiàn)發(fā)散與算法失效，因此本文提出的算法對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)仍為有效。

圖4 不同算法下的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤RMMSE 對(duì)比圖

3.2.2 速度對(duì)比分析

針對(duì)BPF、1-Lag BPS、5-Lag BPS、PF、1-Lag PS、5-Lag PS 等算法的計(jì)算速度問(wèn)題，本文選用CPU 為i7-6700，主頻為3.40 GHz，內(nèi)存為8 GB 的計(jì)算機(jī)平臺(tái)作為試驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)，利用MATLAB R2010a 軟件驗(yàn)證了各算法的計(jì)算速度，具體各算法的運(yùn)行時(shí)間如表4 所示?？梢钥吹剑?-Lag 平滑器在跟蹤精度方面表現(xiàn)出色，也不會(huì)帶來(lái)巨大計(jì)算量的問(wèn)題。

從表4 中可以看出，5-Lag BPS 計(jì)算時(shí)間最長(zhǎng)，1-Lag BPS 的計(jì)算時(shí)間比PF 的短，考慮到它們的跟蹤精度，可以得出結(jié)論：1-Lag BPS 綜合性能最好。

表4 不同算法計(jì)算時(shí)間對(duì)比表

4 結(jié)論

本文提出了一種基于區(qū)間分析和帶量化測(cè)量的箱形粒子遞歸的前向-后向平滑算法。它通過(guò)加入延遲觀(guān)測(cè)來(lái)提高跟蹤精度。傳統(tǒng)的粒子平滑器只關(guān)注粒子權(quán)重的更新，相比之下，本文所提出的箱粒子平滑器中的箱粒子會(huì)依據(jù)最新的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行移動(dòng)以接近目標(biāo)狀態(tài)的高似然區(qū)域，從而進(jìn)一步提高其性能。結(jié)果表明，在不增加太多計(jì)算量的情況下，計(jì)算精度得到了顯著提高。在未來(lái)的研究中，將更多的工作集中于在檢測(cè)前跟蹤(Track-before-detect,TBD)框架下研究BPS 的檢測(cè)特性，以進(jìn)一步研究其探測(cè)特性。