見(jiàn)“題”思“圖”，“畫(huà)”出精彩

胡莉莉

畫(huà)圖的策略是眾多的小學(xué)數(shù)學(xué)解題策略中最基本、最重要的策略之一。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，可以化抽象的數(shù)學(xué)條件為直觀，揭示題目本質(zhì)。本文以作者自身在教學(xué)實(shí)踐中的心得為例，介紹畫(huà)圖的策略在解決問(wèn)題中的應(yīng)用，以供參考。

一、創(chuàng)設(shè)畫(huà)圖解題的情境，增強(qiáng)學(xué)生畫(huà)圖解答問(wèn)題的意識(shí)

著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)：“算術(shù)符號(hào)是寫(xiě)下來(lái)的圖形，幾何圖形是畫(huà)下來(lái)的公式，數(shù)與形的辯證統(tǒng)一關(guān)系，使得數(shù)形結(jié)合思想成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種基本思想”。因此，教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖解決問(wèn)題的意識(shí)。

如在解答五年級(jí)上冊(cè)的“點(diǎn)陣問(wèn)題的計(jì)算”時(shí)，學(xué)生對(duì)點(diǎn)陣規(guī)律的內(nèi)涵掌握不透，此時(shí)教師抓住點(diǎn)陣圖形的直觀性和與數(shù)學(xué)算數(shù)題目的密切聯(lián)系，設(shè)置題目：“同學(xué)們，你們可以試著用算式來(lái)表示題目中的圖形嗎？第一個(gè)：1×1=1，第二個(gè)：2×2=4，第三個(gè)：3×3=9，那第四個(gè)算式應(yīng)該是什么呢？”鼓勵(lì)學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上，借助畫(huà)圖策略進(jìn)行問(wèn)題解答活動(dòng)。在此過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖以及對(duì)圖的觀察比較容易從點(diǎn)陣中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，他們可以將算式看成是相同數(shù)字相乘，也可以看成是連續(xù)奇數(shù)的和，從而學(xué)生可以輕松體會(huì)到圖形與數(shù)的關(guān)系，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的內(nèi)在情感得到了激發(fā)，主動(dòng)運(yùn)用畫(huà)圖策略解決問(wèn)題的意識(shí)得到顯著增強(qiáng)。再比如，教師在給學(xué)生講解“統(tǒng)計(jì)解決問(wèn)題辦法”一類(lèi)的應(yīng)用題時(shí)，為了讓學(xué)生更好地對(duì)可能產(chǎn)生的情況進(jìn)行歸納總結(jié)，應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生列出圖標(biāo)進(jìn)行歸納總結(jié)的能力。具體而言，首先教師需要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行客觀、準(zhǔn)確的題意分析活動(dòng)，找出題中的各個(gè)數(shù)量，借鑒情景圖的結(jié)構(gòu)和形式，把抽象的文字轉(zhuǎn)化為形象的圖形。如在講解“小紅有10張1元的人民幣、2張5元的人民幣。如果要拿出10元買(mǎi)一本書(shū)，可以有多少不同種拿法呢？每種拿法的具體情形是怎么樣的呢？”的問(wèn)題時(shí)，教師可先步步引導(dǎo)學(xué)生：“同學(xué)們，你們有沒(méi)有覺(jué)得在回答這個(gè)問(wèn)題時(shí)，思路很混亂，各種情形很難具體說(shuō)清呢？”同學(xué)們紛紛點(diǎn)頭表示同意。教師接著引導(dǎo)：“那么同學(xué)們有沒(méi)有什么解決的好辦法呢？”此時(shí)，同學(xué)們都低頭思索。教師就可以適時(shí)提出：“那么，同學(xué)們，我們?cè)诮獯鹪搯?wèn)題時(shí)，是否可以嘗試畫(huà)出1元、5元的人民幣，然后將數(shù)字作為標(biāo)記，通過(guò)列表的方式來(lái)解決這一問(wèn)題呢？”此時(shí)學(xué)生紛紛提出了不同的建議和想法。這樣，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖列表，列舉出了可能存在的情況，再次加強(qiáng)了用畫(huà)圖來(lái)解決問(wèn)題的能力。

二、注重畫(huà)圖過(guò)程的指導(dǎo)，提高學(xué)生畫(huà)圖解答問(wèn)題的效能

在日常教學(xué)中，教師既要盡可能引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，也要在教學(xué)實(shí)踐中逐步提高學(xué)生應(yīng)用圖形解決問(wèn)題的能力，因?yàn)槊恳环N數(shù)學(xué)解題策略的熟練應(yīng)用都是需要在練習(xí)中不斷鞏固和提高的。

例如，教師應(yīng)當(dāng)重視對(duì)學(xué)生分析圖意的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生找出問(wèn)題中存在的數(shù)量關(guān)系，逐步形成解決問(wèn)題的思路與步驟。如在講解“一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為36米，如果它的寬和長(zhǎng)各增加2米，面積增加多少平方米？”問(wèn)題時(shí)，教師先讓學(xué)生分析問(wèn)題的條件及要求：“同學(xué)們，你們知道長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是怎樣計(jì)算的嗎？”學(xué)生們異口同聲地回答：“是通過(guò)長(zhǎng)加寬計(jì)算的?！苯處熇^續(xù)引導(dǎo)：“那你們通過(guò)題目中的已知條件，可以計(jì)算出什么呢？”此時(shí)，學(xué)生很容易就可以發(fā)現(xiàn)根據(jù)已知條件可以求得：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為18米。但是學(xué)生此時(shí)會(huì)因?yàn)轭}目中未給出長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系而難以下手計(jì)算。教師在學(xué)生冥思苦想時(shí)可以進(jìn)行恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥：“如果大家無(wú)法在題目中找到想要的條件，那么不妨動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，如果通過(guò)圖形的平移補(bǔ)充是否會(huì)有不同的思路呢？”此時(shí)有學(xué)生在教師的引導(dǎo)下畫(huà)出了題目中的圖形，然后通過(guò)圖形的移動(dòng)將增加部分變成了一個(gè)完整的新的長(zhǎng)方形。因此學(xué)生就不難發(fā)現(xiàn)：這個(gè)新的長(zhǎng)方形的寬之和18米加上2米，即20米，因此，面積增加20×2等于40平方米，使得難題迎刃而解。又如在講解“按比例分配”的應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生常?；煜藨?yīng)當(dāng)減去部分的比例，此時(shí)教師就可以啟發(fā)學(xué)生恰當(dāng)運(yùn)用線段圖進(jìn)行計(jì)算。例如教師可以提出問(wèn)題：“同學(xué)們，如果一個(gè)發(fā)電廠原來(lái)有煤5000噸，用去3/5，那么還剩多少噸呢？”有的同學(xué)在解答時(shí)可能會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤：直接用5000×3/5就得出答案，而忘記用全部的噸數(shù)相減。此時(shí)教師在發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的錯(cuò)誤后，就可以適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生：是不是可以通過(guò)畫(huà)線段圖來(lái)檢驗(yàn)自己列算式的步驟呢？學(xué)生在教師的啟發(fā)下，列出了一條五等分的線段。教師繼續(xù)指導(dǎo)學(xué)生：“那么哪些部分是剩余的呢？哪些部分是用去的呢？”學(xué)生通過(guò)畫(huà)線段圖就可以對(duì)應(yīng)當(dāng)求得的結(jié)果一目了然，也就清楚地明白了自己的錯(cuò)誤所在。這樣教師通過(guò)對(duì)學(xué)生畫(huà)圖方法的指導(dǎo)，就可以在無(wú)形中提高學(xué)生畫(huà)圖解答問(wèn)題的效能。

三、重視畫(huà)圖策略的評(píng)析，提升學(xué)生畫(huà)圖解答問(wèn)題的素養(yǎng)

教師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形解決問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)注重及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易犯的普遍性錯(cuò)誤然后及時(shí)糾正，這樣才能更好地幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)中的不足之處。

例如，在教學(xué)“平面圖形面積”的應(yīng)用題時(shí)，教師可以對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題：“同學(xué)們，圖片中是育才小學(xué)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的平面圖。已知中間長(zhǎng)方形足球場(chǎng)的面積是5000平方米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是100米，你們可以計(jì)算出育才小學(xué)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的總面積是多少嗎？”有的同學(xué)反應(yīng)迅速：“當(dāng)然可以。只要先計(jì)算出中間正方形的寬度：5000÷100=50，然后根據(jù)圓的面積公式，計(jì)算出半圓的面積，然后將所求結(jié)果相加就是總面積了。”教師及時(shí)對(duì)學(xué)生表示肯定：“這位同學(xué)的思路非常正確，那同學(xué)們可以按照這一思路列出相關(guān)的算式嗎？”此時(shí)，同學(xué)們紛紛低頭各自列出算式，教師就可以注重觀察學(xué)生在獨(dú)立列出算式時(shí)產(chǎn)生的問(wèn)題。這時(shí)，教師非常容易地就會(huì)發(fā)現(xiàn)：有不少學(xué)生由于對(duì)圓的面積公式未能理解透徹，將半圓面積作為整個(gè)圓面積計(jì)算，從而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。此時(shí)教師可以就學(xué)生產(chǎn)生的問(wèn)題進(jìn)行點(diǎn)撥：“同學(xué)們，請(qǐng)你們?cè)俅巫屑?xì)觀察圖片中的體育場(chǎng)，這個(gè)操場(chǎng)整體是由哪兩個(gè)圖形組成的呢？”同學(xué)們都異口同聲地回答道：“是由一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)半圓組成的。”有的學(xué)生此時(shí)已經(jīng)可以意識(shí)到自己在計(jì)算時(shí)所犯的錯(cuò)誤并且及時(shí)進(jìn)行糾正，教師也應(yīng)當(dāng)著重提醒學(xué)生：“一定要注意觀察圖形，恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用公式?！边@樣，學(xué)生可以很快理清解題思路，找出解題的不足之處，有效形成了解決問(wèn)題的策略思路，促進(jìn)了解題素養(yǎng)的有效提升。又如學(xué)生在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形的面積的計(jì)算時(shí)，由于之前學(xué)生學(xué)習(xí)的代數(shù)類(lèi)問(wèn)題居多，第一次接觸幾何計(jì)算類(lèi)題目，如果不借助圖形，學(xué)生理解起來(lái)就會(huì)有些吃力，因此學(xué)生更加容易犯錯(cuò);而且對(duì)于一些用文字語(yǔ)言描述的問(wèn)題，部分學(xué)生無(wú)從下手，此時(shí)如果學(xué)生能按題目要求畫(huà)出草圖，便能將抽象問(wèn)題直觀化，再難的題也能迎刃而解。例如，教師向?qū)W生提出問(wèn)題：“用兩個(gè)長(zhǎng)4厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形拼成正方形或長(zhǎng)方形，拼成的正方形、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)各是多少厘米？”有的學(xué)生給出的錯(cuò)誤解答的方式是先求出一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（4+2）×2=12 （厘米），然后誤認(rèn)為拼成的長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)為一個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的2倍，于是用12×2=24 （厘米）。這樣的錯(cuò)誤就是因?yàn)閷W(xué)生并沒(méi)有自己動(dòng)手畫(huà)圖，而是僅僅憑借自身的空想就得出了答案。此時(shí)教師就應(yīng)當(dāng)提醒學(xué)生：“真實(shí)的情況真的是這樣的嗎？我們一起動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，看看是否正確呢？”學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下紛紛動(dòng)手畫(huà)圖，然后學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過(guò)草圖可以直觀地看出拼成的正方形邊長(zhǎng)為4厘米，所以周長(zhǎng)為：4×4=16 （厘米）;而拼成的長(zhǎng)方形，由草圖可以直觀地看出長(zhǎng)為2×4=8 （厘米），寬為2厘米，所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（8+2）×2=20 （厘米）。這樣學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己原來(lái)在腦海中構(gòu)想的圖形是不正確的，實(shí)際的情形還是需要通過(guò)自己動(dòng)手親自畫(huà)圖才能發(fā)現(xiàn)。這樣學(xué)生就可以更加了解到自己在畫(huà)圖做題方面的缺陷，更加有效地提升自己的畫(huà)圖能力。

四、借助畫(huà)圖策略的運(yùn)用，幫助學(xué)生拓展數(shù)學(xué)解題思路

往往在學(xué)生對(duì)一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題一籌莫展時(shí)，他們可以通過(guò)畫(huà)圖策略得到啟示，獲得“柳暗花明又一村”的喜悅，而且通過(guò)畫(huà)圖的形式往往會(huì)讓他們得到新的啟發(fā)。

例如，教師在給學(xué)生講解排隊(duì)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往很難理解，此時(shí)教師如果帶領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖對(duì)排隊(duì)問(wèn)題解決，會(huì)讓學(xué)生通過(guò)自主思考產(chǎn)生多種多樣的想法。比如，教師可以向?qū)W生提出問(wèn)題：“同學(xué)們，如果有14名小朋友在排隊(duì)，從前面數(shù)小王排在第4位，小紅排在第12位，那么小王和小紅之間有幾個(gè)小朋友？”學(xué)生聽(tīng)到問(wèn)題后往往會(huì)感覺(jué)到困惑，此時(shí)教師不妨引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圓圈來(lái)表示排隊(duì)的同學(xué)，然后畫(huà)出題目中對(duì)應(yīng)的情形。有的學(xué)生用10個(gè)圓圈來(lái)對(duì)十名學(xué)生進(jìn)行表示，再將小王和他前面的2名同學(xué)劃掉，而后將小紅和她后面的同學(xué)劃掉，即14-4-3=7。還有的同學(xué)則只畫(huà)了11個(gè)圈，把小紅后面的2個(gè)劃掉，再劃掉自己和小紅兩人，就成了11-2-2=7。這樣學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖對(duì)問(wèn)題有了自己獨(dú)特的解決方式，產(chǎn)生了各種各樣不同的解題方法，從而拓展了學(xué)生的思維，讓學(xué)生得到了不同的解題方法。再比如，教師在講解一些求積的應(yīng)用題時(shí)，很多學(xué)生因?yàn)槿鄙倏臻g想象力而很難理解題目想要表達(dá)的意思，所以無(wú)從下手。此時(shí)教師如果可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖形來(lái)解決問(wèn)題，往往會(huì)幫助學(xué)生打開(kāi)新的思路，使得題目?jī)?nèi)容直觀形象，更加有利于學(xué)生的思考。例如，教師可以向?qū)W生提問(wèn)：“把一個(gè)正方體切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積就增加了8平方米，那么原來(lái)正方體的表面積是多少平方米呢？”學(xué)生如果只憑借想象，做起題來(lái)比較困難。但是他們?nèi)绻梢园凑疹}意畫(huà)圖，就可以幫助他們思考，找出解決的辦法。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖，很容易就會(huì)意識(shí)到增加的表面積其實(shí)就是兩個(gè)正方形的面，這樣就可以求出每個(gè)面的面積，繼而就可以輕松求出原來(lái)正方體的表面積了。

結(jié)語(yǔ)：

畫(huà)圖策略教學(xué)可以使得問(wèn)題化抽象為直觀，化難為易，讓一些原本看來(lái)很難的問(wèn)題迎刃而解，使問(wèn)題得以快速地解決。因此在日常教學(xué)中，教師要盡可能發(fā)覺(jué)“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。A43C8687-DC61-4478-9525-BBEB16B5D667