高中數(shù)學中恒成立問題的探究

鄭劍

在高中數(shù)學教學中，函數(shù)與導數(shù)是兩個非常重要的內(nèi)容。很多學生在研究函數(shù)題目的過程中，導數(shù)是一個非常重要的工具，對提高解題效率、解含有參數(shù)的不等式恒成立等問題帶來極大幫助。對此，在本文的研究中，需要思考高中數(shù)學中恒成立不等式問題的一些常見解法，希望能夠幫助學生尋找這一類題目的解題規(guī)律與技巧，對提高數(shù)學成績具有一定的指導意義。

1. 高中數(shù)學中恒成立問題的解題原則

關(guān)于恒成立問題的解析，一般和函數(shù)、方程、導數(shù)等概念全面融合，其展現(xiàn)方式豐富多樣，并且解法各有不同，存在一定的解題技巧，是學生學習過程中的一個重難點。對此，我們需要了解常見的解題原則，由此能夠幫助高三學生尋找最理想的解題方法。

1.1 由淺入深，將不同題型區(qū)別對待

接下來我們探討一次函數(shù)f（x）=kx+b對x∈（m， n）恒成立問題。

例題1：f（x）=ax+2a+1≥0對x∈（-1， 2）恒成立，那么，計算a值范圍。

解題思路：通過f（-1）≥0， f（2）≥0，能夠推導出-a+2a+1≥0， 2a+2a+1≥0，接下來即可確定a的取值范圍，即：a≥-

那么我們能夠得出：一次函數(shù)f（x）=kx+b≥0對x∈（m， n）恒成立，由此能夠推導出f（m）≥0且f（n）≥0。

如果將題目進行變換，即：如果函數(shù)f（x）=ax+2a+5對a∈

（-1， 2）恒成立，那么計算出x的取值。

解題思路：假設(shè)g（a）=f（x）=ax+2a+5=（x+2）a+5≥0對a∈（-1， 2）恒成立。

對此，通過g（-1）≥0且g（2）≥0能夠推導出-x-2=5≥0且2x+4+5≥0，則能夠確定x的取值范圍，即（-， 3）。值得注意的是，在觀察相關(guān)變量的過程中，必須要靈活的面對各類情況，同時還需要隨時調(diào)整變量，切不可鉆牛角尖，一定要靈活應(yīng)用。

1.2 夯實基礎(chǔ)，靈活運用知識，提高解題轉(zhuǎn)化能力

我們通過一個實際例題進行解題：已知函數(shù)的定義域，計算參數(shù)的求值范圍。

例題1：已知函數(shù)f（x）=的定義域是R，然后確定a的取值范圍。

思路：f（x）的定義域是R

通過ax2+x+1對x∈R恒成立，能夠推導出a的值是0這句話是不成立的，也就是說，a>0且△≤0，隨后推導出a>0，且1-4a≤0，隨后確定a的取值，即：a≥。

如果對這道題進行變形，其題目是：已知函數(shù)f（x）=log2（ax2+x+1）的定義域是R，那么確定a值的大小。

此時在解題的過程中，將題型轉(zhuǎn)化，則能夠?qū)⒑瘮?shù)轉(zhuǎn)變成單調(diào)區(qū)間，然后確定參數(shù)的范圍。具體可參考以下例題。

已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+ax，那么于x∈[-1， 2]的范圍內(nèi)，其具有單調(diào)遞增的變化特點，此時需要計算a的取值范圍。

在解題的過程中，已知f（x）=x3-3x2+ax在x∈[-1， 2]上具有單調(diào)遞增的特點，那么f（x）=3x2-6x+a≥則是x∈[-1， 2]范圍內(nèi)是恒成立的，也就是說，a≥6x-3x2對x∈[-1，2]是恒成立的。

所以，我們能夠保證g（x）=6x-3x2在[-1， 2]的范圍內(nèi)屬于最大值即可。

假若x=1的話，那么g（1）=3屬于最大值。

所以，m≥3.

由此來看，通過以上轉(zhuǎn)化處理，就能夠按照這一單調(diào)區(qū)間進行求解。

1.3 綜合應(yīng)用相關(guān)知識求解，增強推理論證能力

在解題的過程中，可以通過恒成立問題，由此來驗證函數(shù)不等式。

例題1：已知函數(shù)f（x）=x-x2+3lnx，由此來驗證：f（x）≤2x-2。

解題思路：如果要判斷f（x）≤2x-2是否正確，那么則需要判斷x-x2+3lnx≤2x-2是否正確，所以，需要思考x2+x-2-3lnx≥0是否成立。此時，需要假設(shè)g（x）=x2+x-2-3lnx，計算出在x>0的條件下，g（x）=x2+x-2-3lnx的最小值范圍。

此時，g（x）=2x+1-3/x的計算結(jié)果是0，隨后即可確定在x=1的條件下的最小值。

如果g（0）=0是最小值的話，那么即可判斷原不等式是成立的。

如果不等式無法通過普通的對比法，尤其是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)等互相結(jié)合展開對比，那么其計算過程相對繁瑣，此時需要通過這種方式進行計算。

得出結(jié)論：x∈D，那么f（x）>g（x） 則能夠推導出F（x）=f（x）-g（x）在x∈D條件下的最小值大于0。當然，如果將后者當作已知條件，也能夠推導出前者。

2. 高中數(shù)學中恒成立問題的常見的解題方法

2.1 數(shù)形結(jié)合法

把需要求解的問題，對其實施相應(yīng)的變形轉(zhuǎn)化，能夠放在相同的坐標系中繪制相應(yīng)的函數(shù)圖像，接下來需要借助于圖像的位置關(guān)系，確定最終的結(jié)論。對于這種解題方法來說，一般稱作為數(shù)形結(jié)合法或者“以形助教”法，能夠大大提高解題效率。

例題1：已知函數(shù)f（x）=x（inx+3/2）， g（x）=ax3/2+x（a∈D），如果g（x）≥f（x）恒成立，計算a的取值。

解析：若要讓g（x）≥f（x）恒成立，那么，ax2/3≥lnx+1/2在區(qū)間（0， +∞）是恒成立的，由此能夠?qū)⒑瘮?shù)轉(zhuǎn)化成h（x）=ax2/3-1/2，對此，其在y軸右端的圖像一直處于φ（x）=lnx的圖像上側(cè)。

接下來需要繪制出函數(shù)f（x）與φ（x）的圖像，如果讓它們在（0， +∞）有，同時僅存在一個公共點，并且需要達到h（x）的圖像一直處于φ（x）的圖像上側(cè)，那么于公共點Q位置上，存在相同的切線L。2BE22783-D69A-47F0-93D0-1EB02B3C6EA3

如果公共點Q（x0， y0），那么曲線y（x）=inx于點Q位置的一切線方程是y-inx0=1/x0（x-x0），曲線h（x）=ax2/3-1/2與點P位置上的切線方程式是Y=2ax0x/3-ax02/3-1/2，對此能夠確定2ax0/3=1/x0， ax02/3-1/2=Inx0，隨后能夠確定x0的值是1，且a的值是3/2。

對此，如果a≥3/2的話，那么函數(shù)h（x）的圖像一直處于φ（x）的上端，所以能夠確定a的取值范圍是在（3/2， +∞）之間。

點評：通過以上解題步驟我們能夠發(fā)現(xiàn)：如果對函數(shù)公式進行變形轉(zhuǎn)化的話，則能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)變成一個基礎(chǔ)初等函數(shù)，所以需要借助于圖形的方式進行求解，在解題的過程中，思路是比較清晰的，通過數(shù)形結(jié)合的方法能夠體現(xiàn)出“見數(shù)思圖，以形助數(shù)”的特點，它是用來解含參數(shù)不等式恒成立問題的一個重要應(yīng)用策略。

例題2：倘若對任一實數(shù)x，不等式|x+1|≥kx恒成立，此時需要確定k的取值范圍。

那么在求解的過程中，需要繪制y1=|x+1|與y2=kx的圖像，接下來通過觀察圖像就能夠確定k值的范圍，即在[0， 1]之間。

2.2 構(gòu)造函數(shù)法

對于這個解題方法來說，它主要是借助于函數(shù)的單調(diào)性進行解題。對此，根據(jù)以上解題原則我們能夠發(fā)現(xiàn)了這一解題思路的實際應(yīng)用，接下來我們對其展開深入探討。

例題1：證明：如果x∈[0， 1]的話，x/2≤sinx≤x;另外，如果不等式ax+x2+x3/2+2（x+2） cosx≤s，那么對x∈[0， 1]恒成立的話，則需要確定實數(shù)a的求值范圍。

在驗證的過程中，首先需要標記F（x）=sinx-x/2，那么F（x）=cosx-/2。

對此，如果x∈[0， π/4]的話，則F（x）>0，對此，F(xiàn)（x）在區(qū)間

[0， π/4]的范圍內(nèi)屬于一個增函數(shù)，也就是說其是遞增變化的。

如果x∈（π/4， 1）的話，則F（x）<0，對此，F(xiàn)（x）在區(qū)間[π/4， 1]上屬于遞減函數(shù)，同時，F(xiàn)（0）的值是0，同時F（1）>0。

對此，如果x∈（0， 1）的話，F(xiàn)（x）≥0的話，則就是說明sinx≥/2.

標記，H（x）=sinx-x，那么如果x∈（0， 1）的話，H（x）=cosx-1<0，對此H（x）與[0， 1]范圍內(nèi)屬于遞減函數(shù)，對此，H（x）≤H（0）=0，也就是說sinx≤x。

由此來看，x/2≤sinx≤x，那么x的取值范圍是[0， 1]。

例題2：對于已經(jīng)符合[P]≤2的全部實數(shù)P，則需要讓不等式x2+Px+1≥2x+P恒成立，此時需要確定x的取值范圍。

解題思路：在不等式中存在2個變量X與P，如果將P認定是自變量的話，那么問題需要轉(zhuǎn)化成[-2， 2]范圍內(nèi)針對P的一次函數(shù)>0恒成立問題。

對此，需要證明不等式也就是（x-1）P+x2-2x+1>0。

如果f（P）=（x-1）P+x2-2x+1，那么f（P）=（x-1）P+x2-2x+1，那么f（P）在[-2， 2]范圍內(nèi)恒大于0。

所以，f（-2）>0，同時f（2）>0，也就是說x2-4x+3>0，且x2-1>0。

在解題的過程中，x<-1或者x>3，也就是說，x∈（-∞， -1） U（3， +∞）。

點評：在計算以上類型數(shù)學問題的過程中，通常需要讓學生將某一字母認定是自變量，然后通過一次函數(shù)的性質(zhì)，且確保在這一線段兩側(cè)都能夠在軸的上端或下端。

2.3 導數(shù)介入法

例題1：函數(shù)f（x）是一個奇函數(shù)，同時在[-1， 1]范圍屬于單調(diào)遞增的變化，同時f（-1）=-1，如果f（x）≤t2-2at+1對全部的x∈[-1， 1]、a∈[-1， 1]全部成立，則需要確定t的取值范圍。

解題思路：由于f（x）是一個奇函數(shù)，那么f（1）=-f（-1）=1，同時f（x）于[-1，1]的范圍內(nèi)屬于單調(diào)遞增，對此，f（x）最大值=f（1）=1。

因為f（x）≤t2-2at+1對全部的a∈[-1， 1]全部成立，所以，僅需要t2-2at+1≥1的話，對此，t2-2at≥0，再加上由于對全部的a∈[-1， 1]均成立，也就是說與a的一次函數(shù)在[-1， 1]范圍內(nèi)≥0屬于恒成立，也就是說，t2-2t≥0且t2+2t≥0。

評論：通過變量分解來處理恒成立問題，一般是將其轉(zhuǎn)變成函數(shù)的最值問題進行計算，那么整個過程會變得更加簡單。

3. 結(jié)束語

總而言之，關(guān)于以上的求解方法，都存在一定的相關(guān)性，它們之間的關(guān)系并非完全孤立。所以在進行恒成立問題解答的過程中，必須要分析其中的解題思路，其中核心的解題方法是轉(zhuǎn)化，能夠?qū)栴}置于特定的情境中進行計算，并按照特定的參考條件進行綜合應(yīng)用，方可達到轉(zhuǎn)化思想、分類討論等目的。2BE22783-D69A-47F0-93D0-1EB02B3C6EA3