邏輯推理能力在高中數(shù)學(xué)中的培養(yǎng)策略與教學(xué)策略分析

楊晶鳳

【摘要】在教授數(shù)學(xué)的過程中，傳授基礎(chǔ)知識(shí)和訓(xùn)練基本技能是基礎(chǔ)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是關(guān)鍵.數(shù)學(xué)教學(xué)過程是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，特別是培養(yǎng)邏輯思維能力的過程.如何才能提高邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？我的回答是：首先要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生真正喜歡邏輯推理;其次就是在教學(xué)的實(shí)際情境中讓邏輯推理在最大限度上發(fā)揮它的能力效果，以便更好地完成高中數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù). 本文以高中數(shù)學(xué)教學(xué)“函數(shù)的基本性質(zhì)”中的邏輯性為例，分析了如何發(fā)展學(xué)生的邏輯推理技能，以及提高邏輯思維能力的教育戰(zhàn)略.

【關(guān)鍵詞】邏輯推理;高中數(shù)學(xué);教學(xué)策略

一、引言

邏輯嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)所具有的一個(gè)特點(diǎn).通俗地說，根據(jù)已知條件能夠判斷未知條件的這種思維形式就叫作邏輯推理.它主要分為兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理的形式主要是歸納和類比;另一類是從一般到特殊的推理，并且在很大程度上是推理形式的演繹.數(shù)學(xué)中邏輯推理能力是指正確使用思維定律和思維形式來分析和綜合數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)問題的屬性，并通過推理創(chuàng)造的能力.其中一項(xiàng)能力應(yīng)該是能夠完成學(xué)生所需的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的能力.它對(duì)學(xué)生的素質(zhì)要求是：通過對(duì)高中數(shù)學(xué)課程的研究，使學(xué)生掌握邏輯思維的基本形式，提高思維的邏輯性，引導(dǎo)學(xué)生有邏輯地思考問題;能夠了解更復(fù)雜情況下的對(duì)象之間的聯(lián)系，并了解發(fā)展對(duì)象的上下文聯(lián)系;形成有力的論據(jù)、方法、品質(zhì)，思維上要有邏輯性，要具備理性思維，并提高溝通技巧.邏輯推理素養(yǎng)有三個(gè)層次水平，學(xué)生從中必須達(dá)到能掌握一些基本命題和證明定理方法的能力，以及能用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)地表述論證過程的要求.

二、邏輯推理在高中數(shù)學(xué)中的教學(xué)策略分析

在數(shù)學(xué)中邏輯推理發(fā)揮的作用可以說是獨(dú)一無二的，它是高中數(shù)學(xué)課程實(shí)施的主要途徑.在人教A版高中數(shù)學(xué)必修一的第三章第二節(jié)中介紹了有關(guān)函數(shù)的基本性質(zhì)，其中函數(shù)單調(diào)性的證明引入了邏輯推理的知識(shí).以下是針對(duì)邏輯推理在“函數(shù)的基本性質(zhì)”教學(xué)中提出的教學(xué)策略，讓學(xué)生在研究函數(shù)單調(diào)性的同時(shí)發(fā)展邏輯思維，在考慮這類問題時(shí)，能夠知道遵循解題的規(guī)則.

例題1 已知函數(shù)f（x）=ax+bx2+1是（-1，1）上的奇函數(shù)，且f12=25.

（1）求f（x）的解析式;

（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明;

（3）若實(shí)數(shù)t滿足f（t-1）+f（t）>0，求t的取值范圍.

教師先要引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的已知條件和隱含條件，把這些條件都一一列出來，再分析每個(gè)小題需要用到有關(guān)函數(shù)的哪些基本性質(zhì)以及與那些性質(zhì)相對(duì)應(yīng)的概念和命題.教師在演示解題步驟的同時(shí)，要著重強(qiáng)調(diào)邏輯推理的書寫格式， 讓學(xué)生有循序漸進(jìn)的推理基礎(chǔ)，并能在上一個(gè)步驟的條件下得出接下來需要用到的結(jié)論.

（1）分析：函數(shù)有兩個(gè)未知數(shù)，除了已知條件，只要學(xué)生掌握奇函數(shù)的特點(diǎn)，就能輕而易舉地找出題目中的另一個(gè)條件f（0）=0，從而利用待定系數(shù)法求出a，b的值.

解 （1）由已知得

f（0）=0，

f 12=25，

則

b=0，2a+4b5=25，

解得

a=1，b=0，

∴f（x）=xx2+1，x∈-1，1.

（2）分析：在第一問的基礎(chǔ)上，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性，需要驗(yàn)證當(dāng)x1f（x2）.根據(jù)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，只需要驗(yàn)證f（x1）-f（x2）與0的大小關(guān)系.這一類題目可以用演繹推理的方法來證明，但是要明確使用演繹推理這類方法的前提.演繹推理一般是“三段論”的模式，像“若bc，ab，則ac”這種類型的推理規(guī)則稱為三段論推理.它分為三個(gè)部分：主要基礎(chǔ)、次要原理和推斷，俗稱大前提、小前提和結(jié)論.這類題目還要明確三段論的一般步驟：（1）①bc;②ab;③得出結(jié)論ac.

（2）函數(shù)f（x）在-1，1上單調(diào)遞增.

解 證明如下：任取x1，x2∈（-1，1），且x1>x2，

則

f（x1）-f（x2）

=x1x21+1-x2x22+1

=x1x22+1-x2x21+1x21+1x22+1

=x1x22-x21x2+x1-x2x21+1x22+1

=x1-x21-x1x2x21+1x22+1，

∵x1，x2∈-1，1，

∴1-x1x2>0，

又x1>x2，

∴f（x1）-f（x2）>0，

從而f（x1）>f（x2），

即函數(shù)f（x）在-1，1上單調(diào)遞增.

（3）分析：在做這種題的時(shí)候，對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)掌握不熟練的學(xué)生第一想法可能是將t-1和t直接代入方程來求解不等式，不能充分利用題目所給出的已知條件.這樣解題就大大增加了運(yùn)算難度，也間接反映出學(xué)生邏輯推理能力方面的弱點(diǎn).此題可以充分利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，解不等式可得結(jié)論.

解 （3）f（t-1）+f（t）>0可化為f（t-1）>f（-t），

即-1-t，

解得012，

∴t的取值范圍為12

例題2 已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f x1x2=f（x1）-f（x2），且當(dāng)x>1時(shí)，f（x）<0.

（1）求f（1）的值;3BF5A383-A483-4BF2-A7C3-556E1C681769

（2）證明：f（x）為單調(diào)遞減函數(shù);

（3）若f（3）=-1，求f（x）在2，9上的最小值.

（1）分析：題目要求的是f（1）的值，所以可以讓學(xué)生把等式f x1x2=f（x1）-f（x2）中x1x2看成一個(gè)整體1，也就是讓x1=x2，由此可以求得f（1）的值.

解 （1）令x1=x2>0，代入f x1x2=f（x1）-f（x2）中可得

f（1）=f（x1）-f（x2）=0.

故f（1）=0.

（2）分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性，需要驗(yàn)證當(dāng)x1>x2時(shí)，f（x1）f（x2）.由題目中所給出的條件：當(dāng)x>1時(shí)，f（x）<0，我們就可以令x1x2>1，然后再根據(jù)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，去驗(yàn)證f（x1）-f（x2）與0的大小關(guān)系.這一類題目和例題1中的（2）一樣，可以用演繹推理的方法來證明，但是要明確使用演繹推理這類方法的前提.演繹推理一般是三段論的模式，像“若bc，ab，則ac”這種類型的推理規(guī)則稱為三段論推理.它分為三個(gè)部分：主要基礎(chǔ)、次要原理和推斷，俗稱大前提、小前提和結(jié)論.這類題目還要明確三段論的一般步驟：①bc;②ab;③得出結(jié)論ac.

證明 （2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1>x2，則x1x2>1，

由于當(dāng)x>1時(shí)，f（x）<0.

所以f x1x2<0，即f（x1）-f（x2）<0.

因此f（x1）

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù).

（3）分析： 根據(jù)第二問的結(jié)論，我們已經(jīng)得出了函數(shù)的單調(diào)性，而且題目中已經(jīng)明確給出了函數(shù)自變量的取值范圍，所以我們就利用題目中已給的等式f x1x2=f（x1）-f（x2）和f（3）=-1來求最小值. 教師在教學(xué)過程中要進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，但又不把具體的答案告訴學(xué)生，以此來吸引學(xué)生的興趣，讓學(xué)生學(xué)會(huì)充分運(yùn)用已知條件進(jìn)行邏輯推理，拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)其獨(dú)立解決問題的能力.

解 （3）∵f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，

∴f（x）的最小值為f（9）.

∵f x1x2=f（x1）-f（x2），

∴f93=f（9）-f（3）.

∵f（3）=-1，

∴f（9）=-2.

f（x）在[2，9]上的最小值為-2.

從以上例子中我們知道：學(xué)生必須清楚邏輯推理的定義、結(jié)構(gòu)、形式和要求. 數(shù)學(xué)的邏輯推理能力是考核學(xué)生數(shù)學(xué)水平的重要標(biāo)志，也是數(shù)學(xué)教師必須重視的教學(xué)內(nèi)容之一.因此，教師在教學(xué)過程中，主要從以下幾個(gè)方面著重培養(yǎng).

（1）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)能力

一方面，在人格上，教師要與學(xué)生建立良好的師生關(guān)系，教學(xué)相長，共同進(jìn)步，多與學(xué)生互動(dòng)和交流，在發(fā)揮教師主導(dǎo)性的同時(shí)更要注重發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂，改變學(xué)習(xí)態(tài)度，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)能力.另一方面，在教學(xué)內(nèi)容上，教師在教學(xué)中要學(xué)會(huì)抓重點(diǎn)、難點(diǎn)及關(guān)鍵點(diǎn)，抓住教學(xué)內(nèi)容的主要矛盾，要做好預(yù)設(shè)與生成，要從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)實(shí)生活出發(fā)，多從如何讓學(xué)生提升興趣的角度思考.

（2）抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)會(huì)舉一反三

邏輯思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育的重要方面.在本質(zhì)上，我們可以將思維概括為分析和綜合、推理和應(yīng)用，在外在表現(xiàn)上就成了速度和效率.教師只有把重心放在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力上，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，以便更好地促進(jìn)課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).教師要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，最重要的是對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練.

首先是對(duì)學(xué)生思維敏捷性的訓(xùn)練.對(duì)高中生來說，課堂是教師訓(xùn)練學(xué)生思維敏捷性的主要場(chǎng)所.因此，教師要把更多的時(shí)間給學(xué)生，合理安排課堂教學(xué)，采用靈活多變的教學(xué)手段，合理利用感知規(guī)律，加強(qiáng)直觀教學(xué)的效果，從而訓(xùn)練學(xué)生的思維并提高課堂教學(xué)的效率.

其次是對(duì)學(xué)生思維概括性的訓(xùn)練.要想對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維概括性的訓(xùn)練，教師可以在課堂教學(xué)中多設(shè)置一些討論交流環(huán)節(jié).教師通過讓學(xué)生表達(dá)自己的想法，讓其分析和探索解決問題的各種方式，總結(jié)出解決這些問題的方法，進(jìn)而訓(xùn)練學(xué)生思維的概括性.

再次是對(duì)學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練.教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考面對(duì)已知過程以外的其他過程，培養(yǎng)學(xué)生反向看問題的習(xí)慣，善于思考事物反向的結(jié)果.在講解題目時(shí)教師要盡可能做到呈現(xiàn)多種解題過程，舉一反三，盡可能地拓展學(xué)生的思路.

最后是重視學(xué)生對(duì)問題的反思.通過對(duì)多名學(xué)生的訪談，我了解到許多學(xué)生在完成家庭作業(yè)或進(jìn)行大量的問題解決的過程中，都嚴(yán)重缺乏問題反思的意識(shí).學(xué)生在努力思考和解決一道數(shù)學(xué)題之后，教師必須引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真思考以下問題：題目想考查的知識(shí)點(diǎn)是什么？將考查我們的命題和推論，知識(shí)和技能的哪些方面？所求答案是否正確？題目中規(guī)定的條件是否完全適用？這個(gè)問題還有別的解決辦法嗎？這個(gè)問題有沒有其他的解決方案？在眾多解決方案中，哪一個(gè)是最簡(jiǎn)單的？這種思考問題的過程就是反思過程.

在整個(gè)數(shù)學(xué)理論的形成過程中都需要運(yùn)用邏輯推理.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師要抓住邏輯推理的特點(diǎn)，即教給學(xué)生概念、命題、原理和方法.如果我們無法理解理論的本質(zhì)，就無法理解如何將概念應(yīng)用于具有理性的概念中去驗(yàn)證結(jié)論.數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重是概念、原理和方法的教學(xué).學(xué)生只要掌握了邏輯推理的基本方法，使用邏輯思維工具來進(jìn)一步理解新事物和解決新問題就容易多了.要想使分析、判斷、推理之類的思考活動(dòng)順利進(jìn)行，前提是必須掌握數(shù)學(xué)概念、原理和方法.

三、邏輯推理能力在高中數(shù)學(xué)中的培養(yǎng)策略分析3BF5A383-A483-4BF2-A7C3-556E1C681769

學(xué)生邏輯推理方法的掌握，解決問題能力的提高，都要具備以下幾個(gè)方面的能力：

（1）能夠深刻理解和靈活地使用基本知識(shí)的能力.大量的知識(shí)積累是我們順利掌握邏輯推理方法的墊腳石.因此我們要做好充足的理論準(zhǔn)備，掌握了理論知識(shí)，方法自然而然地就會(huì)運(yùn)用了.

（2）發(fā)散思維.邏輯思維本身就具有很強(qiáng)的擴(kuò)展性和靈活性，可以說它和發(fā)散思維是密切相關(guān)的，思維發(fā)散的人的邏輯性肯定是比思維不發(fā)散的人的邏輯性要強(qiáng)，因?yàn)樗季S發(fā)散的人的知識(shí)儲(chǔ)備量大，基礎(chǔ)知識(shí)更加牢固，知識(shí)運(yùn)用起來更加得心應(yīng)手，可以從多方面進(jìn)行思維活動(dòng).當(dāng)然這并不意味著知識(shí)越豐富，思維就越發(fā)散，往往還需要具備從多角度考慮問題的思想和能力，把所有可能的結(jié)果都想一遍，充分理解各事物之間的聯(lián)系.

（3）表達(dá)能力.這里的表達(dá)能力不僅包括語言表達(dá)能力，還包括書面表達(dá)能力.學(xué)生不僅能把自己心里想的用清晰的語言表達(dá)出來，還能準(zhǔn)確無誤地在紙上寫出來.學(xué)生在進(jìn)行書面表達(dá)時(shí)，要掌握命題的規(guī)律和邏輯語言符號(hào)的運(yùn)用.因此，表達(dá)能力的培養(yǎng)對(duì)于邏輯推理能力的形成是極其關(guān)鍵的.

（4）圖形識(shí)別能力.我們將圖形與數(shù)字相結(jié)合，提出數(shù)字形式的連接思想，使學(xué)生在圖形中找到必要的條件，并根據(jù)條件畫出所需要的圖形.雖然在這篇文章中沒有提到關(guān)于幾何圖形的例子，但是它與幾何圖形還是有很大的聯(lián)系的.幾何圖形中包含許多的推理知識(shí)，對(duì)圖形是否有著深刻的認(rèn)識(shí)，直接影響到問題的解決.所以，在對(duì)學(xué)生進(jìn)行邏輯推理能力的培養(yǎng)時(shí)，我們自始至終都不要忽略對(duì)學(xué)生的圖形識(shí)別能力的培養(yǎng).

[BT1]四、結(jié)束語

任何事物都是有規(guī)律的，邏輯推理也不例外.教師應(yīng)該總結(jié)一些規(guī)律、技巧和方法，讓學(xué)生理解并掌握這些規(guī)律、技巧和方法，以便學(xué)生能夠順利地解題，這樣學(xué)生在做這一類題目的時(shí)候就不會(huì)因?yàn)闆]有頭緒而產(chǎn)生恐懼心理.數(shù)學(xué)結(jié)論的過程教學(xué)并不重要，重要的是數(shù)學(xué)思維的過程.例如，教學(xué)生如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，特別是邏輯思維.從古代的“學(xué)以思為貴”到笛卡兒的“我思故我在”可以看出，思維能力的培養(yǎng)是學(xué)習(xí)過程的重中之重.學(xué)生的能力需要教師別出心裁地培育和訓(xùn)練，在當(dāng)今社會(huì)，教師不僅能夠傳播知識(shí)，還要能挖掘?qū)W生潛能，培育學(xué)生的智慧.學(xué)生的邏輯思維能力與教師的啟發(fā)誘導(dǎo)能力是成正比的.教師越會(huì)啟發(fā)，學(xué)生的自我控制力、自我學(xué)習(xí)能力和自立能力就越強(qiáng)，這對(duì)學(xué)生以后的發(fā)展會(huì)更有幫助.

在平時(shí)的教學(xué)中，經(jīng)過較長時(shí)間的訓(xùn)練和鞏固，教師一定要讓學(xué)生搞清楚題設(shè)與結(jié)論及它們之間的關(guān)系;正確進(jìn)行推理的書寫，明確推理的方法.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力不是一天兩天的事，需要教師和學(xué)生長期共同努力，要讓學(xué)生養(yǎng)成多觀察、勤動(dòng)腦、多動(dòng)手的習(xí)慣，要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)邏輯的興趣、對(duì)推理的興趣，及時(shí)調(diào)整學(xué)生的學(xué)習(xí)策略，要幫助學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)方法，要加強(qiáng)與學(xué)生的交流溝通.教師引導(dǎo)學(xué)生掌握了這些策略，也就進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]孫慧芳. 基于邏輯推理素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略研究[J]. 現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2019，40（36）：175-176.

[2]孫玉娟. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)探析：以《二倍角的正弦、余弦、正切公式》一課為例[J]. 延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，33（4）：146-148.

[3]陳平. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之邏輯推理在高中課堂中的應(yīng)用實(shí)例分析[J]. 延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2019，33（2）：132-134.

[4]張鶯. 淺談如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力[J]. 延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，32（1）：102-104.

[5]胡學(xué)平，李院德. 邏輯推理核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與培養(yǎng)[J]. 教師教育論壇，2018，31（8）：74-76.

[6]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[7]緱艷，鄧國軍. 邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)視角下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略分析[J]. 新智慧，2021（17）：89-90.

[8]沈靜蕾. 高中生邏輯推理素養(yǎng)的現(xiàn)狀及其發(fā)展策略研究[D].寧波：寧波大學(xué)，2019.

[9]趙麗君. 高中生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的調(diào)查研究[D].曲阜：曲阜師范大學(xué)，2020.3BF5A383-A483-4BF2-A7C3-556E1C681769