擬線性Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)解的存在性

康紅霞, 黃永艷

(山西大學 數學科學學院, 山西 太原 030006)

考慮以下的擬線性Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

(1)

非負解的存在性。 其中:Ω是3中的一個具有光滑邊界的有界區(qū)域;a>0,b≥0是常數;ε>0,λ>0是參數;u、φ是x的函數。

首先,假設非線性項f∈C1()滿足以下條件:

(f1)f(t)=0,t<0;

Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)是非線性Schr?dinger方程、irchhoff方程和Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的結合。式(2)為Schr?dinger-Possion系統(tǒng)。

(2)

文獻[1]研究了系統(tǒng)(3)基態(tài)解的存在性,并且研究了當ε→0時解的行為,以及這些解收斂于ε=0時,對應于式(3)的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的基態(tài)解。

(3)

文獻[3]研究了系統(tǒng)

基態(tài)解的存在性和漸進行為,其中K∈L2(3),a是一個正的有界連續(xù)函數。

文獻[4]研究了有界區(qū)域上具有臨界非線性項的二元系統(tǒng),并獲得了系統(tǒng)的解。

受文獻[1-4]的啟發(fā),本文研究擬線性Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)(1)非負解的存在性。

下面給出本文的主要結果。

定理1 假設(f1)～(f3)成立,則存在λ1>0,使得對任給的λ>λ1和ε>0,系統(tǒng)(1)存在非負解。

在假設條件成立的前提下,上述定理說明了當λ充分大時,系統(tǒng)(1)存在非負解。

因為參數ε>0和λ無關,所以為了簡便起見,以下設ε=1。

1 準備工作

對r∈[1,∞),用Lr(Ω)表示通常的Lebesgue空間,其范數為

回顧文獻[5]中的Simon不等式。設p≥2, 則存在Cp>0, 使得對所有的x,y∈3,都有

|x|p -2x-|y|p -2y,x-y≥Cp|x-y|p。

(4)

用C,C1,C2,…表示正常數,它們可能在行與行之間不同。

現在定義系統(tǒng)(1)相應的能量泛函,

2 主要結果的證明

(5)

證明 定義算子A:X→X*,

首先證明A是連續(xù)的。假設{φn}在X中收斂到φ,則對任給的v∈X,

因此,A是連續(xù)的。

再證明A是強單調算子。事實上,設φ1,φ2∈X,運用不等式(4),有

所以A是強單調的。

易證Gu是X上的有界線性泛函,運用Minty-Brouder定理完成證明。

從引理1還可以得出

定義泛函

則有

文獻[2]中證明了非線性部分W是C1的,且其Fréchet導數為

下面定義Jλ的截斷泛函?？紤]光滑截斷函數ψ:[0,∞)→[0,1], 滿足

證明 首先證明tλ的存在性。根據條件(f1)和(f2),對充分小的η>0,存在正常數C(η), 使得

(7)

選取t>0充分小,運用Sobolev嵌入定理,

即

(8)

運用(f3),可以得到

(9)

這是不可能的,所以{tλ}在[1,∞)上有界。

(10)

取η充分小, 運用Sobolev嵌入定理,可得

(11)

因為q∈(4,6),所以可取ρ>0充分小,使得結論成立。

注意到μ∈(4,6), 可以取t>2T充分大且eT∶=tv, 使得結論成立。

這里

證明 先證明{un}是有界的。事實上,

所以{un}是有界的。

根據條件(f1)、(f2),H?lder不等式以及{un}的有界性,可得

特別當ε=0時,相應的Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)如下,

(12)

3 結 論

本文利用山路定理和截斷技術等方法研究了擬線性Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)解的存在性問題,得到了其存在非負解。