運(yùn)用整體思想巧解題

黃秀旺

有些數(shù)學(xué)問題，如果從局部入手，難以求解，但若能從宏觀上進(jìn)行整體分析，運(yùn)用整體思想方法，則能出奇制勝。整體思想方法在七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)的有理數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的化簡與求值、解一元一次方程、線段及角的計(jì)算、解立體圖形等方面都有廣泛的應(yīng)用。

一、整體換元再計(jì)算

例1 計(jì)算：1[-12][+14][-18][+116][-132][+164]

[-1128][+1256]。

【解析】如果按常規(guī)方法計(jì)算，運(yùn)算量很大。我們仔細(xì)觀察后可以發(fā)現(xiàn)，從左到右，符號(hào)依次為+、-、+、-、+、-、+、-、+，且后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是前一個(gè)數(shù)的[12]，故可將算式當(dāng)成一個(gè)整體來思考。

解：設(shè)1[-12][+14][-18][+116][-132][+164][-1128]

[+1256]= x，①

則①×[12]，得

[12][-14][+18][-116][+132][-164][+1128][-1256][+1512]=[12]x，②

①+②，得1+[1512]=[32]x，

解得x=[171256]。

故1[-12][+14][-18][+116][-132][+164][-1128][+1256]=[171256] 。

例2 計(jì)算：（1+[111]+[113]+[117]）×（[111]+[113]+[117]+[119]）-（1+[111]+[113]+[117]+[119]）×（[111]+[113]+[117]）

【解析】先觀察算式，發(fā)現(xiàn)算式中涉及多個(gè)分?jǐn)?shù)，如果直接計(jì)算，顯然比較煩瑣。我們?cè)僮屑?xì)觀察，發(fā)現(xiàn)[111]+[113]+[117]或[111]+[113]+[117]+[119]多次出現(xiàn)，故可把它們中的一個(gè)或分別把它們當(dāng)成一個(gè)整體來思考。

解：令a=[111]+[113]+[117]，

b=[111]+[113]+[117]+[119]，

則原式=b（1+a）-a（1+b）=b-a=[119]。

二、整體代入求值

例3 若m2+2m=1，則4m2+8m-3的值是 。

【解析】把代數(shù)式4m2+8m-3變形為4（m2+2m）-3，再把m2+2m=1代入計(jì)算，可得4m2+8m-3=4（m2+2m）-3=4×1-3=1。

例4 已知y=ax5+bx3+cx-5。當(dāng)x=-3時(shí)，y=7，那么，當(dāng)x=3時(shí)，y= 。

【解析】把x=-3代入y=ax5+bx3+cx-5，

得-（35a+33b+3c）=12。我們把35a+33b+3c看成一個(gè)整體。當(dāng)x=3時(shí)，ax5+bx3+cx-5=35a+33b+3c-5=-12-5=-17。

三、整體變形解方程

例5 解下列方程：

（1）4（x-1）=1-x;

（2）[2（x+1）3]=[5（x+1）6]-1。

【解析】（1）可以把（x-1）當(dāng)成一個(gè)整體進(jìn)行變形;

（2）可以把（x+1）當(dāng)成一個(gè)整體進(jìn)行變形。

解：（1）由4（x-1）=1-x，得4（x-1）=-（x

-1），

移項(xiàng)，得4（x-1）+（x-1）=0，

合并同類項(xiàng)，得5（x-1）=0，

系數(shù)化為1，得x-1=0，

所以x=1。

（2）去分母，得4（x+1）=5（x+1）-6，

移項(xiàng)，得4（x+1）-5（x+1）=-6，

合并同類項(xiàng)，得-（x+1）=-6，

系數(shù)化為1，得x+1=6，

所以x=5。

四、整體處理線段及角的計(jì)算

例6 （1）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，AC=8cm，BC=6cm，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長度;

（2）如圖1，如果線段AB=14cm，M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，可以求此時(shí)線段MN的長度嗎？如果線段AB=acm呢？

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求出CM、CN的長度，則MN=CM+CN;

（2）根據(jù)點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，則CM=[12]AC，CN=[12]BC，所以MN=CM+CN=[12]（AC+BC）=[12]AB。

解：（1）∵AC=8cm，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，

∴CM=[12]AC=4cm。

∵BC=6cm，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，

∴CN=[12]BC=3cm。

∴MN=CM+CN=7cm，

∴線段MN的長度為7cm。

（2）∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，

∴CM=[12]AC，CN=[12]BC，

∴MN=[12]（AC+BC）=[12]AB。

當(dāng)AB=14cm時(shí)，MN=7cm。

當(dāng)AB=acm時(shí)，MN=[12]acm。

例7 如圖2，OB平分∠AOC，OD平分∠EOC。已知∠BOD=α，求∠AOE的大小。

【解析】根據(jù)角平分線的意義，得

∠BOC=[12]∠AOC，∠COD=[12]∠EOC，

根據(jù)∠BOD=∠BOC+∠COD=[12]∠AOC+[12]∠EOC=[12]∠AOE，即可求出∠AOE的大小。

解：∵OB平分∠AOC，OD平分∠EOC，

∴∠AOB=∠BOC=[12]∠AOC，

∠COD=∠DOE=[12]∠EOC，

∴∠BOD=∠BOC+∠COD

=[12]∠AOC+[12]∠EOC

=[12]（∠AOC+∠EOC）

=[12]∠AOE。

∵∠BOD=α，

∴∠AOE=2α。

五、整體處理幾何體的表面積

例8 李強(qiáng)用棱長為1的正方體在桌面上堆成如圖3所示的圖形，然后把露出的表面都染成紅色，則表面被他染成紅色的面積為 。

【解析】本題要計(jì)算幾何體的表面積，解決的關(guān)鍵是在計(jì)算表面積時(shí)減去不露的或重疊的面積。如果按一般思路處理較為困難，我們不妨整體考慮。三層中，面朝上的三部分整體就是一個(gè)邊長為3的正方形，其面積為9;而其他4面，分別含6個(gè)邊長為1的正方形。故紅色部分的面積為9+4×6=33。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）