MIMO 無線通信系統(tǒng)的隨機(jī)信道性能分析*

杜文龍 ，黃 余

(1.江蘇電子信息職業(yè)學(xué)院計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院，江蘇 淮安 223003；2.圣路易斯大學(xué)研究生院，菲律賓 碧瑤2600)

多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)通信系統(tǒng)因其巨大的容量而引起了無線通信領(lǐng)域的廣泛關(guān)注。如果在發(fā)射和接收天線之間的衰落是獨(dú)立的瑞利分布，眾所周知，即使發(fā)射機(jī)沒有信道知識(shí)，在高發(fā)射功率范圍，平均容量隨發(fā)射和接收天線的最小數(shù)量呈線性增加[1－3]。然而，在實(shí)際場景中，衰落通常不是獨(dú)立的，會(huì)表現(xiàn)出一定的相關(guān)性。文獻(xiàn)[4－7]表明，信道容量在存在衰落相關(guān)性時(shí)顯著下降，但這些結(jié)果是建立在發(fā)射機(jī)沒有信道知識(shí)和沒有其他分集來源(如時(shí)間或頻率分集)的假設(shè)之上；左世奇等[8]提出了一種新型Massive MIMO 信道模型的統(tǒng)計(jì)性建模方法，該模型結(jié)構(gòu)簡單、可移植性強(qiáng)，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜大規(guī)模MIMO 移動(dòng)通信環(huán)境中的信道模型構(gòu)建，適用于Massive MIMO 信道的理論分析以及信道仿真；Zl-Mashade M 等[9]對室內(nèi)環(huán)境下非視距條件下MIMO 信道的混合分集(空間和極化)性能進(jìn)行了研究，分析了元素間距對交叉極分辨力和共極比的影響。并對混合MIMO 系統(tǒng)的容量和誤碼率性能進(jìn)行了分析，且與雙極化和空間分集技術(shù)進(jìn)行了比較。仿真結(jié)果表明，隨著天線間距的增加，混合分集的性能與雙極化情況相比有明顯的提高。此外，空間分集系統(tǒng)的性能隨天線分離度的變化比混合分集系統(tǒng)的性能變化要慢；陳姜高路[10]基于大規(guī)模MIMO 的角能量空間形態(tài)進(jìn)行建模，研究了空間選擇衰落相關(guān)性和萊斯衰落情況下系統(tǒng)信道失效的情況，分析了衰落信道模型對系統(tǒng)性能的影響，提出了通過變化功率分配和基站天線數(shù)來有效提高陣列的頻道效率；Vu M N 等[11]提出了時(shí)間選擇性信道在平均發(fā)射功率約束下的互信息最大化算法；實(shí)際上，如果時(shí)間或頻率分集在某種程度上可用，則相關(guān)衰落可能會(huì)得到比非相關(guān)衰落更高的信道容量；Vaezi M 等[12]提出了高斯MIMO信道在低信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)區(qū)域的最佳波束形成；文獻(xiàn)[13－14]分析了5G MIMO 通信系統(tǒng)中的頻譜效率、分集增益和復(fù)用容量，但這一討論考慮的是單流傳輸，并沒有包括長期平均發(fā)射機(jī)信道知識(shí)的影響。

以上針對MIMO 無線通信系統(tǒng)的研究或者僅針對平穩(wěn)不相關(guān)衰落信道建模，或者僅針對信道容量進(jìn)行單方面的研究，并未對MIMO 系統(tǒng)在隨機(jī)信道情形下的總體性能進(jìn)行分析研究。對此，本文在考慮隨機(jī)信道的前提下，深入研究和分析了相關(guān)性衰落、信道時(shí)間選擇性和發(fā)射機(jī)信道知識(shí)對信道容量、天線增益和系統(tǒng)截止速率等信息論度量值的影響；仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的信道建模模型和性能指標(biāo)的理論計(jì)算是有效和可行的。

1 背景知識(shí)和系統(tǒng)模型

MIMO 信息論下的基本概念是將一個(gè)數(shù)據(jù)流分割成多個(gè)在單個(gè)子信道上并行傳輸?shù)牧鳌D1 所示為由r個(gè)獨(dú)立和等加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN)子信道構(gòu)成的通信鏈路的簡單示例，其中r個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)流共享總發(fā)射功率PT，并在r個(gè)恒定的信道中傳輸。恒定信道有單位傳輸增益，且受方差為的高斯噪聲的干擾。由于信道的對稱性，在r個(gè)子信道之間平均分配可用發(fā)射功率PT是最理想的，因此系統(tǒng)的容量Cr就是單個(gè)子信道容量的總和，即:

圖1 多流傳輸?shù)暮唵问纠?/p>

表明了MIMO 系統(tǒng)的容量改進(jìn)潛力，容量可近似為發(fā)射功率的線性函數(shù)。在這個(gè)示例中，數(shù)據(jù)流的數(shù)量等于發(fā)射或接收天線的數(shù)量，且所有子信道是獨(dú)立的，這種MIMO 信道通常稱為對角信道。然而，在實(shí)際中，MIMO 信道很少是對角的，數(shù)據(jù)流的數(shù)量也不等于發(fā)射或接收天線的數(shù)量，因?yàn)镸IMO 信道的秩r決定了支持同時(shí)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)流的數(shù)量。當(dāng)信道秩虧時(shí)，關(guān)系式(2)一般不成立。秩虧實(shí)際上可能導(dǎo)致比滿秩信道的容量更大，這取決于發(fā)射功率。在詳細(xì)討論之前，先定義將在文中采用的系統(tǒng)模型。

假設(shè)一個(gè)頻率平坦且可能相關(guān)的瑞利衰落無線信道，它通過N個(gè)發(fā)射天線和M個(gè)接收天線來傳輸L個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)流，于是得到系統(tǒng)模型:

式中:s∈CL為L維數(shù)據(jù)流向量，有零均值和單位協(xié)方差矩陣。是一個(gè)正定對角矩陣，用于設(shè)置每個(gè)數(shù)據(jù)流的發(fā)射功率，由PT＝tr(P)給定總發(fā)射功率，其中tr(·)表示求一個(gè)方陣的跡(即求對角線元素的和)，矩陣T∈CN×L執(zhí)行從L個(gè)數(shù)據(jù)流映射到N個(gè)發(fā)射天線且由單位范數(shù)列向量構(gòu)成，這種映射可以看作是波束形成。信道由矩陣H∈CM×N建模，信道矩陣H中可能存在相關(guān)的復(fù)零均值高斯項(xiàng)。接收信號(hào)向量y∈CM被加性零均值高斯白噪聲n∈CM干擾，它對于每個(gè)接收天線的功率為。

2 恒定信道及秩虧信道下的容量分析

如果信道矩陣H總是恒定的，則可以假設(shè)它對接收機(jī)和發(fā)射機(jī)都是已知的。在這種情況下，通過采用式(4)的奇異值分解可以得到獨(dú)立的子信道。

式中:上標(biāo)H、T 分別表示厄米特轉(zhuǎn)置運(yùn)算和轉(zhuǎn)置運(yùn)算，Σ為特征矩陣，Λ為由特征值λi(i＝1，…，N)構(gòu)成的對角矩陣，diag{·}表示求對角矩陣，U、V為運(yùn)算矩陣。設(shè)T＝V，并應(yīng)用一對一變換＝UHy，就得到獨(dú)立的子信道:

式中:為零均值高斯噪聲，其方差為，它對于不同的流是獨(dú)立的。流指標(biāo)的范圍是1≤j≤r，其中r＝H的秩≤min{M，N}，因?yàn)閷τ趈＞r，λj＝0。采用注水功率[15]分配Pj＝max(0，μ－)，則信道容量為:

式中:μ是一個(gè)正常數(shù)，用來滿足功率約束tr(P)＝PT。

從式(4)和(6)可以看出，信道容量依賴于Gramian 矩陣HHH的特征值情況(配置)。對于具有平坦特征值情況即λ1＝λ2＝…＝λr＝tr(Λ)/r的系統(tǒng)，令μ＝PT/r＋r·tr(Λ)，于是得到容量:

現(xiàn)在固定信道矩陣H的維數(shù)，改變其秩r，為了公平比較，保持所有特征值λj的和即tr(Λ)為常數(shù)，僅僅改變信道的秩，同時(shí)保持信道總功率不變，如，在這些條件下，有:

對于PT＝γr，式(8)的等號(hào)成立。發(fā)射功率閾值γr和閾值時(shí)的容量Cth，r分別有下限

如果MIMO 系統(tǒng)的優(yōu)勢是用比單輸入單輸出(Single-Input Single-Output，SISO)系統(tǒng)更低的發(fā)射功率提供給定的信道容量，則該結(jié)果表明，對于低于Cth，r的期望容量，秩為1 的信道比滿秩信道需要的發(fā)射功率更低。對于r→∞，秩為1 的信道總是在較低的發(fā)射功率下完成工作，而對于有限秩r的信道，它將在低發(fā)射功率到閾值γr時(shí)正常工作。

3 隨機(jī)信道下的性能研究

接下來討論隨機(jī)信道，其中H為零均值高斯隨機(jī)變量，建模瑞利頻率平坦衰落MIMO 信道，允許信道矩陣元素之間存在相關(guān)性，從而導(dǎo)致相關(guān)衰落。這種信道可以表現(xiàn)出隨機(jī)秩虧，意味著相關(guān)矩陣有零或有非常小的特征值。

3.1 空間衰落相關(guān)性

首先建立相關(guān)性模型。一般來說，通過將信道矩陣寫成式(10)來建模衰落相關(guān)性

式中:RR＝E{HHH}為M×M的接收相關(guān)矩陣，RT＝E{HHH}為N×N的發(fā)射相關(guān)矩陣，G∈CM×N為獨(dú)立、零均值單位方差復(fù)項(xiàng)的隨機(jī)矩陣，E{·}表示求數(shù)學(xué)期望。假設(shè)G是從導(dǎo)致相關(guān)瑞利衰落的復(fù)高斯分布得到，注意到

就是信道的總功率放大，故可以將衰落相關(guān)性區(qū)分為4 種基本情形:不相關(guān)、半相關(guān)、半相關(guān)2 型和完全相關(guān)，如表1 所定義。為簡化起見，討論前2 種情形。

表1 衰落相關(guān)類型的定義

3.1.1 不相關(guān)瑞利衰落信道

如果發(fā)射機(jī)和接收機(jī)都處在一個(gè)散射環(huán)境中，就可能產(chǎn)生這樣的信道，結(jié)果是獨(dú)立的瑞利衰落從每個(gè)發(fā)射天線到每個(gè)接收天線，于是由

得到H＝G和tr(RR)＝tr(RT)＝M·N。這里In為n×n的單位矩陣。

3.1.2 半相關(guān)瑞利衰落信道

如果將發(fā)射機(jī)從豐富的散射環(huán)境中移走，則從發(fā)射機(jī)的角度來看，現(xiàn)在信道的空間結(jié)構(gòu)受遠(yuǎn)端散射體的控制，很可能會(huì)導(dǎo)致一個(gè)高度空間相關(guān)的場景，因?yàn)橥ǔＶ挥猩倭康腒個(gè)遠(yuǎn)端散射物體占主導(dǎo)地位，所以從發(fā)射機(jī)的角度來看，信道是空間相關(guān)的，由于接收機(jī)可以通過兩個(gè)狹窄的空間方向到達(dá)，所以從接收機(jī)的角度來看，信道是不相關(guān)的，因此有:

式中:A∈CN×K為陣列控制矩陣，它包含對應(yīng)K個(gè)出發(fā)方向(Directions of Departure，DoD)的發(fā)射天線陣列的K個(gè)陣列響應(yīng)向量，有零均值獨(dú)立同分布(independent and identically distributed，i.i.d)高斯隨機(jī)項(xiàng)，應(yīng)用于式(10)中定義的統(tǒng)計(jì)模型得到:

注意，這種信道的總功率放大歸一化為tr(RR)＝tr(RT)＝M·N，與不相關(guān)情形是相同的。

3.2 樣本平均中斷容量

信道容量表示系統(tǒng)性能的信息理論上限值。由于所研究的信道通常是時(shí)變的，故用隨機(jī)過程來表示。與文獻(xiàn)[10]的方法不同，本文采用的方法是通過恒定發(fā)射功率約束，獨(dú)立于信道狀態(tài)。為簡單起見，以塊衰落信道為例，其特性在相干時(shí)間Tcoh內(nèi)保持不變，然后改變?yōu)橐粋€(gè)新的、獨(dú)立的實(shí)現(xiàn)。這時(shí)信道容量依賴于使用時(shí)間Tu和相干時(shí)間Tcoh的比值。

(1)對于Tu→∞，容量顯然由時(shí)間平均值ˉC給出，或假設(shè)遍歷性由期望值給出，即所謂的遍歷容量Cerg＝E{C}；

(2) 對于Tu＜Tcoh，容量表示就是中斷容量Cout(p)，它是在概率等于1－p時(shí)可以保證的容量，即Prob{C＜Cout(p)}＝p；

(3)對于Tu＝m·Tcoh，即在Tu內(nèi)恰好有m個(gè)獨(dú)立的信道實(shí)現(xiàn)，我們通過定義一個(gè)新的隨機(jī)變量(Ck為對應(yīng)于不同信道實(shí)現(xiàn)的瞬時(shí)容量)，容量就是本節(jié)提出的樣本平均中斷容量Csoc(p，m)，即Prob{Csoc＜Csoc(p，m)}＝p。

其實(shí)，樣本平均中斷容量包含了作為特例的遍歷容量和中斷容量，因?yàn)?/p>

一個(gè)系統(tǒng)可以通過至少2 種不同的方法實(shí)現(xiàn)樣本平均中斷容量。

(1)自適應(yīng)編碼:根據(jù)當(dāng)前的信道質(zhì)量改變碼率和編碼，即當(dāng)信道良好時(shí)，以更高的速率發(fā)射。這就要求發(fā)射機(jī)獲取信道的瞬時(shí)容量，這可能包括來自接收機(jī)的反饋鏈路建立。這種方法使得在不同信道實(shí)現(xiàn)中獲得平均容量成為可能；

(2)交錯(cuò):將碼字分散在m個(gè)衰落塊上，并采用固定速率碼。這比自適應(yīng)編碼簡單，而且不需要瞬時(shí)信道容量知識(shí)，但這種方法可能只能實(shí)現(xiàn)平均信道容量，通常是一種次優(yōu)方法，比自適應(yīng)編碼更實(shí)用。

3.3 瞬時(shí)信道容量

假設(shè)第2 節(jié)定義的系統(tǒng)模型和完整的接收機(jī)側(cè)信道知識(shí)，則發(fā)射高斯信號(hào)s到接收信號(hào)y的瞬時(shí)互信息Is→y為[3]:

瞬時(shí)信道容量就是最大化互信息:

即在給定總發(fā)射功率PT的約束下，通過T進(jìn)行空間處理，通過P進(jìn)行功率分配來實(shí)現(xiàn)最大化。

可以在多大程度上實(shí)現(xiàn)互信息的最大化，取決于發(fā)射機(jī)具有的信道知識(shí)，主要分3 種情形。

3.3.1 完整信道知識(shí)

假設(shè)發(fā)射機(jī)準(zhǔn)確知道每個(gè)發(fā)射時(shí)刻的信道矩陣H，則遵循以下步驟:

(1) 特征值分解(Eigenvalue Decomposition，EVD):HHH＝VΛVH；

(2)設(shè)置T＝V，并基于Λ通過注水選擇P，使瞬時(shí)互信息式(14)最大化。

3.3.2 沒有信道知識(shí)

另一種極端情形是發(fā)射機(jī)完全不知道信道，則遵循以下步驟:

(1)設(shè)置T＝IN且P＝(PT/N)·IN；

(2)選擇最好的結(jié)果。

在這種情形下，每個(gè)天線發(fā)射一個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)流，且數(shù)據(jù)流之間平均共享功率。

3.3.3 平均信道知識(shí)

完整信道知識(shí)在實(shí)際中可能過于苛刻，假設(shè)發(fā)射機(jī)沒有信道知識(shí)又可能會(huì)過于保守，所以在大多數(shù)情形下，發(fā)射機(jī)應(yīng)當(dāng)能夠平均獲得關(guān)于信道的知識(shí)。假設(shè)知道發(fā)射相關(guān)矩陣RT，遵循以下步驟:

(1)EVD:E{HHH}＝RT＝V′Λ′V′H；

(2)設(shè)置T＝V′，基于Λ′通過注水選擇P，最大化Is→y(E{HHH}，T，P)，即平均信道的互信息最大化。

完整信道知識(shí)允許最大化平均互信息，平均信道知識(shí)允許最大化平均信道的互信息。

3.4 MIMO 天線增益

本節(jié)討論同時(shí)考慮多流傳輸和發(fā)射機(jī)側(cè)不同信道知識(shí)下MIMO 天線增益的計(jì)算。

3.4.1 瞬時(shí)發(fā)射機(jī)信道知識(shí)下的天線增益

假設(shè)接收機(jī)無噪聲，則對于給定信道H，當(dāng)HHH＝VΛVH且T＝V時(shí)，接收功率PR為:

如果僅使用一對收發(fā)天線構(gòu)成一個(gè)SISO 系統(tǒng)，第i個(gè)接收天線與第j個(gè)發(fā)射天線連接，則接收功率為:

取所有可能的接收和發(fā)射天線對的平均接收功率，則一個(gè)參考SISO 系統(tǒng)的接收功率為:

則瞬時(shí)天線增益就是比值PR/P′R，即:

顯然，它既依賴于瞬時(shí)信道GramianHHH的特征值情況，也依賴于其特征模上的發(fā)射功率分配。由于特征值情況依賴于MIMO 信道的接收和發(fā)射特性，因此在接收和發(fā)射部分不存在天線增益的解耦，這樣就可得到天線最大增益為:

如果只加電最強(qiáng)的本征模，即P1＝PT＝tr(P)，將導(dǎo)致單流傳輸。在低發(fā)射功率，注水功率分配就有這種效果。為了更清楚地說明這一點(diǎn)，假設(shè)

式中:λ1≤λ2＞0 是信道GramianHHH的兩個(gè)最大特征值。在這種情況下，實(shí)現(xiàn)注水功率分配的容量只會(huì)使最強(qiáng)的本征模加電，由式(17)得到的瞬時(shí)信道容量變?yōu)镃＝lg(1 ＋PT)λ1)。由于歸一化tr(Λ)＝M·N，則有:

該式表明了在低發(fā)射功率時(shí)最大瞬時(shí)天線增益與信道容量的關(guān)系。

3.4.2 長期平均發(fā)射機(jī)信道知識(shí)下的天線增益

在僅有長期平均信道信息對發(fā)射機(jī)可用的情況下，當(dāng)RT＝V′Λ′V′H和T＝V′時(shí)，MIMO 天線增益基于平均接收功率:

在同一MIMO 信道的兩個(gè)天線上工作的SISO系統(tǒng)在不同天線對上得到的平均接收功率為:

于是可得天線的長期平均增益為:

與瞬時(shí)情形相比，可以很容易地解耦成接收和發(fā)送部分:

因?yàn)榘l(fā)射相關(guān)矩陣RT的特征值配置僅僅是MIMO 信道的發(fā)射端隨機(jī)特性的函數(shù)。對于單流傳輸，獲得的最大長期天線增益為:

注意M≤≤NM，在不相關(guān)情形下取下界，其中RT是一個(gè)縮放單位矩陣。當(dāng)RT的秩為1 時(shí)，得到最大天線增益＝NM。在實(shí)際中，如果僅通過一個(gè)單一的散射體就能到達(dá)移動(dòng)站，且角度擴(kuò)散足夠小，就可能出現(xiàn)這種情況。對于低發(fā)射功率，最大長期天線增益與平均信道容量也有一個(gè)簡單的關(guān)系。對于

3.4.3 無發(fā)射機(jī)信道知識(shí)下的天線增益

如果發(fā)射機(jī)沒有信道狀態(tài)信息可用，則由均勻功率分配P＝(PT/N)IN得到天線增益為:

這完全取決于接收天線增益，發(fā)射機(jī)側(cè)天線增益的激活至少需要關(guān)于信道的長期信息。

3.5 截止速率

盡管容量是無限塊長度碼和零誤差概率的理論極限，但截止速率給出了有限塊碼長和誤差概率的界限。假設(shè)采用(n，k)q個(gè)分組碼，根據(jù)截止速率定理[16]，則在最大似然解碼后的碼字錯(cuò)誤概率Pw的上界為，這時(shí)二進(jìn)制碼率Rb＝k/n·log2q小于截止速率

式中:M(｜M｜＝q)為輸入碼元集合，p(y｜s)為給定發(fā)射碼元s下接收信號(hào)y的概率密度函數(shù)。為了將其應(yīng)用到本文的MIMO 系統(tǒng)中，我們將數(shù)據(jù)向量s視為一個(gè)q－進(jìn)制碼元符號(hào)，其中每個(gè)元素sk(1≤k≤L)可以從離散調(diào)制字母表Mk中取qk個(gè)值，這里｜Mk｜＝qk。輸入字母M＝M1×M2×…×ML是單個(gè)字母集的笛卡爾積，這里｜M｜＝q＝q1·q2·…·qL。通過標(biāo)記M＝{s1，s2，…，sq}的元素，于是瞬時(shí)截止速率可計(jì)算為:

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為了對本文的研究結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證，在MATLAB/Simulink 仿真環(huán)境中采用如圖2 所示的實(shí)驗(yàn)裝置；對于信道容量和天線增益的仿真實(shí)驗(yàn)，仿真一個(gè)M＝N＝8 的天線系統(tǒng)，其中天線形成一個(gè)全向均勻線性陣列，并對一個(gè)4 路半相關(guān)信道和一個(gè)不相關(guān)信道作為比較。4 路路徑的傳播角度為零，出發(fā)方向隨機(jī)。對瑞利衰落路徑系數(shù)和隨機(jī)出發(fā)方向均進(jìn)行平均，其中隨機(jī)出發(fā)方向假設(shè)在－90°，…，90°的方位角范圍內(nèi)均勻獨(dú)立分布；對于系統(tǒng)截止速率的仿真實(shí)驗(yàn)，仿真一個(gè)由N＝2 個(gè)發(fā)射天線、相隔半個(gè)波長和M＝2 個(gè)接收天線組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)在一個(gè)不相關(guān)信道或在一個(gè)一路半相關(guān)信道上工作。注意，如果與發(fā)射陣列的標(biāo)準(zhǔn)波束寬度(在本例中波瓣寬度為60°)相比，角度擴(kuò)展較小，則發(fā)射協(xié)方差矩陣將有秩虧。在半相關(guān)情形下，將區(qū)分無發(fā)射機(jī)信道知識(shí)和平均發(fā)射機(jī)信道知識(shí)；未編碼(原始)比特率固定為rraw＝4比特/每路使用。對于不相關(guān)情形，采用4－正交調(diào)幅(quadrature amplitude modulation，QAM)并在每個(gè)天線上一次發(fā)射兩個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)流，對于沒有信道知識(shí)的半相關(guān)情形同樣成立；另一方面，如果發(fā)射機(jī)有平均信道信息可用，則秩虧可以轉(zhuǎn)化為天線增益。因此，只有一個(gè)單一數(shù)據(jù)流將通過主特征波束發(fā)射。為了實(shí)現(xiàn)相同的原始比特率，調(diào)制方案改為16－QAM。

圖2 仿真實(shí)驗(yàn)裝置

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.2.1 信道容量

本節(jié)仿真實(shí)驗(yàn)評(píng)價(jià)具有和不具有平均信道知識(shí)的不相關(guān)和半相關(guān)瑞利衰落信道的容量，圖3 和圖4所示為得到的結(jié)果。

圖3 具有和不具有平均信道知識(shí)的不相關(guān)和半相關(guān)瑞利衰落信道的遍歷容量和瞬時(shí)信道容量的比較

圖4 具有和不具有平均信道知識(shí)的不相關(guān)和半相關(guān)瑞利衰落信道的中斷容量和瞬時(shí)信道容量的比較

從圖3 和圖4 的結(jié)果可見:

(1)在沒有發(fā)射信道知識(shí)的情況下，相比于不相關(guān)情形，空間相關(guān)性會(huì)降低容量，在有時(shí)間分集(遍歷容量)和沒有時(shí)間分集(中斷容量)的情形下確是如此；

(2)如果采用平均發(fā)射信道知識(shí)，對于低發(fā)射功率直至一個(gè)交叉點(diǎn)，半相關(guān)瑞利衰落信道的確比不相關(guān)信道能提供更高的容量，這對于遍歷容量和中斷容量都是如此；

(3)對于半相關(guān)瑞利衰落信道，平均發(fā)射信道知識(shí)和完整發(fā)射信道知識(shí)的差別是很小的，且在高發(fā)射功率，差別會(huì)消失，即使對于中斷容量來說也是如此，盡管沒有額外的時(shí)間或頻率分集可用，平均信道知識(shí)在實(shí)際中也足夠了；

(4)由于秩滿信道，在高發(fā)射功率采用不相關(guān)信道相比于半相關(guān)信道變得越來越好。但要注意，任何真正的通信系統(tǒng)將不得不采用有限的星座大小調(diào)制方案，這將限制可實(shí)現(xiàn)的容量。

4.2.2 平均瞬時(shí)天線增益與長期平均天線增益

由于信道H是一個(gè)隨機(jī)變量，因此天線瞬時(shí)增益也是一個(gè)隨機(jī)變量，所以比較它的期望值E{}和長期平均天線增益才是有用的。如果H∈CM×N是一個(gè)具有零均值i.i.d 分量的復(fù)高斯矩陣，則矩陣HHH的平均最大特征值有上界:

從這個(gè)結(jié)果得到:

即不相關(guān)信道的平均最大瞬時(shí)天線增益的增長比接收和發(fā)射天線數(shù)量的乘積慢得多。另一方面，相關(guān)衰落MIMO 信道的長期平均天線增益對于秩RT＝1 取值＝M·N，這就解釋了在處理相關(guān)衰落MIMO 信道時(shí)，在低發(fā)射功率區(qū)域獲得性能增益的可能性。這種效應(yīng)隨著天線數(shù)量的增加而增強(qiáng)，圖5 所示為仿真結(jié)果，這里假設(shè)接收和發(fā)射天線數(shù)量相等。顯然，相關(guān)衰落中的長期平均天線增益比不相關(guān)情況下的平均瞬時(shí)天線增益大，這是因?yàn)榘l(fā)射相關(guān)矩陣有顯著的秩不足。注意，對于低發(fā)射功率，單流傳輸是可以獲得容量的，這使得天線增益成為低功率區(qū)域的一個(gè)重要問題。另一方面，在高發(fā)射功率區(qū)域，天線增益不再是一個(gè)理想的值，因?yàn)檎嬲亩嗔鱾鬏斒切枰@得容量。

圖5 不相關(guān)信道的平均瞬時(shí)MIMO 天線增益(E{Ainst})和長期平均MIMO 天線增益(ALT)的比較

4.2.3 系統(tǒng)的截止速率性能評(píng)價(jià)

通過對實(shí)際調(diào)制方案和天線數(shù)目的截止速率的評(píng)價(jià)，可以對相關(guān)衰落中MIMO 系統(tǒng)的性能有一定的了解，圖6～圖8 為得到的結(jié)果。對于圖6 來說，由于中斷截止速率描述的是沒有時(shí)間或頻率選擇性的情形，所以分集的唯一來源是空間，因此，不相關(guān)信道的性能優(yōu)于半相關(guān)信道。然而，在這種特定的場景中，半相關(guān)信道在高發(fā)射功率區(qū)域而不是在低發(fā)射功率區(qū)域優(yōu)于不相關(guān)信道；對于圖7 來說，樣本平均中斷截止速率描述了一種具有一定時(shí)間或頻率可選擇性的情形，這種情形更有利于在發(fā)射機(jī)端具有長期平均信息的半相關(guān)信道。顯然，在低發(fā)射功率區(qū)域衰落相關(guān)性變得有利；對于圖8 來說，這相當(dāng)于無限樣本容量下的樣本平均中斷截止速率，即無限時(shí)間或頻率選擇性?？梢?，在發(fā)射機(jī)端具有長期平均信道信息的半相關(guān)信道在幾乎所有發(fā)射功率和編碼速率下都具有良好的性能。

圖6 不相關(guān)和半相關(guān)瑞利衰落信道的中斷截止速率比較

圖7 不相關(guān)和半相關(guān)瑞利衰落信道的樣本平均中斷截止速率(樣本大小為10)比較

圖8 不相關(guān)和半相關(guān)瑞利衰落信道的遍歷截止速率比較

總之，圖6～圖8 的結(jié)果表明:

(1)不相關(guān)信道在沒有時(shí)間分集的情況下表現(xiàn)最好，這從中斷截止速率可以看出；

(2)可用的時(shí)間分集越多，即在通信時(shí)間內(nèi)可用的獨(dú)立信道實(shí)現(xiàn)越多，則半相關(guān)信道就越有吸引力；

(3)如果沒有發(fā)射信道知識(shí)，無論有多少時(shí)間分集可用，半相關(guān)信道有最差的性能；

(4)具有平均信道知識(shí)的發(fā)射機(jī)，半相關(guān)信道會(huì)得到最好的性能—事實(shí)上，如果有足夠的時(shí)間分集可用，它的性能會(huì)超過不相關(guān)信道；

(5)如果在通信時(shí)間內(nèi)獨(dú)立信道實(shí)現(xiàn)的數(shù)量進(jìn)一步增大，則遍歷截止速率表明，半相關(guān)信道的優(yōu)勢仍在不斷改進(jìn)和擴(kuò)展，幾乎適用于所有編碼速率。

5 結(jié)束語

MIMO 系統(tǒng)的容量依賴于信道的統(tǒng)計(jì)特性和關(guān)于這些特性的知識(shí)，這對于沒有發(fā)射機(jī)信道知識(shí)的相關(guān)衰落是一種劣勢，特別是如果沒有其他形式的分集(如頻率或時(shí)間)可用時(shí)；讓發(fā)射機(jī)獲得信道的平均特性，實(shí)際上可以導(dǎo)致不相關(guān)衰落信道的容量提高，但在相關(guān)衰落下，天線增益會(huì)比不相關(guān)情形大，這將導(dǎo)致在低發(fā)射功率下相關(guān)MIMO 信道性能的提高。在高發(fā)射功率區(qū)域，由于多流傳輸和更高的空間分集帶來的容量增益優(yōu)于天線增益，因此衰落相關(guān)性降低了性能；截止速率表明，對于線性調(diào)制方案，如果除了純空間分集外，還存在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間或頻率分集可用，則半相關(guān)衰落信道有潛力在一個(gè)有用的發(fā)射功率范圍內(nèi)提供優(yōu)越的性能。