二次根式那些事兒

二次根式是我們?cè)趯W(xué)習(xí)了“整式”“分式”之后的又一類重要代數(shù)式。人們?cè)谔綄ず脱芯克倪^(guò)程中遇到了哪些事呢？下面，我們一起了解一下吧。

一、根號(hào)的“追根溯源”

早在1480年，德國(guó)人便開(kāi)始用一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示方根，如?3表示3的平方根，??3表示3的4次方根。到了16世紀(jì)初，平方根用小點(diǎn)帶上一條小尾巴來(lái)表示，就像一個(gè)小蝌蚪，因而很難統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。1525年，德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪虻拇鷶?shù)書(shū)中用√8表示8的平方根。顯然用“小鉤子”要比“小蝌蚪”好多了，不過(guò)后來(lái)又出現(xiàn)了新問(wèn)題。相傳，兩個(gè)工作人員因?yàn)槭街械摹癧√g]2+100”產(chǎn)生了矛盾，差一點(diǎn)要上法庭打官司。究其原因，是因?yàn)樾°^子“[√]”的意義不明確，不知道它能管后面幾個(gè)字母及數(shù)字。

后來(lái)，笛卡爾在他的《幾何學(xué)》中創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)代的平方根號(hào)“[]”，在原書(shū)第一版中寫(xiě)道：“如果我想求a2+b2的平方根，就寫(xiě)作[a2+b2]?！钡芽柕母?hào)與魯?shù)婪虻母?hào)的最大區(qū)別在于：笛卡爾考慮到被開(kāi)方數(shù)有幾項(xiàng)，而魯?shù)婪虻母?hào)會(huì)引起混淆。

二、分母有理化

黑白雙雄，縱橫江湖;雙劍合璧，天下無(wú)敵。這是武俠小說(shuō)中的情景。在二次根式中也有這種相輔相成的“對(duì)子”。

例1 （[2+3]）（[2-3]）=1，2+[3]和[2-3]的積不含有根號(hào)，我們就說(shuō)這兩個(gè)式子互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式。于是，二次根式[2+32-3]就可以這樣化簡(jiǎn)：

[2+32-3=（2+3）（2+3）（2-3）（2+3）=（2+3）2]=[4+43+3]=[7+43]。

像這樣，分子、分母同乘一個(gè)式子，把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去，叫作分母有理化。那么[4+7]的有理化因式是多少呢？你會(huì)對(duì)[4-74+7]進(jìn)行化簡(jiǎn)嗎？試試看！

三、逐步逼近法

科學(xué)領(lǐng)域里用逐步逼近法處理問(wèn)題是極為廣泛的。在物理、化學(xué)、生物諸多實(shí)驗(yàn)中，尋找某一反應(yīng)現(xiàn)象的最佳狀態(tài)時(shí)，往往用到逐步逼近法。在數(shù)學(xué)計(jì)算中，“逐步逼近法”是常用的計(jì)算方法，比如估算二次根式的近似值就用到了逐步逼近法。

例2 計(jì)算[13]，用計(jì)算器可以立即知道[13]的近似值，但是若生活在荒島上，又未帶計(jì)算器和其他資料，人們就可以用逐步逼近法計(jì)算[13]的近似值，更重要的是，這種方法還可以運(yùn)用到其他問(wèn)題中。

第一次逼近：由于3<[13]<4，所以可設(shè)[13]=3+x（x是一個(gè)正的純小數(shù)）。兩邊平方，得13=9+6x+x2。由于x是一個(gè)小量，所以x2是一個(gè)比x更小的高次小量，可以忽略掉，故13≈9+6x，即x≈[23]。所以[13]≈[323]。

第二次逼近：設(shè)[13]=[323]+y，兩邊平方，得13=[1219+223y+y2]≈[1219+223y]，所以y≈[-233]。于是[13]≈[323-233=11933≈3.606]。

繼續(xù)逼近下去，可以得到更精確的近似值，你可以試試喲！

四、巧合數(shù)

數(shù)學(xué)中存在著許多著名的巧合，這些巧合往往是人們從許多不同的角度觀察到的。巧合是一種現(xiàn)象，它常會(huì)給人們帶來(lái)驚奇與不解。二次根式中就存在這種巧合。

[223=223]是一對(duì)巧合數(shù)，類似地，我們還可以找出其他巧合數(shù)：[4415=4415]，[5524]=[5524]，[8863]=[8863]。我們知道，根號(hào)里面的數(shù)不能輕易地直接放到根號(hào)外面來(lái)，那么，為什么這些數(shù)可以呢？是巧合嗎？

觀察可得規(guī)律[a+aa2-1]=[aaa2-1]（a>0且a≠1），那么這個(gè)式子是恒等式嗎？我們不妨來(lái)推理一下。

[a+aa2-1]=[a（a2-1）a2-1+aa2-1]

=[a3a2-1]=[aaa2-1]。

太妙啦！如果你不滿足于此，有更大膽的猜想，不妨以三次方根為例試試看。不要忘記，猜想成為真理，是要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明的喲！

五、見(jiàn)招拆招

我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，往往會(huì)遇到?jīng)]有學(xué)過(guò)的知識(shí)。出題人會(huì)制造干擾因素迷惑我們，此時(shí)要跳出思維圈，抓住問(wèn)題本質(zhì)，理性分析，嚴(yán)密推理，做到“見(jiàn)招拆招”。比如，二次根式中的復(fù)合二次根式是我們沒(méi)學(xué)過(guò)的知識(shí)，如何見(jiàn)招拆招呢？我們追尋其本質(zhì)，開(kāi)方是平方的逆運(yùn)算，反過(guò)來(lái)，我們只需將復(fù)合二次根式的被開(kāi)方式變形成完全平方形式，即可進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算了。

例3 計(jì)算：[4+23]。

[分析]因?yàn)閇4=（3）2+1]，所以4+[23=3+23+1=（3）2+23+]1=[（3+1）2]。

解：[4+23]=[（3+1）2]=[3+1]=[3+1]。

實(shí)際上，本題就是利用配方法化簡(jiǎn)形如[a+2b]（ a，b是正有理數(shù)，b不是完全平方數(shù)）這樣的二次根式，將它的被開(kāi)方式配成完全平方的形式即可。你能利用上述方法化簡(jiǎn)[7-210]嗎？試試看！

六、跨界融合

我們耳熟能詳?shù)脑~語(yǔ)“跨界融合”是隨著互聯(lián)網(wǎng)高速發(fā)展涌現(xiàn)出的熱詞中的一個(gè)。毫不夸張地說(shuō)，我們已經(jīng)進(jìn)入到跨界融合的時(shí)代，行業(yè)間交叉、整合、互相滲透已經(jīng)常態(tài)化。數(shù)學(xué)也不例外，數(shù)學(xué)中常常用“跨界融合”（數(shù)形結(jié)合）的方法解決問(wèn)題。二次根式中就有通過(guò)“跨界融合”（數(shù)形結(jié)合）的辦法解決的問(wèn)題。

例4 求代數(shù)式[52+（8-x）2]+[12+x2]的最小值。

解：如圖1，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x，則 [AC+CE=52+（8-x）2+12+x2]。

<E：＼初中生＼初中生 八年級(jí)7-8＼蔣月蘭-1.tif><E：＼初中生＼初中生 八年級(jí)7-8＼蔣月蘭-2.tif>

圖1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)（如圖2），AC+CE的距離最短，即為AE的長(zhǎng)。過(guò)點(diǎn)A作DE的垂線，垂足為F，則AF=BD=8，EF=DF+DE=AB+DE=5+1=6，可得AE=10。

此時(shí)二次根式遇上了圖形，竟是如此簡(jiǎn)單、妙趣橫生！我們不禁想起大數(shù)學(xué)家華羅庚的一段話：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休！

請(qǐng)你嘗試仿照上面的“跨界融合”（數(shù)形結(jié)合）的方法，求代數(shù)式[x2+4+y2+9]的最小值，其中x+y=12，x>0，y>0。

關(guān)于二次根式的精彩趣事還有很多很多，在此就不一一列舉了。其實(shí)，不僅僅是二次根式，數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都有其“成長(zhǎng)”的過(guò)程，都有許多的“趣事”“巧合”“跨界”等待我們?nèi)バ蕾p、發(fā)現(xiàn)。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）