基于混合區(qū)間可能度的產品結構不確定性設計

成 靖, 薩日娜,,+, 張樹有, 張利春

(1.內蒙古工業(yè)大學 機械工程學院，內蒙古 呼和浩特 010051；2.浙江大學 機械工程學院，浙江 杭州 310027；3.康力電梯股份有限公司，江蘇 蘇州 215213)

0 引言

產品設計與生產過程中普遍存在材料屬性、邊界條件、測量誤差等不確定因素，雖然單一不確定因素對產品工作性能影響較小，但多個不確定因素的耦合可能對產品性能造成較大影響，因此不可忽略。國內外學者對產品不確定性設計進行了大量的研究，ALLEN等[1]從系統(tǒng)功能的角度將不確定性分為3類：①噪聲或環(huán)境和其他因素的不確定性；②設計變量或控制因素的不確定性；③建模方法引入的不確定性。CHOI等[2]針對復雜的分層級系統(tǒng)提出歸納設計搜尋方法(Inductive Design Exploration Method, IDEM)，在模型結構不確定的情況下進行不確定性設計；MING等[3]針對復雜系統(tǒng)多參數不確定性信息獲取總體效用的提高問題，提出一種基于性能的逐步信息獲取方法；CHEN等[4]結合響應面方法與折衷決策支持問題(Decision Support Problem, DSP)，解決了同時含一二類不確定性的問題；CHENG等[5]提出一種結合徑向基函數、區(qū)間分析和非支配排序遺傳算法的區(qū)間多目標優(yōu)化模型Pareto解求解算法，并以不確定材料性能的壓力機滑塊的力學性能優(yōu)化為例，驗證了方法的可行性和有效性。大部分學者主要將產品不確定性設計問題轉換為確定性問題進行研究，常用的不確定建模方法有隨機模型[6-7]、模糊模型[8-9]及區(qū)間可能度模型[10-12]。其中隨機模型需要較多樣本點以獲取不確定性因素的概率分布，模糊模型需要依靠豐富的經驗構造模糊隸屬度函數，這些條件在實際工程問題中往往較難滿足。區(qū)間可能度模型僅需獲取不確定性因素變動的上下邊界，無需確定不確定因素的概率特性或構造模糊隸屬度函數，可行性好，因而得到了廣泛的應用及研究。JIANG等[13]歸納兩區(qū)間數所有可能的位置，并假設兩區(qū)間數都為在各自區(qū)間服從均勻分布的隨機變量，提出了改進的可能度(Modified Possibility Degree, MPD)模型；JIANG等[14]提出基于可靠性的區(qū)間可能度(Reliability-based Possibility Degree of Interval, RPDI)模型，可有效定量表示任意相對位置兩區(qū)間的大小關系。這些區(qū)間可能度模型在一定程度上都可以有效應用于工程問題，但對于某些問題，其不確定性因素度量能力不夠強，設計結果不合理。

近年來，群智能優(yōu)化算法得到了長足的發(fā)展，陸續(xù)出現(xiàn)了眾多的群智能優(yōu)化算法并被廣泛地用來解決工程實際優(yōu)化設計問題。其中YANG等[15]提出的布谷鳥搜索算法由于其具備全局尋優(yōu)能力強、人為設置參數少、易于與其他算法結合發(fā)揮各自優(yōu)勢等優(yōu)點，受到了廣泛關注，相繼出現(xiàn)了很多關于布谷鳥算法的應用研究[16-20]。然而布谷鳥算法同時也存在著收斂速度慢、局部尋優(yōu)能力不足、后期種族多樣性較差等缺點，一定程度上限制了其工程應用效果。

針對上述產品結構不確定優(yōu)化問題，本文定義了一種混合區(qū)間可能度模型，并給出了基于混合區(qū)間可能度模型的區(qū)間優(yōu)化問題轉換框架。提出基于自適應策略和天牛須算子的雙層嵌套布谷鳥算法，利用測試函數對比，所提算法與基本布谷鳥算法(Cuckoo Search, CS)[15]、自適應布谷鳥算法(Adaptive Cuckoo Search algorithm, ACS)[21]、改進布谷鳥算法(Improved Cuckoo Search algorithm, ICS)[22]、動態(tài)布谷鳥算法(Dynamic Cuckoo Search algorithm, DCS)[23]4種算法的尋優(yōu)性能。以3個工程實際問題為例，建立了3個結構不確定性設計數學模型。分別基于混合區(qū)間可能度模型、MPD與RPDI模型對案例一結構設計數學模型進行求解，驗證本文可能度模型的可行性與優(yōu)越性；分別基于混合區(qū)間可能度模型與確定性優(yōu)化模型對3個結構設計數學模型進行求解，進一步驗證了本文方法的普適性與可行性，并說明了設計過程中考慮不確定性的必要性。

1 基于混合區(qū)間可能度和轉換框架的區(qū)間優(yōu)化模型

1.1 問題陳述

區(qū)間優(yōu)化模型的一般形式如下：

s.t.

(1)

1.2 混合區(qū)間可能度模型

可能度模型是區(qū)間優(yōu)化的一個重要概念，用以定量比較區(qū)間之間的大小關系。很多學者提出了不同的可能度模型。 JIANG等[13]將兩區(qū)間所有可能的位置歸納為如圖1所示的6種情況，并假設兩區(qū)間都為在各自區(qū)間服從均勻分布的隨機變量，提出一種如式(2)～式(4)所示的MPD模型：

(2)

當一個區(qū)間退化為實數時，

(3)

(4)

MPD模型能很好地定量描述有重疊時兩區(qū)間的大小關系，但在兩區(qū)間沒有重疊部分時，可能度為常數(0或1)，不能區(qū)分不同相對位置區(qū)間的大小程度，不利于可能存在這種情況的產品結構不確定性優(yōu)化問題求解。

JIANG等[14]在MPD模型即式(2)～式(4)的基礎上提出式(5)～式(7)所示的 RPDI模型)：

(5)

當一個區(qū)間退化為實數時，

(6)

(7)

式中Aω和Bω分別為區(qū)間A和區(qū)間B的區(qū)間半徑。

無論兩區(qū)間有無重疊，RPDI模型都能定量表示他們的大小關系，因此克服了原有模型的不足，且在一個區(qū)間退化為實數且有重疊時二者形式相同，很好地保留了MPD模型的區(qū)間比較能力。但在兩區(qū)間都未退化為實數且有重疊時，MPD模型具有概率意義，比RPDI模型更合理。而實際應用時往往涉及兩區(qū)間都未退化為實數且有重疊的情況，區(qū)間模型的合理性對設計結果具有重要影響。

針對以上兩種可能度模型的不足，提出一種式(8)～式(10)所示的混合區(qū)間可能度模型：

(8)

當一個區(qū)間退化為實數時,

(9)

(10)

混合區(qū)間可能度模型將上述兩種模型結合，在兩區(qū)間有重疊時使用MPD模型，保留其更合理的區(qū)間比較能力；在兩區(qū)間不重疊時使用RPDI模型，使得兩區(qū)間不重疊時可以定量表示兩區(qū)間的大小關系。

混合區(qū)間可能度模型具有如下性質，這些性質集合了兩模型的優(yōu)點，使他更適合求解區(qū)間優(yōu)化問題：

(1)ph(AI≤BI)∈(-∞,+∞)。

(2)ph(AI≤BI)≤0表示區(qū)間AI絕對大于等于BI。

(3)ph(AI≤BI)≥1表示區(qū)間AI絕對小于等于BI。

(4)若ph(AI≤BI)=q，則ph(AI≥BI)=1-q，其中q∈(-∞,+∞)。

(5)若ph(AI≤BI)=ph(BI≤AI)，則AI=BI。

1.3 基于混合區(qū)間可能度的轉換框架

基于混合區(qū)間可能度將式(1)轉換為確定性優(yōu)化模型，下面說明轉換框架。

(1)目標函數

將求f的最小(大)值轉換為求f不大于(不小于)某一性能區(qū)間的混合區(qū)間可能度的最大值[24]：

(11)

其中：AI為根據設計經驗確定的性能區(qū)間(可以退化為實數)；fI(X)為在不確定向量U的影響下目標函數形成的區(qū)間，

fI(X)=[fL(X),fR(X)]。

采用兩次優(yōu)化[25]的方法，分別尋優(yōu)得到fL(X)和fR(X)：

找到每個設計向量對應的區(qū)間，利用混合區(qū)間可能度模型將其與性能區(qū)間比較后，就能得到目標函數的混合區(qū)間可能度值。

(2)約束條件

將各約束是否滿足各約束設置區(qū)間的大小關系的判斷轉換為各約束與約束設置區(qū)間比較的混合區(qū)間可能度值是否不小于對應的不確定性水平的判斷[24]：

(12)

對于等式約束，則將一個等式約束轉換為兩個不等式約束，再按不等式約束的方法處理。

2 雙層嵌套布谷鳥優(yōu)化算法

針對上述基于混合區(qū)間可能度的區(qū)間優(yōu)化模型，提出雙層嵌套布谷鳥算法進行求解。

由于基本布谷鳥算法的步長相關參數α固定不變，會出現(xiàn)前期搜索范圍不夠大或后期搜索范圍太大無法找到全局最優(yōu)解的情況。另外，因為萊維飛行具有多次短距離與偶爾長距離相間的特點，易長距離跳躍，所以基本布谷鳥算法的局部搜索能力較差。本文采用自適應步長確保前期的全局搜索能力和后期的局部搜索能力，引入天牛須算子增強算法的局部搜索能力。

2.1 自適應策略

將固定步長相關參數α改為隨迭代次數變化的步長參數L，

式中：b為控制步長的最小值；r為控制步長的變化范圍；r1為服從[0,1]平均分布的隨機數；n為總迭代次數；t為當前迭代次數；tanh()為雙曲正切函數。以b=0.4，r=0.6，n=100為例，其步長參數變化過程如圖2所示。

2.2 天牛須算子

在每代萊維飛行與隨機遷徙后對每個個體加入天牛須算子[26]的位置更新方式，對種群進行第3次位置更新。

天牛須算子的位置更新公式為：

(14)

式中：

其中:rands(k,1)生成一個元素為[-1,1]間隨機數的k維行向量，||rands(k,1)||求rands(k,1)的范數，b表示歸一化后的rands(k,1)，代表天牛頭的隨機朝向。

δt為步長，取常數。

sign()為符號函數。自變量小于0時取0，其余情況取1。

2.3 雙層嵌套計算流程

將上述改進后的布谷鳥算法作為外層求解器，將基本布谷鳥算法作為內層求解器，依照1.3節(jié)基于混合區(qū)間可能度的轉換框架構建雙層嵌套布谷鳥算法(Double Nested Cuckoo Algorithm, DNCA)。計算流程如圖3所示。

算法步驟如下：

步驟1計算設計向量X的自適應步長，對其進行萊維飛行與隨機遷徙及天牛須算子位置更新，獲得初始種群。

步驟4判斷是否有約束的混合區(qū)間可能度值小于對應的不確定性水平qi。 若有，則用罰函數法生成新的目標函數值；否則，約束的混合區(qū)間可能度值直接充當目標函數值。

步驟5判斷該目標函數混合區(qū)間可能度值是否大于最大的目標函數混合區(qū)間可能度值，若是，則取代它成為新的最大值。

步驟6判斷是否滿足終止條件。若不滿足，則轉步驟1；若滿足，則結束外層迭代，輸出最大的目標函數混合區(qū)間可能度值及與之對應的目標函數區(qū)間、設計向量、各約束的混合區(qū)間可能度值和各約束區(qū)間，算法結束。

2.4 算法性能比較

對DNCA的尋優(yōu)性能進行測試。在MATLAB R2018a上采用 CS算法[15]、ACS算法[21]、ICS算法[22]、DCS算法[23]和DNCA對在10維和20維時表2的6個標準測試函數進行仿真求解。為保證性比較的公正性，每種算法的個體數均設為50，迭代次數均為1 000次，均獨立運行50次，參數依照各原始文獻進行設置。各算法的參數設置如表1所示，各標準測試函數如表2所示，測試結果如表3、表4、圖4、圖5所示。其中，表3與表4分別為10維和20維時對于6個測試函數DNCA與其他算法的對比結果。表中的Mean與SD代表50次結果的均值與標準差，加粗的值為對應函數的最優(yōu)結果。

表1 優(yōu)化算法的參數設置

表2 標準測試函數表

表3 10維時DNCA與其他算法的對比結果

表4 20維時DNCA與其他算法的對比結果

由表3可看出，對于f1、f2、f5、f6，DNCA都得到了最小的均值和標準差，ACS獲得了比DNCA更優(yōu)的f4的結果，對于f3，CS、ICS和DNCA的均值并列最優(yōu)，CS和DNCA的標準差并列最優(yōu)；由表4可看出，對于所有測試函數，DNCA的均值和標準差均優(yōu)于其他4種算法。

圖4與圖5能夠反映各算法對不同測試函數的收斂特性?？梢钥闯?，多數情況下DNCA比其他4種算法速度更快，反映了DNCA的收斂效率更高。

3 方法應用

下面以3個工程實際設計問題為例，驗證所提方法的普適性與可行性。

3.1 安全鉗結構不確定性設計數學模型

電梯的安全保護系統(tǒng)是電梯八大系統(tǒng)之一，負責突發(fā)狀況下乘客的生命安全。安全鉗是安全保護系統(tǒng)的重要組成部分，其作用為轎廂超速時轎廂的緊急制停。因此，安全鉗設計是決定電梯安全性能的重要因素之一。

以CHP2000型安全鉗為例，其結構如圖6所示。楔塊6可繞與箱體8固連的銷軸7轉動,兩個彈簧5對稱布置，導軌1在非制動工況時不與擋塊2與滾子4接觸。電梯超速觸發(fā)裝置制動時，滾子軸3沿軌道運動，滾子4從中心位置沿楔塊6側面滾動到圖示極限位置，被導軌1與楔塊6卡死，導軌1被擠壓，與擋塊2和滾子4產生滑動摩擦。

對于該安全鉗，WOLSZCZAK等[27]已經對其做過制動工況下的力學分析，本文在其基礎上忽略部分塑性形變所做的力學分析如圖7所示。

其中：Fs為彈簧提供的彈力，F(xiàn)b為轎廂與安全鉗箱體的慣性力，F(xiàn)g為轎廂與安全鉗箱體所受的重力，N4為導軌與擋塊間的正壓力，T4為導軌與擋塊間的動摩擦力，Rx和Ry為銷軸處的反力，N1、N2與T1、T2分別為滾子與楔塊間的正壓力與動摩擦力，N3與T3分別為導軌與滾子間的正壓力與動摩擦力。幾何參數a,b,c,d,e,l,m,n，α的含義如圖7所示。

根據平衡關系得到以下等式：

-N4+Fs+Rx=0；

-Fsa-Ryl+N4m-T4n=0；

T2+N1cosα+T1sinα-Fs-Rx=0；

Fsa+T1b-N1c-N2d-T2e=0；

N3-T2-N1cosα-T1sinα=0；

T3-N2+T1cosα-N1sinα=0。

整理得：

(15)

(16)

N3=μ2N2+(μ1sinα+cosα)N1；

(17)

(18)

又有：

Fh=T1+T2+T3+T4=μ1N1+μ2N2+μ3N3+μ4N4。

(19)

分別將式(15)～式(18)代入式(19)即可得到制動力Fh的表達式。

由于制造裝配等誤差，擋塊與導軌間的動摩擦系數、制動時彈簧提供的彈力以及楔塊的偏轉角往往在設計標稱值附近變動，而彈簧和擋塊的布置位置、楔塊與滾子側面的接觸點位置可以在設計時做出改動。如何在上述不確定因素的影響下確定這些設計變量的值，以使制動力最大是一個關鍵的設計問題。于是建立安全鉗結構不確定性設計數學模型：

maxF=Fh(a,b,c,m,Fs,α,μ4)。

s.t.

0≤b·cosα+c·sinα≤d；

(20)

模型中前7個約束為幾何不干涉約束條件與各變量的范圍約束條件，后3個約束為不確定性變量的不確定變化范圍約束條件。

利用前述轉換框架，即式(11)和式(12)求解安全鉗結構不確定性優(yōu)化設計問題。將原數學模型，即式(20)轉換為如下確定性優(yōu)化問題：

s.t.

(21)

3.2 十桿桁架結構不確定性設計數學模型

對文獻[28]的十桿桁架模型進行修改，形成十桿桁架結構不確定性設計數學模型。其設計結構如圖8所示，設計目標為在位移和應力約束下，找到一組使整體質量最小的各桿橫截面積值。其中橫縱桿長均為9.144 m，材料彈性模量為68 947 MPa，節(jié)點2受水平和垂向載荷P2x與P2y作用，節(jié)點4受垂向載荷P4y作用，節(jié)點2垂向允許位移為[10.16 cm,15.24 cm]，桿9的最大允許應力為[413.68 MPa,620.52 MPa]，其他桿的最大允許應力均為[137.92 MPa,206.88 MPa]。 考慮制造誤差與工況不確定性，材料密度、P2x、P2y與P4y均設為不確定水平為10%的不確定性變量，其區(qū)間分別為[2.49×103kg/m3,3.05×103kg/m3]、[1 601.28 kN,1 957.12 kN]、[400.32 kN,489.28 kN]、[400.32 kN,489.28 kN]。

根據平衡關系得到以下等式，其中Ni(i=1,2,…,10)表示桿的軸向力。

(22)

利用上述各式構建模型響應，得到十桿桁架結構不確定性設計模型：

s.t.

ρ∈[2.49×103kg/m3,3.05×103kg/m3]。 (23)

式中A為各桿橫截面積的集合，為設計向量。

利用前述轉換框架，即式(11)和式(12)求解十桿桁架結構不確定性優(yōu)化設計問題。將原數學模型，即式(23)轉換為如下確定性優(yōu)化問題：

s.t.

ρ∈[2.49×103kg/m3,3.05×103kg/m3]。(24)

3.3 懸臂梁結構不確定性設計數學模型

對文獻[29]的懸臂梁模型進行修改，形成懸臂梁結構不確定性設計數學模型。其設計結構如圖9所示，設計目標為在應力與幾何約束下，找到一組使整體質量最小的各部分截面寬度值。其中每段長度均為100 cm，彈性模量為200 GPa，自由端受垂向載荷p=50 000 N，要求各截面高與寬之比小于20，最大垂向位移小于2.715 cm，最大許用應力為1400 N/cm2。 考慮制造誤差，懸臂梁各段截面高度均設為不確定水平為20%的不確定性變量，其區(qū)間分別為[48.73 cm,73.09 cm]、[44.98 cm,67.46 cm]、[40.38 cm,60.56 cm]、[35.30 cm,52.96 cm]、[27.99 cm,41.99 cm]。

以整體質量為目標函數，應力與幾何約束為約束條件，各段截面高度u為不確定性變量，各段截面寬度x為設計向量，構建懸臂梁結構不確定性設計模型：

minMass(x,u)=100×(x1·u1+x2·u2+x3·u3+x4·u4+x5·u5)。

s.t.

(25)

利用前述轉換框架，即式(11)和式(12)求解懸臂梁結構不確定性優(yōu)化設計問題。將原數學模型，即式(25)轉換為如下確定性優(yōu)化問題：

s.t.

(26)

3.4 計算結果

3.4.1 安全鉗結構不確定設計問題

采用上述基于混合區(qū)間可能度模型的DNCA求解安全鉗結構不確定設計問題。各參數設置如下：Fg=50 kN，F(xiàn)b=30 kN，μ1=μ2=μ3=0.1，d=34.5 mm，e=60.7 mm，l=49 mm，n=17.5 mm。各約束的不確定性水平q1=q2=q3=q4=q5=q6=0.8，取性能區(qū)間AI=[3,4]。 計算結果如圖10a和表5所示。

分別基于MPD模型和RPDI求解該問題，基于RPDI未求出滿足約束的設計向量，基于MPD模型求解結果如表6所示。采用CS算法求解安全鉗確定性結構設計問題的計算結果如圖10b與表7所示。

其中表5表示當幾何參數a,b,c,m分別為60.00 mm、15.51 mm、62.24 mm、60.70 mm時，在不確定性因素Fs,α,μ4的影響下安全鉗制動力關于性能區(qū)間的混合區(qū)間可能度值最大，為1.775 3。此時制動力區(qū)間為[7.41,10.82] kN，各約束的混合可能度值及區(qū)間如表5所示。

表7表示當幾何參數a,b,c,m分別為60.00 mm、30.84 mm、10.00 mm、30.00 mm時，安全鉗制動力最大，為15.75 kN。 將該設計向量代入安全鉗結構不確定性設計模型后，得到的安全鉗制動力混合區(qū)間可能度值為1.507 4，制動力區(qū)間為[10.77，23.11] kN，滿足6個約束條件中的5個。

表5 基于混合區(qū)間可能度模型的安全鉗結構設計數學模型求解結果

表6 基于MPD模型的安全鉗結構設計數學模型求解結果

表7 安全鉗確定性結構設計數學模型求解結果

3.4.2 十桿桁架結構不確定設計問題

采用上述基于混合區(qū)間可能度模型的DNCA求解十桿桁架結構不確定設計問題。各約束的不確定性水平qi=0.8，i=1,2,…,11，取性能區(qū)間AI=[3 000,4 000]，計算結果如圖11a與表8所示；采用CS算法求解十桿桁架確定性結構設計問題，計算結果如圖11b與表9所示。

其中表8表示當設計參數Ai(i=1,2,…,10)分別為29 cm2、29 cm2、40 cm2、129 cm2、129 cm2、1 cm2、126 cm2、1 cm2、25 cm2、100 cm2時，在不確定性因素P4y,P2x,P2y,ρ的影響下十桿桁架質量關于性能區(qū)間的混合區(qū)間可能度值最大，為2.742 5。此時，質量區(qū)間為[777.76,952.68]kg，各約束的混合可能度值及區(qū)間如表8所示。

表8 基于混合區(qū)間可能度模型的十桿桁架結構設計數學模型求解結果

表9 十桿桁架確定性結構設計數學模型求解結果

表9表示當設計參數Ai(i=1,2,…,10)分別為13 cm2、10 cm2、14 cm2、127 cm2、129 cm2、5 cm2、129 cm2、129 cm2、89 cm2、18 cm2時，十桿桁架質量最小，為394.58 kg。 將該設計向量代入十桿桁架結構不確定性設計模型后，得到的十桿桁架質量混合區(qū)間可能度值為3.391 8，質量區(qū)間為[345.03，422.63] kg，滿足11個約束條件中的9個。

3.4.3 懸壁梁結構不確定設計問題

采用上述基于混合區(qū)間可能度模型的DNCA求解懸臂梁結構不確定設計問題。各約束的不確定性水平qi=0.8，i=1,2,…,11，取性能區(qū)間AI=[80 000,90 000]，計算結果如圖12a與表10所示；采用CS算法求解懸臂梁確定性結構設計問題，計算結果如圖12b與表11所示。

其中表10表示當設計參數xi(i=1,2,3,4,5)分別為5.00 cm、4.96 cm、4.58 cm、3.46 cm、2.41 cm時，在不確定性因素μi(i=1,2,3,4,5)的影響下懸臂梁質量關于性能區(qū)間的混合區(qū)間可能度值最大，為0.041 3。此時質量區(qū)間為[84 110,126 150]kg，各約束的混合可能度值及區(qū)間如表10所示。

表10 基于混合可能度模型的懸臂梁結構設計數學模型求解結果

表11 懸臂梁確定性結構設計數學模型求解結果

表11表示當設計參數xi(i=1,2,3,4,5)分別為3.05 cm、2.82 cm、2.53 cm、2.21 cm、1.76 cm時，懸臂梁質量最小，為63 021 kg。 將該設計向量代入懸臂梁結構不確定性設計模型后，得到的懸臂梁質量混合區(qū)間可能度值為1.124 3，質量區(qū)間為[50 419,75 624] kg，滿足11個約束條件中的0個。

4 討論

4.1 3種可能度模型的比較

由表6可以看出，使用基于MPD模型的結構不確定設計方法多次計算的結果不一致。這是因為選擇的性能區(qū)間和每次計算最終獲得的目標函數區(qū)間沒有重疊，不同目標函數區(qū)間和性能區(qū)間求得的可能度值都為1，所以不能確保求得的設計向量是真正最優(yōu)的設計向量，性能不穩(wěn)定。

使用基于RPDI模型的結構不確定設計方法沒有得到滿足約束的設計向量，這是因為兩區(qū)間重疊時RPDI模型和MPD模型具有差異性。對于同一不確定水平性，滿足后者約束條件的區(qū)間不一定也滿足前者的約束條件，而基于概率方法的MPD模型比RPDI模型更合理，不應該排除滿足前者約束條件區(qū)間而不滿足后者約束條件區(qū)間的設計向量。

混合區(qū)間可能度模型既具備RPDI的定量描述任意相對位置兩區(qū)間大小關系的優(yōu)點，又繼承了MPD模型的兩區(qū)間重疊時區(qū)間大小比較的合理性，避免了上述兩種情況的出現(xiàn)。因此，使用基于混合區(qū)間可能度的結構不確定設計方法能獲得合理且有效的設計結果。

4.2 和文獻[27]的比較

文獻[27]也對案例一安全鉗結構不確定性設計問題進行了研究，WOLSZCZAK等[27]基于最大熵原理及數值模擬獲得不確定性變量樣本點，通過蒙特卡羅方法獲取制動力的概率分布，構建關于制動力統(tǒng)計信息的目標函數，獲得了在制動時彈簧提供的彈力和楔塊偏轉角的不確定性的影響下，使制動力統(tǒng)計性質較好的一組幾何參數。本文采用基于混合區(qū)間可能度的產品結構不確定性設計方法對相同對象進行了優(yōu)化設計。

兩種方法都僅需較少的不確定性變量的信息，但設計變量、不確定性變量、約束條件和目標函數的選取均不相同，且前者基于概率方法后者基于區(qū)間方法。另外，本文方法能從約束的可能度值反映出各約束的可靠程度，而文獻[27]的方法無法從結果中體現(xiàn)系統(tǒng)的可靠程度，這在一定程度上限制了前者方法的適用范圍。

4.3 和確定性優(yōu)化結果的比較

通過3個案例兩種方法的對比可以看出，確定性優(yōu)化往往能得到更優(yōu)的性能值，但這是以犧牲約束滿足度即系統(tǒng)可靠度為代價的。若在設計過程中未充分考慮不確定性，可能會危害系統(tǒng)可靠性，降低系統(tǒng)的安全性能。因此，在設計過程中充分考慮不確定性是很有必要的。

5 結束語

針對由制造、安裝誤差等不確定性因素必然導致產品性能波動的特點，借助基于區(qū)間數模型的產品結構不確定優(yōu)化思想，本文提出了基于混合區(qū)間可能度的產品結構不確定性設計方法。首先定義了一種混合區(qū)間可能度模型，給出了基于混合區(qū)間可能度的區(qū)間優(yōu)化問題轉換框架；提出了基于自適應策略和天牛須算子的雙層嵌套布谷鳥算法，并用測試函數測試了其尋優(yōu)性能；最后分別基于混合區(qū)間可能度模型、MPD模型與RPDI模型，對安全鉗結構不確定設計問題進行應用驗證，結果驗證了所提方法的可行性與有效性；分別基于混合區(qū)間可能度模型、確定性優(yōu)化模型對3個案例進行應用驗證，進一步驗證了所提方法的普適性與可行性。

結果表明，混合區(qū)間可能度模型可以比MPD模型和RPDI模型處理更多類型的問題，拓寬了區(qū)間優(yōu)化方法的應用范圍，這一優(yōu)點在求解安全鉗的結構設計問題中得到了驗證。另一方面，采用自適應步長并加入天牛須算法的種群更新機制，雙層嵌套布谷鳥算法在尋優(yōu)能力上獲得了較大的改善，獲得了更精確的計算結果。

但本文僅研究了基于區(qū)間模型的產品結構單目標不確定性設計問題，下一步將開展產品多目標不確定性設計問題的研究工作。