把握關(guān)系本質(zhì) 促進(jìn)思維發(fā)展
——《常見數(shù)量關(guān)系解決問題總復(fù)習(xí)》教學(xué)設(shè)計(jì)

文|劉賢虎（特級教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級下冊第78 頁。

【教前思考】

人教版教材對于“解決問題”內(nèi)容的總復(fù)習(xí)編排篇幅較少，只呈現(xiàn)了兩個(gè)例題：例9 回顧解決問題的主要步驟，例10 用分?jǐn)?shù)乘除法解決問題。實(shí)際上“解決問題”板塊還包括常見的數(shù)量關(guān)系，這是數(shù)與代數(shù)中數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)，需要在總復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)加以關(guān)注。常見數(shù)量關(guān)系總復(fù)習(xí)的教學(xué)不能只停留在對各種類型解決問題的羅列再現(xiàn)，應(yīng)該立足于數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)理解，注重各類問題數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系與溝通；應(yīng)該立足于數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)變換，注重把散亂、孤立的多個(gè)結(jié)構(gòu)問題以結(jié)構(gòu)演變的形式凝聚到簡要的結(jié)構(gòu)模型中，幫助學(xué)生構(gòu)建“簡結(jié)構(gòu)，聚本質(zhì)”的解決問題認(rèn)知體系。

【教學(xué)過程】

一、對話交流，喚醒解決問題經(jīng)驗(yàn)

師：今天這節(jié)課我們復(fù)習(xí)的內(nèi)容與解決問題有關(guān)。（板書課題）在這六年學(xué)習(xí)解決問題中，同學(xué)們獲得了很多經(jīng)驗(yàn)，那么解決問題第一步要干什么？

生：閱讀與理解。

師：不把事情弄清楚，不理解就無法解決問題。閱讀了、理解了，才有解決問題的基礎(chǔ)。那第二步該做什么？

生：畫圖、列表、分析、列式、解答。

師：這個(gè)過程我們就叫“分析與解答”。（板書）第三步呢？

生：還要驗(yàn)算。

師：對，驗(yàn)算，進(jìn)一步“回顧與反思”。（板書）不僅僅是驗(yàn)算，要回顧解決問題的過程，看看積累了怎樣的新經(jīng)驗(yàn)，還有什么要注意的問題。這就是我們解決問題的三部曲。你們有了很好的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，今天就借助這些經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解決問題總復(fù)習(xí)。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生解決問題需要按一定的程序和步驟，學(xué)習(xí)了六年的解決問題，問題解決的步驟在學(xué)生大腦中烙下深深的印記。課始適時(shí)回顧，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。】

二、梳理概括，理解數(shù)量關(guān)系本質(zhì)

1.回顧梳理，逐步建立關(guān)系。

逐題出示以下題組：

（1）天問一號9 秒飛行多少千米？

（2）買6 千克蘋果需要多少元？

（3）a 分鐘做了多少個(gè)零件？

師：這個(gè)問題你能解決嗎？這個(gè)呢？需要補(bǔ)充什么信息？

生：第（1）題要補(bǔ)充1 秒飛行多少千米。（板書：1 秒？千米）

生：第（2）題要補(bǔ)充1 千克蘋果需要多少元。（板書：1 千克？元）

生：第（3）題要補(bǔ)充工作效率，也就是1 分鐘做多少個(gè)零件。

生：我同意第（3）題這樣補(bǔ)充。但是補(bǔ)充后不能得到一個(gè)具體的數(shù)字，只能用含有字母的式子表示。

師：要求上面這些問題，需要補(bǔ)充一些信息，你們發(fā)現(xiàn)補(bǔ)充的信息有什么相同點(diǎn)？

生：都是要補(bǔ)充1 秒、1 千克、1 分鐘的信息。

生：補(bǔ)充的都是1 份數(shù)的信息。

師：你善于概括。知道了1秒，就可以算出9 秒；知道了1 千克，就可以求出6 千克；知道了1分鐘，就可以求出a 分鐘。一句話概括，只要知道1 份數(shù)，就可以求出——

生：（齊）總數(shù)。

師：第（1）題有哪些數(shù)量？第（2）題呢？第（3）題？速度、單價(jià)、工作效率就是單位量，只要知道單位量，就可以求出路程、總價(jià)和工作總量，也就是總數(shù)或總量。前提是必須還要有數(shù)量，或者叫份數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖：呈現(xiàn)的題組屬于結(jié)構(gòu)不完整、信息缺失的問題，涉及三組常見的數(shù)量關(guān)系。創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生聚焦速度、單價(jià)和工作效率，發(fā)現(xiàn)其共性，概括得出“1 份數(shù)”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的抽象，初步形成簡要結(jié)構(gòu)?！?/p>

2.縱橫聯(lián)系，構(gòu)建關(guān)系模型。

學(xué)生接著思考以下問題：

（1）把上面幾題的數(shù)量變成小數(shù)、分?jǐn)?shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？（寫一寫，算一算，說一說）

（2）你能把第（1）題變?yōu)閮刹交蛉浇鉀Q的問題嗎？（編一編，寫一寫）

（3）請你解答所編的題目，你有什么發(fā)現(xiàn)？（寫一寫，算一算，說一說）

（學(xué)生獨(dú)立思考，協(xié)同學(xué)習(xí)。完成后交流匯報(bào)）

生：9 秒變成0.9 秒，求路程還是要用乘法。變成分?jǐn)?shù)也一樣。

生：6 千克變成2.5 千克或者分?jǐn)?shù)，求總價(jià)同樣要用單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)。

生：a 既可以表示整數(shù)，也可以表示小數(shù)、分?jǐn)?shù)，數(shù)量關(guān)系還是工作效率×?xí)r間＝工作總量。

師：這里單位量和數(shù)量無論是整數(shù)，還是小數(shù)、分?jǐn)?shù)，什么沒有變？誰來說說你的發(fā)現(xiàn)？

生：它們的數(shù)量關(guān)系沒變。

生：還是單位量×數(shù)量＝總量。

生：都可以理解為是求一個(gè)數(shù)的幾倍、幾分之幾是多少，所以都要用乘法計(jì)算。

師：大家的理解非常有價(jià)值，數(shù)字可以各不相同，但是數(shù)量關(guān)系和意義是一致的。第（1）題你是怎么編成兩步、三步問題的？

生1：我是這樣編的。天問一號3 秒飛行90 千米，9 秒飛行多少千米？

師：怎么解答？

生1：90÷3＝30（千米），30×9＝270（千米）。

生2：我編的是三步解決的。天問一號5 秒飛行100 千米，再飛行10 秒，一共飛行多少千米？

師：怎么解答？

生2：100÷5＝20（千米），10＋5＝15（秒），20×15＝300（千米）。

師：這兩題有什么相同和不同的地方？

生：都是要求路程，所以都要先算出速度，再用速度×?xí)r間＝路程。不同的是前面題目的時(shí)間已知；后面一題的時(shí)間未知，所以要先求時(shí)間。

師：誰聽明白了？

生：知道速度才能求路程，所以先算出速度。前一小題知道時(shí)間，就直接計(jì)算，后一小題沒有直接給出飛行時(shí)間，需要先計(jì)算時(shí)間。

師：大家一起看，3 秒大約飛行90 千米，我們并不知道1 秒的速度，所以必須求出——1 秒的速度。知道了“單位量”，就能夠找到——總量。在解決這個(gè)問題的時(shí)候，我們知道了“總量”——

生：又能推導(dǎo)出“單位量”。

師：解決這類問題時(shí)，就是在研究誰與誰的關(guān)系？

生：“單位量”和“總量”之間的關(guān)系。

師：這一題還能利用我們學(xué)過的什么知識解答？

生：我利用比例來解答。設(shè)9秒飛行了x 千米，90∶3＝x∶9。

師：你是怎么想到的？

生：因?yàn)檫@里的速度不變，也就是“單位量”不變，所以路程和時(shí)間成正比例，這樣等號兩邊都是路程∶時(shí)間。

生：還可以這樣列比例，x∶90＝9∶3。因?yàn)椤皢挝涣俊辈蛔?，所以路程之間的倍比關(guān)系和時(shí)間之間的倍比關(guān)系是相等的。

師：原來六年級學(xué)習(xí)的正比例知識也是“單位量”和“總量”之間的關(guān)系，只不過呈現(xiàn)的形式不一樣。

【設(shè)計(jì)意圖：第（1）題從整數(shù)聯(lián)系到小數(shù)、分?jǐn)?shù)，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系適用范圍的擴(kuò)展。接著改編為兩步和三步的問題，通過比較，發(fā)現(xiàn)“單位量”不變時(shí)，“單位量”和“總量”之間的變化關(guān)系，初步感受常見數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。】

3.發(fā)散思維，辯證統(tǒng)一關(guān)系。

師：在剛才的研究中，我們發(fā)現(xiàn)“單位量”都是不變的，總數(shù)隨著份數(shù)的變化而變化。還有沒有不一樣的變化？

生：我認(rèn)為總數(shù)不變，也就是“總量”不變，“單位量”在變化。

師：請?jiān)囍幰坏馈翱偭俊辈蛔?，用兩步或三步?jì)算的問題。

（學(xué)生編題后相互交流、檢查）

生：一批零件，李師傅每分鐘做80 個(gè)零件，5 分鐘可以完成。王師傅8 分鐘完成，他每分鐘做了多少個(gè)零件？

師：怎么計(jì)算？

生：80×5＝400（個(gè)），400÷8＝50（個(gè)）。

師：這道題的什么不變，什么變了？

生：這道題的“總量”是不變的，“單位量”是變化的。

生：小明去水果店買水果。如果全部買每千克6.4 元的蘋果，可以買5 千克。如果全部買橘子，則可以多買3 千克。每千克橘子多少錢？

生：這道題也符合要求，“總量”是不變的，“單位量”是變化的。6.4×5÷（5＋3）＝32÷8＝4（元）。

師：這道題還可以用什么知識解答？

生：我想到了用反比例的知識解答。設(shè)每千克橘子x 元，6.4×5＝（5＋3）x。

師：現(xiàn)在你對“總量”和“單位量”有了哪些新的看法？

生：我發(fā)現(xiàn)有時(shí)“單位量”是不變的，有時(shí)“總量”是不變的。不管怎么變，知道了“單位量”就知道了“總量”，知道了“總量”就知道了“單位量”。

生：原來我們學(xué)習(xí)的數(shù)量關(guān)系都是在研究“總量”和“單位量”之間的關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖：換個(gè)角度思考問題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“總量”不變時(shí)，“單位量”和“總量”之間的變化關(guān)系。由“單位量”不變到“總量”不變，學(xué)生的認(rèn)識逐漸豐富，對數(shù)量關(guān)系的理解更加深入，再次體會數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)?！?/p>

三、解決問題，應(yīng)用數(shù)量關(guān)系模型

1.算一算，比一比。

（1）一列火車0.3 小時(shí)行駛37.5 千米，照這樣計(jì)算，1.5 小時(shí)可以多行駛多少千米？如果行駛450 千米要行駛多少小時(shí)？

（2）一列火車從甲地到乙地，如果每小時(shí)行駛125 千米，需要3.6 小時(shí)?，F(xiàn)在需要提前0.6 小時(shí)到達(dá)，每小時(shí)要行駛多少千米？

師：第（1）題要注意什么？這兩道題有什么不同？

2.填一填，算一算。

六年級辦公室買進(jìn)一包白紙，計(jì)劃每天用20 張，可以用28天。（ ），實(shí)際可以用多少天？

兩步解決：（ ）_________

三步解決：（ ）_________

最后用除法解決：（ ）

師：從兩步變?yōu)槿剑阌惺裁春棉k法？

生：補(bǔ)充實(shí)際每天用紙的張數(shù)信息，就是兩步解決。如果補(bǔ)充的信息是實(shí)際比計(jì)劃每天用紙多或少的張數(shù)，就需要三步解決。

生：把實(shí)際每天用紙的張數(shù)由直接信息變?yōu)殚g接信息就成為三步解決的問題了。

師：解決問題的步數(shù)不一樣，什么沒變？

【設(shè)計(jì)意圖：第1 題鞏固“單位量”與“總量”的變化關(guān)系，兩個(gè)小題分別對應(yīng)不同的情況，通過橫向?qū)Ρ燃由顚?shù)量關(guān)系本質(zhì)的理解。第2 題學(xué)生先補(bǔ)充信息，應(yīng)用數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答，再通過兩步和三步問題的縱向?qū)Ρ?，在不同中找相同，進(jìn)一步理解關(guān)系?！?/p>

四、全課總結(jié)，拓展數(shù)量關(guān)系本質(zhì)

師：通過今天的復(fù)習(xí)，你有哪些收獲？

生：我知道了常見的數(shù)量關(guān)系，如速度、時(shí)間、路程，單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)，工作效率、時(shí)間和工作總量，單產(chǎn)量、數(shù)量和總產(chǎn)量，都可以理解為單位量×數(shù)量=總量。

生：知道了“單位量”也就知道了“總量”，知道了“總量”也就知道了“單位量”。單位量、數(shù)量、總量之間的關(guān)系，就是“單位量”和“總量”的關(guān)系。

師：大家都善于學(xué)習(xí)?！皢挝涣俊被颉翱偭俊笔强梢圆粩嘧兓?，有時(shí)“單位量”是標(biāo)準(zhǔn)，有時(shí)“總量”是標(biāo)準(zhǔn)。有了“單位量”就可以得到“總量”，知道“總量”也可以求出“單位量”，大家深切感悟到“單位量”和“總量”之間有重要的關(guān)系。希望大家在后面的復(fù)習(xí)中，不斷前后聯(lián)系、不斷深入思考，悟出新的道理！

【設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)教學(xué)不但要溫故，把學(xué)過的知識再溫習(xí)一次；還要知新，通過聯(lián)系、比較，發(fā)現(xiàn)新的道理，收獲新的認(rèn)識?！?/p>