“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)前知識調(diào)查與啟示

文|陳 敏 呂瓊?cè)A

一、研究背景

學(xué)習(xí)取向的教學(xué)設(shè)計理論強調(diào)把學(xué)習(xí)者的已知看作教學(xué)的起點和最重要的因素。認(rèn)知導(dǎo)向的教學(xué)（Cognitively Guided Instruction，簡稱CGI）強調(diào)兒童本身具有解決問題的直覺知識和非正式經(jīng)驗，好的教學(xué)應(yīng)當(dāng)認(rèn)識并發(fā)揮這些基礎(chǔ)，引導(dǎo)兒童主動學(xué)習(xí)、交流改進(jìn)，真正的發(fā)展思維。近年來，“以學(xué)定教”的觀念越來越深入人心。有經(jīng)驗的教師在備課時必然會考慮學(xué)生的起點進(jìn)而對原教材的編寫作出反思，從而制定更切實際的教學(xué)目標(biāo)并設(shè)計相應(yīng)環(huán)節(jié)。但研究也指出，很多教師在做教學(xué)起點分析時，往往倚重經(jīng)驗而忽視證據(jù)，或者泛泛而論，未能針對具體的課節(jié)主題等，因此影響教學(xué)的有效性。

“數(shù)的認(rèn)識”是小學(xué)數(shù)學(xué)主要課程內(nèi)容之一，其中認(rèn)識自然數(shù)又是認(rèn)識其他數(shù)的基礎(chǔ)。認(rèn)識自然數(shù)最重要的有兩個方面。其一，認(rèn)識自然數(shù)的構(gòu)成，即認(rèn)識到自然數(shù)的基本單位是1。其二，掌握最常用的自然數(shù)記數(shù)法——十進(jìn)制記數(shù)法。這兩方面的認(rèn)識并不是一節(jié)課就能完成的。當(dāng)前我國各地使用的小學(xué)數(shù)學(xué)教材雖不盡相同，但對這一部分內(nèi)容，各版本教材的序列安排基本一致，大致分四個階段完成：一年級上冊認(rèn)識20 以內(nèi)的數(shù)、一年級下冊時認(rèn)數(shù)范圍擴展到100、二年級下冊學(xué)習(xí)萬以內(nèi)的數(shù)、四年級上冊引進(jìn)比萬更大的數(shù)，整體反思后形成對自然數(shù)結(jié)構(gòu)以及十進(jìn)制記數(shù)法的系統(tǒng)性認(rèn)識。于是“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”就變成一個很有意思的知識節(jié)點：在它之前，學(xué)生對較小自然數(shù)的讀、寫、組成有了一些基本經(jīng)驗；在它之后，比萬更大的數(shù)，可以從萬以內(nèi)（個級）數(shù)結(jié)構(gòu)迭代的角度加以理解。那么，在這節(jié)課中，應(yīng)該如何去認(rèn)識和對待學(xué)生的學(xué)習(xí)起點?？梢灾苯永玫氖鞘裁矗啃枰獛椭鷱娀氖鞘裁?？以及，是否存在學(xué)生未能主動察覺，而需要教師創(chuàng)造任務(wù)去督促提升的“關(guān)鍵性概念理解（Key Development Understanding）”？

本研究擬針對“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”開展學(xué)生起點調(diào)查，希望據(jù)此獲得一些教學(xué)和研究的啟示。一方面為教師有效教學(xué)自然數(shù)的認(rèn)識，合理確定每一教學(xué)階段的特定目標(biāo)積累資料；另一方面，也藉此反思一線教師在針對特定學(xué)習(xí)主題做起點分析時可能采取的策略和遭遇的問題。

二、調(diào)查方法

2022年3月初，我們邀請到本市一所公辦學(xué)校二年級下學(xué)期兩個班學(xué)生（共計74 人）參與我們的學(xué)情調(diào)查。調(diào)查以書面練習(xí)的形式進(jìn)行，由所在班級數(shù)學(xué)教師協(xié)助組織練習(xí)，并回收練習(xí)卷，但不需要教師協(xié)助批改。

本調(diào)查主要考查學(xué)生基于生活經(jīng)驗，以及先前對百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，自發(fā)地對千以內(nèi)、甚至萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識達(dá)到了什么水平。全卷一共分四個大題，第1 題以填空的形式呈現(xiàn)，共五個小題，前面兩小題是教材和統(tǒng)考中非常常見的對于相鄰計數(shù)單位之間十進(jìn)關(guān)系的提問，如10 個一百是（ ）；后面三小題主要針對過9 數(shù)發(fā)問，如199 加1 是（ ）；999 加1 是（ ）。第2 題考查數(shù)數(shù)技能，分別要求學(xué)生以1 為單位計數(shù)，從991 數(shù)到1000；再以10 為單位計數(shù)，從900 數(shù)到1000。第3 題以計算題形式呈現(xiàn)，實質(zhì)為考查學(xué)生對計數(shù)意義的理解。根據(jù)有關(guān)研究，兒童對復(fù)合單位（composite unit）以及對復(fù)合單位進(jìn)行協(xié)同的水平顯著影響兒童數(shù)概念的發(fā)展和四則運算理解能力等。所以我們嘗試圍繞十進(jìn)制計數(shù)單位提供了4 類共8個算式：第1、2、3 個算式只涉及1 個計數(shù)單位的計數(shù)，如100×8；第5 個算式，100+1000，稍微復(fù)雜一些，涉及兩個計數(shù)單位的協(xié)同；第4 個算式（500×2）和第7 個算式（2000+3000）需要學(xué)生自己去分析整百、整千數(shù)的單位構(gòu)成，算出結(jié)果；最后，第6 個算式（100×5+1000）和第8 個算式（100+1000×5），計算時應(yīng)先分不同計數(shù)單位分別計數(shù)，再做不同單位之間的協(xié)同。練習(xí)卷的最后一題是開放題，詢問兒童在生活中是否見過1000 和10000，并要求他們作圖或文字說明具體情境。

參與調(diào)查的學(xué)生使用浙教版教材，在進(jìn)行練習(xí)時，已經(jīng)學(xué)習(xí)了百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識，尚未學(xué)習(xí)三、四位數(shù)的認(rèn)識。練習(xí)卷的批改由本文作者1 完成，作者2 做了復(fù)核。

三、調(diào)查結(jié)果

第1 題，絕大部分學(xué)生掌握較好，除第（5）小題外，其他題目的正確率均接近甚至超過90%。

可以認(rèn)為兒童已經(jīng)了解了一些計數(shù)事實，但還沒有認(rèn)識到背后的計數(shù)和記數(shù)結(jié)構(gòu)，突出表現(xiàn)為大數(shù)的寫法出現(xiàn)問題，不確切知道過9 以后究竟產(chǎn)生了幾個0。

表1 計數(shù)單位和過9 數(shù)的掌握情況統(tǒng)計表

第2 題，學(xué)生1 個1 個計數(shù)三位數(shù)的正確率達(dá)到了98.6%，10 個10 個數(shù)的正確率也達(dá)到了90.5%。10個10 個數(shù)錯的學(xué)生，主要錯誤為：中間有漏數(shù)的情況，比如從950 跳過了960，直接到了970；有3 個學(xué)生把10 個10 個數(shù)，理解為了100、100 地數(shù)，直接寫了“900，1000”。

第3 題，學(xué)生的正確率如下圖。

以算式表征的單位計數(shù)問題的掌握情況統(tǒng)計圖

此次調(diào)查對象的表現(xiàn)同已有的兒童計數(shù)研究相比，既有一致的地方，也有自己的特點。整體而言，題目涉及到的計數(shù)單位越多，彼此協(xié)同的形式越復(fù)雜，答題的正確率就越低。錯誤率最高的正是預(yù)設(shè)中認(rèn)為最復(fù)雜的第4 類問題，如100×5+1000，學(xué)生對此的回答可謂五花八門：5100、1500、1050、150、2000……而結(jié)果也表明，如果是一步計算，則無論是1 個計數(shù)單位計數(shù)（100），還是兩個計數(shù)單位相加（100+1000），包括要學(xué)生自己分析計數(shù)單位的（2000+3000 等），實際難度相當(dāng)，正確率都超過80%；其中最高發(fā)的錯誤，還是在記數(shù)時究竟要寫幾個0，如這六個算式中正確率最低的第3（2）題，10×100，很多學(xué)生寫了100、10000，個別學(xué)生寫了110。這些情況提示我們，學(xué)生可能已經(jīng)掌握了一些多位數(shù)計算的標(biāo)準(zhǔn)方法，但并沒有從數(shù)的意義的層面去推導(dǎo)答案。

第4 題，學(xué)生提供的包含1000 和10000 的具體情境可歸納為如下表2——

表2 學(xué)生自發(fā)接觸1000 和10000 的情境統(tǒng)計表

綜合以上，我們認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)三、四位數(shù)的現(xiàn)實起點較為復(fù)雜，他們對計數(shù)和計算相關(guān)的程序性知識已超前掌握，對既有教材和測試中出現(xiàn)過的常規(guī)性問題達(dá)到了很高的正確率。但是，在計數(shù)和計算的概念性理解方面則存在盲點，需要加以關(guān)注，著重突破。

首先，對于三、四位數(shù)的讀、寫、數(shù)（shǔ），以及一些常規(guī)的相鄰計數(shù)單位之間的進(jìn)率問題，兒童看似達(dá)到了相當(dāng)高的正確率。但是，通過分析典型錯誤，就能發(fā)現(xiàn)他們在完成這些任務(wù)時，帶有很大的直覺成分、記憶成分。當(dāng)數(shù)小于100 時，兒童讀數(shù)和寫數(shù)都不需要做結(jié)構(gòu)化的考慮，隨著自然數(shù)的進(jìn)一步增大，就需要在頭腦中慢慢建立起數(shù)位順序表，在數(shù)位、位數(shù)和計數(shù)單位之間建立起明確的聯(lián)系，就不會出現(xiàn)各種“0”的亂象了。

其次，從完成簡單的整百、整千數(shù)的計算情況來看，兒童對涉及多個計數(shù)單位的多個水平的計算存在一定問題。這不僅驗證了先前研究所指出的單位協(xié)同水平是兒童數(shù)概念發(fā)展的一大指征，提示我們在認(rèn)數(shù)教學(xué)中要重視“單位”概念。我們應(yīng)考慮到在非正式的學(xué)習(xí)場景中，認(rèn)數(shù)和計算往往是兩個割裂的活動：填空說明數(shù)的組成意義是一回事，完成多位數(shù)的加減計算時又往往另教一套算法規(guī)則。在正式學(xué)習(xí)時，就要打破這種人為的割裂、機械的學(xué)習(xí)，創(chuàng)造機會讓兒童體驗以算式表征計數(shù)意義，據(jù)計數(shù)意義發(fā)明計算程序，以此發(fā)展學(xué)生的符號意識、推理能力，樹立積極的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀。

最后，雖然在日常生活中，兒童也有很多機會接觸到1000 和10000 之類的大數(shù)，但比較多的停留在形式化的表征，比較少數(shù)量方面的真實感知，即使是數(shù)量方面的感知，也只模糊地和“很多”等同起來，缺少定量的刻畫。教學(xué)時既要充分依托這些兒童熟悉的日常景象，又要引導(dǎo)兒童結(jié)合計數(shù)知識分析數(shù)量構(gòu)成，有理有據(jù)地推導(dǎo)出1000 和10000 件具體物品究竟是怎樣一種數(shù)量感受，溝通數(shù)與量的關(guān)系、數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，發(fā)展數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)眼光。

四、總結(jié)與討論

本次研究首先分析了教材關(guān)于自然數(shù)認(rèn)識的整體安排，明確“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”單元的特殊定位，在此基礎(chǔ)上參考過往習(xí)題和試題，以及一些數(shù)概念研究資料，編制了一份調(diào)查問卷，重點考查學(xué)生兩方面的儲備知識，一方面是百以內(nèi)數(shù)的正式學(xué)習(xí)，一方面是關(guān)于三、四位數(shù)的非正式學(xué)習(xí)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生關(guān)于讀數(shù)、寫數(shù)、計算等程序性知識掌握較好，而許多后繼學(xué)習(xí)需要的概念理解和思維經(jīng)驗存在不足，由此概括出新課教學(xué)的三大目標(biāo)：1.從逐位滿十進(jìn)一的經(jīng)驗到整體觀照學(xué)習(xí)過的數(shù)位，建構(gòu)起“個級”的基本結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成按結(jié)構(gòu)認(rèn)數(shù)、讀數(shù)和寫數(shù)的意識和習(xí)慣。2.認(rèn)數(shù)和計算相結(jié)合，經(jīng)歷以算式表征計數(shù)意義，據(jù)計數(shù)意義推導(dǎo)計算結(jié)果的過程，積累依托數(shù)學(xué)符號進(jìn)行思考和交流的經(jīng)驗，發(fā)展推理能力。3.將數(shù)的認(rèn)識與量的體驗結(jié)合起來，以現(xiàn)實量感進(jìn)一步豐富對數(shù)的認(rèn)識，借數(shù)的結(jié)構(gòu)更好地分析數(shù)量多少，溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

通過學(xué)前調(diào)查，可以更好地覺察學(xué)生真實起點與教材預(yù)期之間的距離，制定適應(yīng)性的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計針對性的教學(xué)任務(wù)，更好地體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)習(xí)是學(xué)生思維成長的過程。

但是，我們也發(fā)現(xiàn)當(dāng)前兒童學(xué)習(xí)的真實起點非常復(fù)雜，通過非正式的學(xué)習(xí)渠道，兒童對一些程序性知識普遍存在超前掌握的情況。若在學(xué)前調(diào)查中，再簡單依據(jù)教材常規(guī)的習(xí)題，以及過往高頻考題來編制問卷，往往會由一種形式化的掌握現(xiàn)象掩蓋掉他們在概念性理解方面的缺失。這就要求教師廣泛涉獵相關(guān)研究，對教學(xué)內(nèi)容和兒童學(xué)習(xí)有深層次的理解，充分考慮調(diào)查問卷的信效度問題。只有在問卷具有良好信效度的前提下，收集到的學(xué)生知識才能作為制定教學(xué)目標(biāo)和評價教學(xué)設(shè)計的有效證據(jù)。